2020版新高考二轮复习理科数学专项小测412选择4填空解析

专项小测(四)“12选择＋4填空”时间：45分钟满分：80分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M＝{x|(x－1)(x－2)≤0}，N＝{x|x0}，则()A．N⊆MB．M⊆NC．M∩N＝∅D．M∪N＝R解析：由题意，得M＝{x|(x－1)(x－2)≤0}＝{x|1≤x≤2}，则M⊆N，故选B.答案：B2．命题“∀x∈R，ex≥x＋1”的否定是()解析：命题“∀x∈R，ex≥x＋1”的否定是∃x0∈R，x0＋1，故选D.答案：D3．设复数z满足(1＋2i)z＝1－3i，则z在复平面内对应的点所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：解法一：设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则(1＋2i)z＝(1＋2i)(a＋bi)＝a－2b＋(2a＋b)i＝1－3i，所以a－2b＝1，2a＋b＝－3，解得a＝－1，b＝－1.则复数z在复平面内对应的点所在的象限是第三象限，故选C.解法二：z＝1－3i1＋2i＝1－3i1－2i1＋2i1－2i＝－5－5i5＝－1－i，则复数z在复平面内对应的点所在的象限是第三象限，故选C.答案：C4．已知递减的等比数列{an}的各项均为正数，且a1a2a3＝8，a1＋1，a2＋1，a3成等差数列，则a9＝()A.116B.132C.164D.1128解析：解法一：设等比数列{an}的公比为q，因为a1a2a3＝8，所以a1·a1q·a1q2＝8，即a31q3＝8，则a1q＝2，又a1＋1，a2＋1，a3成等差数列，所以2(a2＋1)＝a1＋1＋a3，即2a2＝a1＋a3－1,2a1q＝a1＋a1q2－1，所以a1＋4a1－5＝0，则a21－5a1＋4＝0，解得a1＝1或a1＝4.当a1＝1时，q＝2，不符合题意，舍去；当a1＝4时，q＝12，满足题意．所以a9＝4×128＝164.解法二：设等比数列{an}的公比为q，因为a1a2a3＝8，所以a32＝8，所以a2＝2，因为a1＋1，a2＋1，a3成等差数列，所以2(a2＋1)＝a1＋1＋a3，所以2a2＝a1＋a3－1，则2a2＝a2q＋a2q－1，所以4＝2q＋2q－1，即2q2－5q＋2＝0，解得q＝12或q＝2(舍去)，所以a9＝2×127＝164.答案：C5．已知cosα＋π6＝13，则sin2α－π6＝()A．－79B.79C.89D．－89解析：因为cosα＋π6＝13，所以sin2α－π6＝－cos2α－π6＋π2＝－cos2α＋π3＝1－2cos2α＋π6＝79，故选B.答案：B6．若均不为1的实数a、b满足a＞b＞0，且ab＞1，则()A．loga3＞logb3B．3a＋3b＞6C．3ab＋1＞3a＋bD．ab＞ba解析：当a＝9，b＝3时loga3＜logb3；当a＝2，b＝1时3ab＋1＝3a＋b；当a＝4，b＝2时ab＝ba;因为a＞b＞0，ab＞1，所以3a＋3b＞23a3b＝23a＋b＞232ab＞6，故选B.答案：B7．在△ABC中，G为△ABC的重心，M为AC上一点，且满足MC→＝3AM→，则()A.GM→＝13AB→＋112AC→B.GM→＝－13AB→－112AC→C.GM→＝－13AB→＋712AC→D.GM→＝13AB→－712AC→解析：由题意，画出几何图形如图所示：根据向量加法运算可得GM→＝GA→＋AM→.因为G为△ABC的重心，M满足MC→＝3AM→，所以AG→＝23×12(AB→＋AC→)＝13(AB→＋AC→)，AM→＝14AC→，所以GM→＝－13AB→＋13AC→＋14AC→＝－13AB→－112AC→，故选B.答案：B8．已知函数f(x)＝ex＋a，x≤0|lnx|，x0，g(x)＝f(x)＋x，若g(x)有且仅有一个零点，则a的取值范围是()A．(－∞，－1)B．[－1，＋∞)C．(－∞，0)D．[0，＋∞)解析：如图，g(x)有且仅有一个零点等价于f(x)＝－x有且仅有一个根，结合y＝f(x)的图象与y＝－x的图象可知，当e0＋a≥0，即a≥－1时，y＝f(x)的图象与y＝－x的图象有唯一交点，故选B.答案：B9．函数f(x)＝x2－1e|x|的图象大致为()解析：因为y＝x2－1与y＝e|x|都是偶函数，所以f(x)＝x2－1e|x|为偶函数，排除A，B，又由x→＋∞时，f(x)→0，x→－∞时，f(x)→0，排除D，故选C.答案：C10．已知△ABC的内角A、B、C所对边分别为a、b、c，且满足3atanA＝bcosC＋ccosB，则A＝()A.π6B.5π6C.π3D.2π3解析：∵3atanA＝bcosC＋ccosB，∴由正弦定理得3sinAtanA＝sinBcosC＋cosBsinC，∴3sinAtanA＝sin(B＋C)＝sinA.∵0＜A＜π，∴tanA＝33，∴A＝π6，故选A.答案：A11．我国古代《九章算术》里记载了一个求“羡除”体积的例子．羡除，隧道也，其所穿地，上平下邪．小明仿制羡除裁剪出如图所示的纸片，在等腰梯形ABCD中，AB＝10，BC＝CD＝DA＝8，在等腰梯形ABEF中，EF＝6，AF＝BE＝6.将等腰梯形ABCD沿AB折起，使DF＝CE＝26，则五面体ABCDFE中异面直线AC与DE所成角的余弦值为()A．0B.24C．－24D.22解析：如图，过点C作AB的垂线，H为垂足，易知BH＝1，CH＝37，AC＝12.同理，在等腰梯形CDFE中，对角线DE＝62.过点C作CG∥DE交FE的延长线于点G，易知四边形CDEG是平行四边形，DE綊CG，连接AG，则异面直线AC与DE所成的角即直线AC与CG所成的角．过点A作AT⊥EF，交EF的延长线于点T，则易知AT＝42，TG＝16，所以AG＝122.在△ACG中，AG＝122，AC＝12，CG＝DE＝62，由余弦定理得cos∠ACG＝144＋72－2882×12×62＝－24.因为异面直线所成的角在0，π2范围内，所以异面直线AC与DE所成角的余弦值为24，故选B.答案：B12．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，且双曲线C与圆x2＋y2＝c2在第一象限相交于点A，且|AF1|＝3|AF2|，则双曲线C的离心率是()A.3＋1B.2＋1C.3D.2解析：双曲线C与圆x2＋y2＝c2在第一象限相交于点A，可得|AF1|－|AF2|＝2a，由|AF1|＝3|AF2|，可得|AF1|＝(3＋3)a，|AF2|＝(1＋3)a，由AF1⊥AF2，可得|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，即(12＋63)a2＋(4＋23)a2＝4c2，解得e＝1＋3，故选A.答案：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知实数x，y满足x＋y≤2，2x＋y≥2，y≥0，则z＝x＋2y的最小值为________．解析：作出实数x，y满足x＋y≤2，2x＋y≥2，y≥0对应的平面区域，如下图所示．由z＝x＋2y得y＝－12x＋12z，平移直线y＝－12x＋12z，由图象可知当直线y＝－12x＋12z经过点B(1,0)时，直线的截距最小，此时z最小，即z＝1＋2×0＝1.答案：114．函数y＝sinωx＋π6(ω∈N*)的一条对称轴为x＝π6，则ω的最小值为________．解析：∵函数y＝sinωx＋π6(ω∈N*)的一条对称轴为x＝π6，∴ωπ6＋π6＝π2＋kπ，k∈Z，∴ω＝2＋6k，k∈Z，又ω∈N*，∴ω的最小值为2.答案：215．某校开设物理、化学、生物、政治、历史、地理6门选修课，甲同学需从中选修3门，其中化学、生物两门中至少选修一门，则不同的选法种数有________种．(用数字填写答案)解析：由题意，可知化学、生物两门中至少选修一门，可分为两种情况：当化学、生物两门中选修一门，其余四科中选两门，共有C12C24＝12种；当化学、生物两门中选修两门，其余四科中选一门，共有C22C14＝4种；综上可知，化学、生物两门中至少选修一门，则不同的选法共有12＋4＝16种．答案：1616．数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an＋1，{an}的前n项和为Sn，则Sn＝________.解析：由an＋1＝2an＋1得an＋1＋1＝2(an＋1)，所以an＋1＋1an＋1＝2，且a1＋1＝2，所以数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，且an＋1＝2×2n－1＝2n，所以an＝2n－1，前n项和Sn＝21＋22＋23＋…＋2n－n＝21－2n1－2－n＝2n＋1－n－2.答案：2n＋1－n－2