专题09不等式推理与证明2019年高考真题和模拟题分项汇编数学文解析

专题09不等式、推理与证明1．【2019年高考全国I卷文数】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512（512≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是A．165cmB．175cmC．185cmD．190cm【答案】B【解析】方法一：如下图所示.依题意可知：5151,22ACABCDBC，①腿长为105cm得，即105CD，5164.892ACCD，64.89105169.89ADACCD，所以AD169.89.②头顶至脖子下端长度为26cm，即AB26，42.07512ABBC，=+68.07ACABBC，110.15512ACCD，+68.07+110.15=178.22ACCD，所以178.22AD.综上，169.89178.22AD.故选B.方法二：设人体脖子下端至肚脐的长为xcm，肚脐至腿根的长为ycm，则2626511052xxy，得42.07cm,5.15cmxy．又其腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，所以其身高约为42.07+5.15+105+26=178.22，接近175cm．故选B．【名师点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题．2．【2019年高考全国III卷文数】记不等式组6,20xyxy表示的平面区域为D．命题:(,),29pxyDxy；命题:(,),212qxyDxy．下面给出了四个命题①pq②pq③pq④pq这四个命题中，所有真命题的编号是A．①③B．①②C．②③D．③④【答案】A【解析】根据题中的不等式组可作出可行域，如图中阴影部分所示，记直线1:2+9,lyx2:=2+12lyx，由图可知，(,),29,(,),212xyDxyxyDxy…，所以p为真命题，q为假命题，所以p为假命题，q为真命题，所以pq为真命题，pq为假命题，pq为真命题，pq为假命题，所以所有真命题的编号是①③.故选A.【名师点睛】本题将线性规划和不等式，命题判断综合到一起，解题关键在于充分利用取值验证的方法进行判断.3．【2019年高考北京卷文数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2−m1=52lg21EE，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．10–10.1【答案】A【解析】两颗星的星等与亮度满足12125lg2EmmE,令211.45,26.7mm,10.111212222lg(1.4526.7)10.1,1055EEmmEE.故选：A．【名师点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.4．【2019年高考天津卷文数】设变量,xy满足约束条件20,20,1,1,xyxyxy……，则目标函数4zxy的最大值为A．2B．3C．5D．6【答案】D【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分.目标函数的几何意义是直线4yxz在y轴上的截距，故目标函数在点A处取得最大值.由20,1xyx，得(1,1)A，所以max4(1)15z.故选C.【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求．5．【2019年高考天津卷文数】设xR，则“05x”是“|1|1x”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】11x等价于02x，故05x推不出11x；由11x能推出05x，故“05x”是“|1|1x”的必要不充分条件.故选B.【名师点睛】充要条件的三种判断方法：(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；(2)集合法：根据由p，q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．6．【2019年高考浙江卷】若实数,xy满足约束条件3403400xyxyxy，则32zxy的最大值是A．1B．1C．10D．12【答案】C【解析】画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示.因为32zxy，所以3122yxz.平移直线3122yxz可知，当该直线经过点A时，z取得最大值.联立两直线方程可得340340xyxy，解得22xy.即点A坐标为(2,2)A，所以max322210z.故选C.【名师点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.7．【2019年高考浙江卷】若0,0ab，则“4ab”是“4ab”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当0,0ab时，2abab当且仅当ab时取等号，则当4ab时，有24abab，解得4ab，充分性成立；当=1,=4ab时，满足4ab，但此时=54a+b，必要性不成立，综上所述，“4ab”是“4ab”的充分不必要条件.【名师点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,ab的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.8．【2019年高考全国II卷文数】若变量x，y满足约束条件23603020xyxyy，，，则z=3x–y的最大值是______.【答案】9【解析】画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，阴影部分表示的三角形ABC区域，根据直线30xyz中的z表示纵截距的相反数，当直线3zxy过点3,0C（）时，z取最大值为9．【名师点睛】本题考查线性规划中最大值问题，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取图解法，利用数形结合思想解题．搞不清楚线性目标函数的几何意义致误，从线性目标函数对应直线的截距观察可行域，平移直线进行判断取最大值还是最小值．9．【2019年高考全国II卷文数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）【答案】26，21【解析】【答案】26，21【解析】由图可知第一层（包括上底面）与第三层（包括下底面）各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有18826个面．如图，设该半正多面体的棱长为x，则ABBEx，延长CB与FE交于点G，延长BC交正方体棱于H，由半正多面体对称性可知，BGE△为等腰直角三角形，22,2(21)122BGGECHxGHxxx，12121x，即该半正多面体棱长为21．【名师点睛】本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱，题目其实很简单，稳中求胜是关键．立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形．10．【2019年高考北京卷文数】若x，y满足2,1,4310,xyxy则yx的最小值为__________，最大值为__________．【答案】3；1【解析】根据题中所给约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示.设zyx，则=+yxz，求出满足在可行域范围内z的最大值、最小值即可，即在可行域内，当直线=+yxz的纵截距最大时，z有最大值，当直线=+yxz的纵截距最小时，z有最小值.由图可知，当直线=+yxz过点A时,z有最大值，联立24310xxy，可得23xy，即(2,3)A，所以max321z；当直线=+yxz过点(2,1)B时，z有最小值，所以min123z.【名师点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大，注重了基础知识、基本技能的考查.11．【2019年高考天津卷文数】设0,0,24xyxy，则(1)(21)xyxy的最小值为__________.【答案】92【解析】(1)(21)2212525xyxyyxxyxyxyxyxy.因为0,0,24xyxy，所以2422xyxy，即22,02xyxy，当且仅当22xy时取等号成立.又因为192255=22xy，所以(1)(21)xyxy的最小值为92.【名师点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立.12．【2019年高考北京卷文数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．【答案】①130；②15.【解析】（1）10x,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付608010130元.（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为y元,120y元时,李明得到的金额为80%y,符合要求.120y元时,有80%70%yxy恒成立,即87,8yyxyx,即min158yx元.所以x的最大值为15.【名师点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.13．（四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试数学（理)试题）已知集合(1)(4)0Axxx，2log2Bxx，则ABA．2,4B．1,C．0,4D．2,【答案】C【解析】(1)(4)01,4Axxx，2log20,4Bxx，故0,4AB，故选C.【名师点睛】本题考查集合的交集，属于基础题，解题时注意对数不等式的等价转化.14．【广东省韶关市2019届高考模拟测试（4月)数学试题】若x，y满足约束条件22201yxxyy，则zxy的最大值为A．35-B．12C．5D．6【答案】C【解析】变量x，y满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示：目标函数zxy是斜率等于1、纵截距为z的直线，当直线经过可行域的A点时，纵截距z取得最小值，则此时目标函数z取得最大值，由1220yxy