3.-4函数单调性与曲线的凹凸性

§34函数单调性与曲线的凹凸性一．教学目的（一）知识目的（1）了解函数单调性与曲线的凹凸性的有关概念；（2）会利用导数判断函数图形的凹凸性和拐点；（二）能力目标（1）培养学生将实际问题转化为数学问题的能力；（2）培养学生观察、比较、抽象、概括的能力；（3）训练学生思维的灵活性。（三）德育目标（1）激发学生的内在动机；（2）养成良好的学习习惯。二．教学的重、难点及教学设计（一）教学重点：应用导数判断函数单调性与曲线的凹凸性（二）教学难点：用导数判断函数单调性与曲线的凹凸性方法的推导（三）教学设计要点：1．用导数判断函数的单调性；2．用导数判断函数图形的凹凸性和拐点；3．单调性及凹凸性的应用；三．教学过程1、函数单调性的判定法如果函数yf(x)在[ab]上单调增加（单调减少）那么它的图形是一条沿x轴正向上升（下降）的曲线这时曲线的各点处的切线斜率是非负的（是非正的）即yf(x)0(yf(x)0)由此可见函数的单调性与导数的符号有着密切的关系反过来能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？定理1(函数单调性的判定法)设函数yf(x)在[ab]上连续在(ab)内可导(1)如果在(ab)内f(x)0那么函数yf(x)在[ab]上单调增加(2)如果在(ab)内f(x)0那么函数yf(x)在[ab]上单调减少证明只证(1)在[ab]上任取两点x1x2(x1x2)应用拉格朗日中值定理得到f(x2)f(x1)f()(x2x1)(x1x2)由于在上式中x2x10因此如果在(ab)内导数f(x)保持正号即f(x)0那么也有f()0于是f(x2)f(x1)f()(x2x1)0即f(x1)f(x2)这函数yf(x)在[ab]上单调增加注判定法中的闭区间可换成其他各种区间例1判定函数yxsinx在[02]上的单调性解因为在(02)内，,y1cosx0所以由判定法可知函数yxcosx在[02]上的单调增加例2讨论函数yexx1的单调性（没指明在什么区间怎么办？)解yex1函数yexx1的定义域为()因为在(0)内y0所以函数yexx1在(0]上单调减少因为在(0)内y0所以函数yexx1在[0)上单调增加例3讨论函数32xy的单调性解函数的定义域为()函数的导数为332xy(x0)函数在x0处不可导当x0时函数的导数不存在因为x0时y0所以函数在(,0]上单调减少因为x0时y0所以函数在[0,)上单调增加如果函数在定义区间上连续除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续那么只要用方程f(x)0的根及导数不存在的点来划分函数f(x)的定义区间就能保证f(x)在各个部分区间内保持固定的符号因而函数f(x)在每个部分区间上单调例4确定函数f(x)2x39x212x3的单调区间解这个函数的定义域为:()函数的导数为:f(x)6x218x126(x1)(x2)导数为零的点有两个x11、x22列表分析(1][12][2)f(x)f(x)↗↘↗函数f(x)在区间(1]和[2)内单调增加在区间[12]上单调减少例5讨论函数yx3的单调性解函数的定义域为()函数的导数为y3x2除当x0时y0外在其余各点处均有y0因此函数yx3在区间(0]及[0)内都是单调增加的从而在整个定义域()内是单调增加的在x0处曲线有一水平切线一般地如果f(x)在某区间内的有限个点处为零在其余各点处均为正（或负）时那么f(x)在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的例6证明当x1时xx132证明令)13(2)(xxxf则)1(111)(22xxxxxxf因为当x1时f(x)0因此f(x)在[1,)上f(x)单调增加从而当x1时f(x)f(1)由于f(1)0故f(x)f(1)0即0)13(2xx也就是xx132(x1)二、曲线的凹凸与拐点定义（凹凸性）设f(x)在区间I上连续如果对I上任意两点x1x2恒有2)()()2(2121xfxfxxf那么称f(x)在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧)如果恒有2)()()2(2121xfxfxxf那么称f(x)在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧)定义设函数yf(x)在区间I上连续如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的上方，则称该曲线在区间I上是凹的；如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的下方，则称该曲线在区间I上是凸的凹凸性的判定定理设f(x)在[ab]上连续在(ab)内具有一阶和二阶导数那么(1)若在(ab)内f(x)0则f(x)在[ab]上的图形是凹的(2)若在(ab)内f(x)0则f(x)在[ab]上的图形是凸的简要证明只证(1)设21,xxx1x2[ab]且x1x2记2210xxx由拉格朗日中值公式得2)())(()()(21101101xxfxxfxfxf011xx2)())(()()(12202202xxfxxfxfxf220xx两式相加并应用拉格朗日中值公式得2)]()([)(2)()(1212021xxffxfxfxf02))((1212xxf21即)2(2)()(2121xxfxfxf所以f(x)在[ab]上的图形是凹的拐点连续曲线yf(x)上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点确定曲线yf(x)的凹凸区间和拐点的步骤(1)确定函数yf(x)的定义域(2)求出在二阶导数f`(x)(3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点(4)判断或列表判断确定出曲线凹凸区间和拐点注根据具体情况（1）（3）步有时省略例1判断曲线ylnx的凹凸性解xy121xy因为在函数ylnx的定义域(0)内y0所以曲线ylnx是凸的例2判断曲线yx3的凹凸性解y3x2y6x由y0得x0因为当x0时y0所以曲线在(0]内为凸的因为当x0时y0所以曲线在[0)内为凹的例3求曲线y2x33x22x14的拐点解y6x26x12)21(12612xxy令y0得21x因为当21x时y0当21x时y0所以点(212120)是曲线的拐点例4求曲线y3x44x31的拐点及凹、凸的区间解(1)函数y3x44x31的定义域为()(2)231212xxy)32(3624362xxxxy(3)解方程y0得01x322x(4)列表判断在区间(0]和[2/3)上曲线是凹的在区间[02/3]上曲线是凸的点(01)和(2/311/27)是曲线的拐点例5问曲线yx4是否有拐点？解y4x3y12x2当x0时y0在区间()内曲线是凹的因此曲线无拐点例6求曲线3xy的拐点解(1)函数的定义域为()(2)3231xy3292xxy(3)无二阶导数为零的点二阶导数不存在的点为x0(4)判断当x0当y0当x0时y0因此点(00)曲线的拐点四．布置作业做练习册第19大页有能力的同学可以附加做课后习题(0)0(02/3)2/3(2/3)f(x)00f(x)111/27