三角函数的最值与值域的教学设计

三角函数的最值与值域的教学设计安亭中学彭朴一、内容分析三角函数的最值与值域问题，是历年高考重点考查的知识点之一。三角函数的最值与值域问题不仅与三角自身的所有基础知识密切相关，而且与前面复习过的函数、不等式、联系密切，综合性强，解法灵活，能力要求高，在复习完三角公式后，把三角函数的最值与值域作为专题复习，不仅可以帮助学生灵活运用三角公式，而且可以帮助学生掌握求最值和值域的方法，综合能力得到增强。二、教学目标制定1．会根据正、余弦函数的有界性和单调性求简单三角函数的最值和值域；2．运用转化思想，通过变形、换元等方法转化为代数函数求其给定区间内的值域和最值。3．通过对最值问题的探索与解决，提高运算能力，增强分析问题和解决问题能力。体现数学思想方法在解决三角最值问题中的作用。三、教学重点分析本节课的重点是求三角函数的最值与值域，为了突出和强调本节课的重点，课前布置了学生整理求函数值域与最值的方法，设计了一些知识检测题给学生做，在上课之前，老师通过批改学生的作业，了解学生对三角函数的最值与值域的掌握程度。在上课时，首先让学生回顾求函数值域与最值的方法，然后交流作业，通过例题和习题的训练、讨论、分析、归类、方法总结，学生能比较系统掌握求三角函数的最值与值域的常用方法。四、教学难点分析求三角函数的最值与值域的方法多样，针对题目，如何在最短的时间内灵活选取不同的方法来求三角函数的最值和值域检索方法，迅速解决问题是本节课的难点，为了突破难点，不妨采取“实践---方法———在实践”的策略，即在讲评作业和例题时，对每一道题目的特点进行分析，解完后，引导学生总结方法，找出规律，然后让学生动手训练，加深印象，化解难点。五、教学过程设计1提问：求函数最值与值域有哪些常用的方法？学生：换元法、配方法、借助基本不等式、借助函数的图像和单调性。设计意图：从学生已有的知识出发，启发学生对方法进行迁移，不过需要提醒学生在用换元法时，要注意新变量的取值范围，在用不等式求最值时，要注意取等号的条件。2反馈学生做知识检测题的情况（1）．在下列说法中：（1）函数xysin2的最大值为3；（2）函数xxy22sinsin4最小值是4；（3）函数xycos1的值域是]1,0()0,1[；(4)存在实数x，使得tanx+1tanx=2成立．正确的是（）A．（1）（2）B．（2）（4）C．（1）（3）D．（1）（4）（2）．函数]32,6[,sinxxy的值域为（）A．[－1，1]B．]1,21[C．]23,21[D．]1,23[（3）．函数xxy2cos2sin的最大值为，最小值为．（4）．x_________时，函数)4sin()4sin(xxy的最大值为__________（5）．函数2sinsin1yxx的值域为（6）．函数bxaycos（ba,为常数，且0a）的最大值是1，最小值是7，则函数xbxaycossin的最大值是设计意图：这6道检测题难度不大，但涵盖了三角函数求最值和值域的一些基本方法，通过批改学生的作业，在课前充分了解学生的掌握程度，为课堂上重点解决学生的薄弱点和盲点做好准备。3例题分析例题1求下列函数的最值（1）]2,0[),62cos(xxy设计意图：本题可以利用函数的图象求最值，也可作代换，把括号内看作一个整体t，用单调性求，前者画图不如后者简单，但后者一定要注意t的取值范围，课堂上，可以鼓励学生到黑板上画图分析，掌握换元法及其注意点。（2）3sin()cosyxx设计意图：此题较第（1）题复杂，但不难，通过此题解决帮助学生总结新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆y=asinx+bcosx型函数最值的求法：只要利用辅助角公式，转化为y=22absin（x+）或y=22abcos（x+）求最值。（3）xxxxy22cos6cossin3sin5设计意图：此题属于22sinsincoscosyaxbxxcx型函数求最值或值域，利用降次公式221cos21cos21sin,cos,sincossin2222xxxxxxx即可转化为y=asinx+bcosx型函数求最值。设计此题可以帮助学生巩固降次公式、辅助角公式。（4）cos2cosyxx设计意图：新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c型函数求最值或值域函数求最值或值域,新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆借助二倍角公式，结合换元法转化为二次函数在闭区间上求最值或值域，注意新的变量的取值范围。（5）)cos3)(sin3(xxy设计意图：此题难度较大，不同于以上题型，感到无从下手，如果展开，注意到sinx+cosx与sinxcosx的关系，令sinx±cosx=t(22t)，将sinxcosx转化为t的关系式，从而使问题转化为二次函数的最值问题，但要注意换元后变量的取值范围。（6）tan4cot,(0,)2yxxx设计意图：此题可以利用基本不等式求最值例题22π()2sin3cos24fxxx，ππ42x，．（1）求()fx的最大值和最小值；（2）若不等式()2fxm在ππ42x，上恒成立，求实数m的取值范围．设计意图：此题是一道高考题，第（1）问的解决需要用到降次公式和诱导公式，借助换元法求出最值，第（2）问的解决需要用到第一问的结论，通过分离参数，求出m的范围。此题综合考查了学生对三角公式的掌握情况，三角函数最值的求法，学生通过训练，有利于提高学生的综合分析能力和解决问题的能力。六、巩固练习题：1．函数2()2cossin2fxxx的最小值是。2．若4x，2()cossinfxxx的最小值是（）A．212B．212C．－1D．1223．设函数baxxaxaxfcossin32sin2)(2（)0a，]2,0[x，若)(xf的值域是[-5，1]，求实数ba,的值。设计意图：这3道题从不同角度训练学生求三角函数最值或值域，强化学生对方法的灵活运用，第3题是一道逆向性问题，可以培养学生的分类讨论意识。七、小结本节课着重研究求三角函数最值的几种方法：1、辅助角公式法：xbxaycossin2、配方法：cxbxaycossin23、函数图像法（利用单调性）：通常用于给定角的范围类型的三角函数4、换元法：含有sinx±cosx，sinxcosx的函数5、基本不等式法设计意图：学生通过回顾、总结求三角函数最值或值域的常见题型和解法，达到灵活运用的目的，体会转化、换元思想在数学中的应用。