备战新课标高考理科数学2020124小题提速练五解析

提高小题的解题速度“12＋4”小题提速练五为解答后面的大题留足时间一、选择题1．已知集合A＝{x∈R|x＋1＞0}，B＝{x∈Z|x≤1}，则A∩B＝()A．{x|－1＜x≤1}B．{x|0≤x≤1}C．{0,1}D．{1}解析：选C∵A＝{x∈R|x＞－1}，B＝{x∈Z|x≤1}，∴A∩B＝{x∈Z|－1＜x≤1}，∴A∩B＝{0,1}．2．已知(2－i)z＝m－i，其中i是虚数单位，复数z在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A.－12，2B．(2，＋∞)C.－∞，－12D.12，2解析：选Az＝m－i2－i＝m－i2＋i2－i2＋i＝2m＋1＋m－2i5，由于复数z在复平面内对应的点在第四象限，则2m＋1＞0，m－2＜0，所以－12＜m＜2，故选A.3．某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：A—结伴步行，B—自行乘车，C—家人接送，D—其他方式．并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息，求本次抽查的学生中A类人数是()A．30B．40C．42D．48解析：选A由条形统计图知，B—自行乘车上学的有42人，C—家人接送上学的有30人，D—其他方式上学的有18人，采用B，C，D三种方式上学的共90人，设A—结伴步行上学的有x人，由扇形统计图知，A—结伴步行上学与B—自行乘车上学的学生占60%，所以x＋42x＋90＝60100，解得x＝30，故选A.4．(2019·天津模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝3，S13－S10＝36，则数列{an}的公差为()A．1B．－1C．－2D．2解析：选A设等差数列{an}的公差为d，S13－S10＝36，即a13＋a12＋a11＝36，从而3a12＝36，即a12＝12，由a12＝a3＋9d，得d＝1.故选A.5．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下面四个命题：①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；②若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n；③若m∥α，n⊂α，则m∥n；④若α∥β，γ∩α＝m，γ∩β＝n，则m∥n.其中正确命题的序号是()A．①④B．①②C．②③④D．④解析：选D对于①，同垂直于一个平面的两个平面可能相交，命题①错误；对于②，在两个互相垂直的平面内的两条直线可能互相平行，可能相交，也可能异面，命题②错误；对于③，直线m与n可能异面，命题③错误；对于④，由面面平行的性质定理知命题④正确．故正确命题的序号是④，选D.6．2019年1月1日，济南轨道交通1号线试运行，济南轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征求意见”活动．市民可以通过济南地铁APP抢票，小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王、小张、小刘、小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王和小李至多一人被选中的概率为()A.16B.13C.23D.56解析：选D法一：若小王和小李都没被选中，则有C22种方法，若小王和小李有一人被选中，则有C12C12种方法，故所求概率P＝C22＋C12C12C24＝56.法二：若小王和小李都被选中，则有1种方法，故所求概率P＝1－1C24＝56.7．函数f(x)＝x4|4x－1|的图象大致是()解析：选D由已知，得f(－x)－f(x)＝x44x|1－4x|－x4|4x－1|＝x44x－1|4x－1|，当x＞0时，4x＞1，f(－x)－f(x)＝x44x－1|4x－1|＝x4≠0，当x＜0时，0＜4x＜1，f(－x)－f(x)＝x44x－1|4x－1|＝－x4≠0，所以函数f(x)不是偶函数，排除选项A、B；当x→－∞时，4x→0，则|4x－1|→1，而x4→＋∞，所以f(x)→＋∞，排除选项C，故选D.8．已知实数x，y满足约束条件x－y＋3≥0，x＋2y≥0，x≤2，则z＝3x＋y的最小值为()A．－5B．2C．7D．11解析：选A实数x，y所满足的约束条件对应的可行域如图中阴影部分所示，作出直线3x＋y＝0并平移，易知当直线z＝3x＋y过直线y＝x＋3与y＝－12x的交点A(－2,1)时z最小，故zmin＝－6＋1＝－5.9．数列{Fn}：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”．该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．记数列{Fn}的前n项和为Sn，则下列结论正确的是()A．S2019＝F2021－1B．S2019＝F2021＋2C．S2019＝F2020－1D．S2019＝F2020＋2解析：选A根据题意有Fn＝Fn－1＋Fn－2(n≥3)，所以S3＝F1＋F2＋F3＝1＋F1＋F2＋F3－1＝F3＋F2＋F3－1＝F4＋F3－1＝F5－1，S4＝F4＋S3＝F4＋F5－1＝F6－1，S5＝F5＋S4＝F5＋F6－1＝F7－1，…，所以S2019＝F2021－1.10．(2019·郑州一模)函数f(x)是定义在(1，＋∞)上的可导函数，f′(x)为其导函数，若f(x)＋(x－1)f′(x)＝x2(x－2)，且f(e2)＝0，则不等式f(ex)0的解集为()A．(0,1)B．(0,2)C．(1,2)D．(2，＋∞)解析：选C令φ(x)＝(x－1)·f(x)，则φ′(x)＝(x－1)·f′(x)＋f(x)＝x2(x－2)，可知当x∈(1,2)时，φ(x)是单调减函数，并且0·f′(1)＋f(1)＝1×(1－2)＝－10，即f(1)0，x∈(2，＋∞)时，φ(x)是单调增函数，f(e2)＝0，则φ(e2)＝(e2－1)·f(e2)＝0，则不等式f(ex)0的解集就是(ex－1)f(ex)0的解集，即φ(ex)φ(e2)的解集，故不等式的解集为{x|1x2}．故选C.11．已知圆A：x2－2x＋y2＝0与圆C：x2＋y2－4y＝0相交于B，D两点，其中点A，C分别是圆A与圆C的圆心，则四边形ABCD的面积是()A．2B．4C．10D．25解析：选A圆A：x2－2x＋y2＝0可化为(x－1)2＋y2＝1，得圆心A的坐标为(1,0)；圆C：x2＋y2－4y＝0可化为x2＋(y－2)2＝4，得圆心C的坐标为(0,2)，所以|AC|＝5.联立x2－2x＋y2＝0，x2＋y2－4y＝0，得x＝0，y＝0或x＝85，y＝45，所以|BD|＝455.又易得AC⊥BD，所以四边形ABCD的面积为12|AC||BD|＝12×5×455＝2，故选A.12．已知曲线C1是以原点O为中心，F1，F2为焦点的椭圆，曲线C2是以O为顶点，F2为焦点的抛物线，A是曲线C1与C2的交点，且∠AF2F1为钝角，若|AF1|＝72，|AF2|＝52，则△AF1F2的面积是()A.3B.6C．2D．4解析：选B不妨设F1位于x轴负半轴，F2位于x轴正半轴，A(x0，y0)位于第一象限，如图所示．设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)．作抛物线的准线l，则l过F1，过A作AD垂直于准线l于点D，由抛物线的定义可得|AD|＝x0＋p2＝|AF2|＝52，所以y0＝722－522＝6.因为点A在抛物线上，所以y20＝2px0＝6.由2px0＝6，x0＋p2＝52，得p＝2，x0＝32或p＝3，x0＝1，又∠AF2F1为钝角，所以p＝2，所以F2(1,0)，所以|F1F2|＝2，所以△AF1F2的面积S＝12×2×6＝6.二、填空题13．在x－2x7的展开式中，x3的系数是________．解析：x－2x7的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr7x7－r·－2xr＝(－2)rCr7x7－2r，由7－2r＝3，得r＝2，所以展开式中x3的系数是(－2)2C27＝84.答案：8414．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝3Sn－1＋2n－3(n≥2)，a1＝－1，则a4＝________.解析：法一：由Sn＝3Sn－1＋2n－3(n≥2)可得S2＝3S1＋1＝3a1＋1，即a2＝2a1＋1＝－1.根据Sn＝3Sn－1＋2n－3(n≥2)，①知Sn＋1＝3Sn＋2n＋1－3，②②－①可得，an＋1＝3an＋2n(n≥2)．两边同时除以2n＋1可得an＋12n＋1＝32·an2n＋12(n≥2)，令bn＝an2n，可得bn＋1＝32·bn＋12(n≥2)．∴bn＋1＋1＝32(bn＋1)(n≥2)，数列{bn＋1}是以b2＋1＝34为首项，32为公比的等比数列．∴bn＋1＝32n－2·34(n≥2)，∴bn＝12·32n－1－1(n≥2)．又b1＝－12也满足上式，∴bn＝32n－1·12－1(n∈N*)，又bn＝an2n，∴an＝2nbn，即an＝3n－1－2n.∴a4＝33－24＝11.法二：由Sn＝3Sn－1＋2n－3(n≥2)，a1＝－1，知S2＝3S1＋4－3，∴a2＝－1.S3＝3S2＋8－3，∴a3＝1.S4＝3S3＋16－3，∴a4＝11.答案：1115．已知抛手线C：y2＝4x的焦点为F，动点P在抛物线C上，点A(－1,0)，则|PF||PA|的最小值为________，当|PF||PA|取得最小值时，直线AP的方程为________．解析：设P点的坐标为(4t2,4t)，∵F(1,0)，A(－1,0)，∴|PA|2＝(4t2－1)2＋16t2＝16t4＋8t2＋1，|PA|2＝(4t2＋1)2＋16t2＝16t4＋8t2＋1，∴|PF||PA|2＝16t4＋8t2＋116t4＋35t2＋1＝1－16t216t4＋24t2＋1＝1－1616t2＋1t224≥1－16216t2·1t2＋24＝1－1632＝12，当且仅当16t2＝1t2，即t＝±12时取等号，此时点P坐标为(1,2)或(1，－2)，∴直线AP的方程为y＝±(x＋1)，即x＋y＋1＝0或x－y＋1＝0.答案：12x＋y＋1＝0或x－y＋1＝016．已知在三棱锥A­BCD中，AB＝AD＝BD＝2，BC＝CD＝2，AC＝7，则三棱锥A­BCD外接球的表面积为________．解析：如图，记E为BD的中点，F为△ABD的外心，O为三棱锥A­BCD外接球的球心，R为外接球的半径．连接CE，AE.因为BC2＋CD2＝BD2，所以BC⊥CD，所以△BCD为以BD为斜边的等腰直角三角形，所以BD⊥CE，EC＝1.因为AB＝AD＝BD，所以△ABD为等边三角形，所以AE⊥BD，点F在线段AE上，且AF＝2EF，可得AE＝3，EF＝AE3＝33.连接OE，OF，结合球的几何特征，可知OF⊥平面ABD，OE⊥平面BCD，所以OE⊥BD，OF⊥BD，又OE∩OF＝O，所以BD⊥平面OEF.又AE∩CE＝E，所以BD⊥平面AEC，所以点O在平面AEC内．在△AEC中，cos∠AEC＝AE2＋EC2－AC22AE·EC＝32＋12－722×3×1＝－32，故∠AEC＝5π6，则∠FEO＝π3.在Rt△OEF中，OE＝EFcos∠FEO＝3312＝233.连接OC，在Rt△OEC中，R2＝OC2＝OE2＋EC2＝43＋1＝73，所以三棱锥A­BCD外接球的表面积为4πR2＝28π3.答案：28π3