高一数学幂函数复习

3eud教育网百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！3eud教育网教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！2.3幂函数一、考点聚焦1．幂函数的概念（1）一般地，幂函数的表达式为)(Rxy，其中为常数；其特征是以幂的底为自变量，指数为常数。（2）所有的幂函数在区间),0(都有定义，并且图象都通过点(1,1)。（3）学习和理解幂函数的概念时要注意以下几点：①形如,2,2,)2(xyxyxy形式的函数不是幂函数。②幂函数xy中的为任意实数。③确定一个幂函数，只需求出即可。2．幂函数的图象我们只讨论幂函数xy中1,21,3,2,1时的图象。在同一平面直角坐标系作出幂函数12132,,,,xyxyxyxyxy的图象。（1）列表、（2）描点：3）连线：用光滑的曲线将各点连结起来。如图（2）记熟上面各函数图象的形状，及它们之间的“高低”关系。（3）函数xy1可记为1xy。（4）0a时，图象都过)1,1)(0,0(点，0a时，只过(1,1)不过(0,0)点。3．幂函数的性质从上图可以观察到幂函数的特征如下：xy2xy3xy21xy1xy定义域RRR),0[}0,|{xxxR值域R),0[R),0[}0,|{yyyR奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增),0[x时，增增增),0(x时，减]0,(x时，减)0,(x时，减定点(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)结合以上特征得幂函数的性质如下：（1）所有的幂函数在),0(都有定义，并且图象都通过点(1,1)；函数特征性质3eud教育网百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！3eud教育网教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！（2）如果0，则幂函数的图象过原点，并且在区间),0[上为增函数；（3）如果0，则幂函数的图象在区间),0(上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋向于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴；（4）当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶函数，幂函数为偶函数。4．求幂函数的定义域、值域幂函数的定义域要根据解析式来确定，要保证解析式有意义，值域要在定义域范围内求解。5．幂函数的单调性和奇偶性幂函数的单调性与奇偶性与一般函数的单调性和奇偶性相同，在证明或判断时，主要应用定义法判断，有时也用幂函数的性质加以判断。6．比较大小比较大小问题一般是利用函数的单调性，当不便利用单调性时，可与0和1去比较，这种方法叫“搭桥”法。二、点击考点［考题1］作出函数112xxy的图象，并指出此函数的定义域、值域，若此函数的图象是中心对称图形，则指出它的对称中心的坐标。［解析］.13213213)1(2112xyxxxxxy则112xxy可以看做是将函数xy3的图象向右平移一个单位后再向上平移2个单位，如图。定义域为},1|{xxx且R值域为},2|{yyy且R对称中心为)2,1(.［点评］对于函数),0(bcadabaxdcxy，它的图象是双曲线，它的两条渐近线方程分别为acyabx,，对称中心为).,(acab这个结论非常有价值，例如，我们要作3243xxy的图象，两条渐近线23x，.2y再用一点1,0yx确定双曲线的位置即可作出3243xxy的草图。［考题2］（1）在如图所示的函数图象中，表示31xy的是（）3eud教育网百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！3eud教育网教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！［解析］函数331xxy是奇函数，图象在第一、三象限，且)1,0(31，所以在第一象限的图象向上凸，故选C。（2）如图，幂函数axy在第一象限内的图象，已知a取21,2四个值，则相应于曲线4321,,,CCCC的a依次为（）A．2,21,21,2B．2,21,21,2C．21,2,2,21D．21,2,21,2［分析］根据幂函数axy在第一象限内的图象特征，在区间),1[上，当0a时，a越大，axy的增长速度就越快，所以1C的2,2Ca的21a.在区间)1,0(上，当0a，||a越大，图象越陡峭。所以3C的21a，4C的2a.故选B。（3）如图所示是函数),(且互质Nnmxynm的图象，则（）A．nm,是奇数，且1nmB．m是偶数，n是奇数，且1nmC．m是偶数，n是奇数，且1nmD．n是偶数，m是奇数，且.1nm分析：由图象在第一象限的特点，知.1nm又由函数图象关于y轴对称，知nmnmxxy是偶函数，所以m是偶数，n是奇数。故选C。［考题3］已知函数)()(322Zmxxfmm为偶函数，且).5()3(ff（1）求m的值，并确定)(xf的解析式；（2）若)1,0)()((log)(aaaxxfxga，是否存在实数a，使)(xg在区间[2,3]上为增函数。［分析］问题的解决往往依赖于对条件或结论的转化，对于（1），应首先转化较为复杂的条件，如果从偶函数的角度开始转化，不论是用偶函数的定义还是用幂函数中的偶函数，都难以找到进一步转化的途径，但从)5()3(ff入手，就不难把转化继续进行下去，对于（2），对于（1）中没有附加的条件，因而可以利用（1）的结论转化（2）的附加条件，并利用单调3eud教育网百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！3eud教育网教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！函数的性质使问题得到解决。［解析］（1）由)5()3(ff得.)53(1)53(530323232222mmmmmm∵xy)53(在),(上为减函数，∴.2310322mmm∵Zm，∴0m或.1m当0m时，3322mm；当1m时，.2322mm而)(xf为偶函数，∴1m，此时.)(2xxf（2）假设存在实数a，使)(log)(2axxxga在区间]3,2[上为增函数。则由)2(g与)3(g存在，得.12,2039,024aaaa令axxxh2)(，则)(xh开口向上，对称轴.12ax∴当]3,2[x,)(xh为增函数，又由)(log)(xhxga在区间]3,2[上为增函数，得1a，∴.21a［点评］该题亦可分10,1aa两种情况讨论求解。［考题4］（1）求下列函数的定义域和值域。①52xy；②.53xy［解析］①52xy的定义域为实数集R，值域为),0[.②53xy的定义域为}0|{xx，值域为}0|{yy（2）函数)1()24(2412mxxmxmxy的定义域是全体实数，则实数m的取值范围是（）A．)2,15(B．),15(C．)2,2(D．)51,51(［解析］函数)1()24(2412mxxmxmxy有意义的条件是.0242mxmx因此，要使函数)1()24(2412mxxmxmxy的定义域为全体实数，需满足0242mxmx对一切实数都成立。即,0)2(44,02mmm解得.15m3eud教育网百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！3eud教育网教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！∴选B。［点评］幂函数xy的定义域和值域也是与的取值密切相关，的正负和分母的奇偶都是制约x的取值范围的因素，因此要具体情况具体分析，或结合图象的位置与形状加以考虑。［考题5］已知函数5)(3131xxxf；.5)(3131xxxg（1）证明：)(xf是奇函数，并求)(xf的单调区间；（2）分别计算)2()2(5)4(gff和)3()3(5)9(gff的值，由此概括出涉及函数)(xf和)(xg对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明。［解析］（1）函数定义域为}0|{Rxxx且，∵),(55)()()(31313131xfxxxxxf∴)(xf为奇函数，设210xx，则)(51)(51)(51)()(31231131231231131121xxxxxxxfxf,0)11(312311xx∴)(xf在),0(上是增函数，又)(xf是奇函数.∴)(xf在)0,(上也是增函数.故)(xf在)0,(和),0(上单调递增.（2）解：,0)3()3(5)9(,0)2()2(5)4(gffgff猜想：.0)()(5)(2xgxfxf∵5555)()(5)(3131313132322xxxxxxxgxfxf0)(51)(5132323232xxxx，∴等式成立。［考题6］比较下列各组数的大小；（1）253和251.3；（2）878和;)91(87（3）32528.3,1.4和.)9.1(53［解析］第（1）组可利用25xy的单调性比较，第（2）组可利用87xy的单调性比较，3eud教育网百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！3eud教育网教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！第（3）组可利用32xy的单调性比较。（1）函数25xy在),0(上为减函数，又1.33，所以.1.332525（2）8787)81(8，函数87xy在),0(上为增函数，又9181，则8787)91()81(，从而.)91(88787（3）118.30;11)1.4(32325252；0)9,1(53；所以.)1.4(8.3)9,1(523253［点评］比较大小题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善于运用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的参数。［考题7］若11)23()1(aa，试求a的取值范围。［分析］由函数1xy的图象及单调性可解.［解析］,)23()1(11aa∴aaaa231,023,01或aaaa231,023,01或.01,023aa解得2332a或.1a［点评］考虑要全面，谨防考虑不周导致误解。［考题8］若,0,)(,)(),,0(213xxxxgxxfx求证：（1）)2()]()([212121xxfxfxf；（2）).2()]()([212121xxgxgxg［证明］（1）)2()]()([211121xxfxfxf,0)()(83)]()([83)(83)2()(21212212122212122122132313213231xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx3eud教育网百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！3eud教育网教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！∴).2()]()([212121xxfxfxf（2）∵221221)]2([)