专题02导数2017年高考数学文试题分项版解析解析

1.【2017浙江，7】函数y=f(x)的导函数()yfx的图像如图所示，则函数y=f(x)的图像可能是【答案】D【解析】试题分析：原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点大于0，因此选D．【考点】导函数的图象【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x轴的交点为0x，且图象在0x两侧附近连续分布于x轴上下方，则0x为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数)('xf的正负，得出原函数)(xf的单调区间．2.【2017课标1，文14】曲线21yxx在点（1，2）处的切线方程为______________．【答案】1yx【解析】【考点】导数几何意义【名师点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点),(00yxP及斜率，其求法为：设),(00yxP是曲线)(xfy上的一点，则以P的切点的切线方程为：))(('000xxxfyy．若曲线)(xfy在点))(,(00xfxP的切线平行于y轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0xx．3.【2017天津，文10】已知aR，设函数()lnfxaxx的图象在点（1，(1)f）处的切线为l，则l在y轴上的截距为.【答案】1【解析】【考点】导数的几何意义【名师点睛】本题考查了导数的几何意义，属于基础题型，函数fx在点0x处的导数0fx的几何意义是曲线yfx在点00,Pxy处的切线的斜率．相应地，切线方程为000yyfxxx．注意：求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的不同,谨记，有切点直接带入切点，没切点设切点，建立方程组求切点.4.【2017课标1，文21】已知函数()fx=ex(ex﹣a)﹣a2x．（1）讨论()fx的单调性；（2）若()0fx，求a的取值范围．【答案】（1）当0a，)(xf在(,)单调递增；当0a，()fx在(,ln)a单调递减，在(ln,)a单调递增；当0a，()fx在(,ln())2a单调递减，在(ln(),)2a单调递增；（2）34[2e,1]．【解析】试题分析：（1）分0a，0a，0a分别讨论函数)(xf的单调性；（2）分0a，0a，0a分别解0)(xf，从而确定a的取值范围．试题解析：（1）函数()fx的定义域为(,)，22()2(2)()xxxxfxeaeaeaea，①若0a，则2()xfxe，在(,)单调递增．②若0a，则由()0fx得lnxa．当(,ln)xa时，()0fx；当(ln,)xa时，()0fx，所以()fx在(,ln)a单调递减，在(ln,)a单调递增．③若0a，则由()0fx得ln()2ax．当(,ln())2ax时，()0fx；当(ln(),)2ax时，()0fx，故()fx在(,ln())2a单调递减，在(ln(),)2a单调递增．【考点】导数应用【名师点睛】本题主要考查导数的两大方面的应用：（一）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出)('xf，有)('xf的正负，得出函数)(xf的单调区间；（二）函数的最值（极值）的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数)(xf极值或最值．5.【2017课标II，文21】设函数2()(1)xfxxe.（1）讨论()fx的单调性；（2）当0x时，()1fxax，求a的取值范围.【答案】（Ⅰ）在(,12)和(12,)单调递减，在(12,12)单调递增（Ⅱ）[1,)【解析】试题分析：（1）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号确定单调区间（2）对a分类讨论，当a≥1时，()(1)(1)11xfxxxexax，满足条件；当0a时，取20000051,()(1)(1)112xfxxxax，当0＜a＜1时，取05412ax，20000()(1)(1)1fxxxax.试题解析：（1）2()(12)xfxxxe令()0fx得12x当(,12)x时，()0fx；当(12,12)x时，()0fx；当(12,)x时，()0fx所以()fx在(,12)和(12,)单调递减，在(12,12)单调递增当0a时，取20000051,()(1)(1)112xfxxxax综上，a的取值范围[1，+∞）【考点】利用导数求函数单调区间，利用导数研究不等式恒成立【名师点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.6.【2017课标3，文21】已知函数()fx=lnx+ax2+(2a+1)x．（1）讨论()fx的单调性；（2）当a﹤0时，证明3()24fxa．【答案】（1）当0a时，)(xf在),0(单调递增；当0a时，则)(xf在)21,0(a单调递增，在),21(a单调递减；（2）详见解析【解析】试题分析：（1）先求函数导数(21)(1)'()(0)axxfxxx，再根据导函数符号变化情况讨论单调性：当0a时，0)('xf，则)(xf在),0(单调递增，当0a时，则)(xf在)21,0(a单调递增，在),21(a单调递减.（2）证明3()24fxa，即证max3()24fxa，而)21()(maxafxf，所以目标函数为121)21ln()243()21(aaaaf，即tty1ln（021at），利用导数易得0)1(maxyy，即得证.【考点】利用导数求单调性，利用导数证不等式【名师点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1)构造差函数()()()hxfxgx.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.7.【2017山东，文20】（本小题满分13分）已知函数3211,32fxxaxaR.,(I)当a=2时,求曲线yfx在点3,3f处的切线方程；(II)设函数cossingxfxxaxx,讨论gx的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.【答案】(I)390xy,（2）(II)⑴0a无极值；⑵0a极大值为31sin6aa,极小值为a；⑶0a极大值为a,极小值为31sin6aa.【解析】试题分析：(I)根据求出切线斜率,再用点斜式写出切线方程；(II)由()(sin)gxxaxx,通过讨论确定gx单调性,再由单调性确定极值.（1）当0a时，'()()(sin)gxxaxx，当(,)xa时，0xa，'()0gx，()gx单调递增；当(,0)xa时，0xa，'()0gx，()gx单调递减；当(0,)x时，0xa，'()0gx，()gx单调递增.所以，当xa时，()gx取到极大值，极大值是31()sin6gaaa，当0x时，()gx取到极小值，极小值是(0)ga.（2）当0a时，'()(sin)gxxxx，当(,)x时，'()0gx，()gx单调递增；所以，()gx在(,)上单调递增，()gx无极大值也无极小值.（3）当0a时，'()()(sin)gxxaxx，当(,0)x时，0xa，'()0gx，()gx单调递增；当(0,)xa时，0xa，'()0gx，()gx单调递减；当0a时，函数()gx在(,0)和(,)a上单调递增，在(0,)a上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是(0)ga，极小值是31()sin6gaaa.【考点】导数的几何意义及导数的应用【名师点睛】(1)求函数f(x)极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0,求出函数定义域内的所有根；④检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在x0处取极小值．(2)若函数y＝f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y＝f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值.8.【2017天津，文19】设,abR，||1a.已知函数32()63(4)fxxxaaxb，()e()xgxfx.（Ⅰ）求()fx的单调区间；（Ⅱ）已知函数()ygx和exy的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：()fx在0xx处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式()exgx在区间00[1,1]xx上恒成立，求b的取值范围.【答案】（Ⅰ）递增区间为(,)a，(4,)a，递减区间为(),4aa.（2）（ⅰ）()fx在0xx处的导数等于0.（ⅱ）b的取值范围是[7],1.【解析】试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数34fxxaxa，再根据1a，求得两个极值点的大小关系，4aa，再分析两侧的单调性，求得函数的单调区间；（Ⅱ）（ⅰ）根据gx与xe有共同的切线，根据导数的几何意义建立方程，求得00fx，得证；（Ⅲ）将不等式转化为1fx，再根据前两问可知0x是极大值点0xa，由（I）知()fx在(,)1aa内单调递增，在(),1aa内单调递减，从而1fxfa在[1,1]aa上恒成立，得32261baa，11a，再根据导数求函数的取值范围.（II）（i）因为()e(()())xxxg'ff'x，由题意知0000()e()exxxxgg'，所以0000000()eee(()())exxxxfffx'xx，解得00()1()0f'xxf.所以，()fx在0xx处的导数等于0.（ii）因为()exgx，00[11],xxx，由e0x，可得()1fx.又因为0()1fx，0()0f'x，故0x为()fx的极大值点，由（I）知0xa.另一方面，由于||1a，故14aa，由（I）知()fx在(,)1aa内单调递增，在(),1aa内单调递减，故当0xa时，()()1ffxa在[1,1]aa上恒成立，从而()exgx在00,[11]xx上恒成立.由32()63()14aafaaaab，得32261baa，11a.令32()261txxx，[1,1]x，所以2()612t'xxx，令()0t'x，解得2x（舍去），或0x.因为(1)7t，(1)3t，(0)1t，故()tx的值域为[7],1.所以，b的取值范围是[7],1.【考点】1.导数的几何意义；2.导数求函数的单调区间；3.导数的综合应用.【名师点睛】本题本题考点为导数的应用，本题属于中等问题，第一问求导后要会分解因式，并且根据条件能判断两个极值点的大小关系，避免讨论，第二问导数的几何意义，要注意切点是公共点，切点处的导数相等的条件，前两问比较容易入手，但第三问，需分析出0xa，同时根据单调性判断函数的最值，涉及造函数解题较难，这一问思维巧妙，有选拔优秀学生的功能.9.【2017北京，文20】已知函数()ecosxfxxx