苏教版立体几何习题精选(含答案详解)

（江苏最后1卷）给出下列四个命题：（1）如果平面与平面相交，那么平面内所有的直线都与平面相交（2）如果平面⊥平面，那么平面内所有直线都垂直于平面（3）如果平面⊥平面，那么平面内与它们的交线不垂直的直线与平面也不垂直（4）如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面真命题．．．的序号是▲．（写出所有真命题的序号）【答案】（3）（4）（南师大信息卷）在棱长为1的正方体中，若点是棱上一点，则满足的点的个数为6.提示：点在以为焦点的椭圆上，分别在、、、、、上.或者，若在上，设,有.故上有一点（的中点）满足条件.同理在、、、、上各有一点满足条件.又若点在上上，则.故上不存在满足条件的点，同理上不存在满足条件的点.（南通三模）已知正方体1C的棱长为182，以1C各个面的中心为顶点的凸多面体为2C，以2C各个面的中心为顶点的凸多面体为3C，以3C各个面的中心为顶点的凸多面体为4C，依此类推。记凸多面体nC的棱长为na，则6a=▲.解析：考查推理方法以及几何体中元素的关系理解应用。正方体1C的棱长为1111ABCDABCDP12PAPCPP1ACPABAD1AA11CB11CD1CCPABAPx2211(1)(2)2,2PAPCxxxABPABAD1AA11CB11CD1CCP1BB2211112PAPCBPBP1BBP1DDP1A1B2A2B2A2B3A3B2A2B3A3B218111BAa,由1C各个面的中心为顶点的几何体为正八面体2C，其棱长182211222BABAa，由2C各个面的中心为顶点的几何体为正方体3C,其棱长263222333BABAa,如此类推：得到2,22,6654aaa。答案：2（泰州期末）设、、表示是三个不同的平面，a、b、c表示是三条不同的直线，给出下列五个命题：(1)若a∥，b∥，a∥b，则∥；(2)若a∥，b∥，，则；(3)若；(4)若则或；答案：(2)bac,,ba//acbcaba,,,,,//（南京三模）7.已知、是两个不同的平面，下列四个条件：①存在一条直线a，a，a；②存在一个平面，,；③存在两条平行直线a、b，,ab，a∥，b∥；④存在两条异面直线a、b，,ab，a∥，b∥。其中是平面∥平面的充分条件的为=▲．（填上所有符合要求的序号）答案:①③（苏锡常二模）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列命题：（1）若，，，则；（2）若，，，则；（3）若，，，则；（4）若，，，则.上面命题中，所有真命题的序号为.答案：（2），（4）（苏州期末）已知正三棱锥的底面边长为6,侧棱长为5,则此三棱锥的体积为_________.答案：339mn//mnnm////m//nnmm//nnm//mnnmABCDEGD1（第11题）C1A1B1FABEG①A1B1FADEG②A1D1(F)A(E)B③DCFG（南京二模）.一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥容器，当x=6cm时，该容器的容积为__________________3cm.答案：48（南通一模）．在棱长为4的正方体中，、分别为棱、上的动点，点为正方形的中心.则空间四边形在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中，面积的最大值为▲.答案：12解析：如图①，当E与1A重合，F与1B重合时，四边形AEFG在前、后面的正投影的面积最大值为12；如图②，当E与1A重合，四边形AEFG在左、右面的正投影的面积最大值为8；如图③，当F与D重合时，四边形AEFG在上、下面的正投影的面积最大值为8；综上得，面积最大值为12.(本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本)1111ABCDABCDEF1AA11DCG11BBCCAEFG（盐城二模）在四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,ABCD,ABBC,1ABBC,2DC,点E在PB上.(1)求证:平面AEC平面PAD；(2)当PD平面AEC时,求:PEEB的值.15.(1)证明:过A作AFDC于F,则CF=DF=AF,所以090DAC,即ACDA……………………………2分又PA底面ABCD,AC面ABCD,所以ACPA……4分因为,PAAD面PAD,且PAADA,所以AC底面PAD…………………………………………6分而AC面ABCD,所以平面AEC平面PAD……………………………………………………8分(2)连接BD交AC于点O,连接EO,因为PD平面AEC,PD面PBD,面PBD面AEC=EO,所以PD//EO…………………………………………………………………11分则:PEEB=:DOOB,而::2DOOBDCAB,所以:2PEEB…………………………14分第15题PABCDE（南京二模）如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD平面BCE，BEEC.（1）求证：平面AEC平面ABE；（2）点F在BE上，若DE//平面ACF，求BEBF的值。解：（1）证明：因为ABCD为矩形，所以AB⊥BC．因为平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD∩平面BCE＝BC，AB平面ABCD，所以AB⊥平面BCE．………………3分因为CE平面BCE，所以CE⊥AB．因为CE⊥BE，AB平面ABE，BE平面ABE，AB∩BE＝B，所以CE⊥平面ABE．…………………………6分因为CE平面AEC，所以平面AEC⊥平面ABE．…………………………8分（2）连结BD交AC于点O，连结OF．因为DE∥平面ACF，DE平面BDE，平面ACF∩平面BDE＝OF，所以DE//OF．…………………………12分又因为矩形ABCD中，O为BD中点，所以F为BE中点，即BMBF＝12．…………………………14分ABCDEF(第16题图）O（天一、淮阴、海门三校联考）在直三棱柱111CBAABC中，AC=4,CB=2,AA1=2，60ACB，E、F分别是BCCA,11的中点．（1）证明：平面AEB平面CCBB11；（2）证明：//1FC平面ABE；（3）设P是BE的中点，求三棱锥FCBP11的体积．16.（1）证明：在中ABC，∵AC=2BC=4,060ACB∴32AB，∴222ACBCAB，∴BCAB由已知1BBAB，∴CCBBAB11面又∵CCBBABEABEAB11面，故面（2）证明：取AC的中点M，连结FMMC,1在ABFMABC//中，,而FMABE平面，∴直线FM//平面ABE在矩形11AACC中，E、M都是中点，∴AEMC//1而1CMABE平面，∴直线ABEMC面//1又∵MFMMC1∴1//FMCABE面面ABCEFP1A1B1CHGB故AEBFC面//1（或解：取AB的中点G，连结FG，EG，证明1//CFEG，从而得证）（3）取11BC的中点H，连结EH，则//EHAB且132EHAB，由（1）CCBBAB11面，∴11EHBBCC面，∵P是BE的中点，∴1111111113223PBCFEBCFBCFVVSEH（泰州期末）如图，三棱锥A—BCD，BC=3，BD=4，CD=5，AD⊥BC，E、F分别是棱AB、CD的中点，连结CE，G为CE上一点．(1)求证：平面CBD⊥平面ABD；(2)若GF∥平面ABD，求CGGE的值．15．解：(1)在△BCD中，BC=3，BD=4，CD=5，∴BC⊥BD又∵BC⊥AD，BD∩AD=D∴BC⊥平面ABD…………………………4′又∵BC平面BCD∴平面CBD⊥平面ABD…………………………7′(2)∵GF∥平面ABD,FG平面CED平面CED∩平面ABD=DE∴GF∥ED…………………………10′∴G为线段CE的中点∴CGGE=1…………………………14′（南京三模）16．（本小题满分14分）在△ABC中，90,60,1OOBACBAB,D为线段BC的中点，E、F为线段AC的三等分点（如图1）.将△ABD沿着AD折起到△ABD的位置，连结BC（如图2）.(1)若平面ABD⊥平面ADC，求三棱锥B-ADC的体积;ABCDFEGABCC1B1A1FDE（第16题）OM(2)记线段BC的中点为H,平面BED与平面HFD的交线为l,求证:HF∥l;(3)求证:AD⊥BE.（南通三模）如图，三棱柱111ABCABC中，D、E分别是棱BC、AB的中点，点F在棱1CC上，已知1,3,2ABACAABCCF.(1)求证:1CE∥平面ADF;(2)若点M在棱1BB上，当BM为何值时，平面CAM⊥平面ADF?分析：（1）要证明ADFEC平面//1,可通过线线平行和面面平行两条路来证明线面平行.Ⅰ.要在平面ADF中找到与EC1平行的直线，可反用线面平行的性质，利用过EC1的平面与平面ADF的交线OF,这里注意O为ABC的重心，（12OECO）,再利用比例关系证明OFEC//1从而证明结论.Ⅱ.取BD中点M,可通过证明面ADFMEC平面//1,证明ADFEC平面//1解：（1）连接交于，连接．因为CE，AD为△ABC中线，所以O为△ABC的重心，．从而OF//C1E．………………………………………………………………………………3分OF面ADF，平面，所以平面．……………………………………………………………………6分（2）当BM=1时，平面平面．在直三棱柱中，由于平面ABC，BB1平面B1BCC1，所以平面B1BCC1平面ABC．由于AB=AC，是中点，所以．又平面B1BCC1∩平面ABC=BC，所以AD平面B1BCC1．而CM平面B1BCC1，于是ADCM．…………………………………………………9分因为BM=CD=1，BC=CF=2，所以≌，所以CMDF．………11分DF与AD相交，所以CM平面．CM平面CAM，所以平面平面．………………………………………13分当BM=1时，平面平面．…………………………………………………14分CEADOOF123CFCOCCCE1CEADF1//CEADFCAMADF111ABCABC1BBDBCADBCRtCBMRtFCDADFCAMADFCAMADF（苏锡常一模）如图1所示，在中，，，，为的平分线，点在线段上，.如图2所示，将沿折起，使得平面平面，连结，设点是的中点.（1）求证：平面；（2）若平面，其中为直线与平面的交点，求三棱锥的体积.ABCRt6AC3BC90ABCCDACBEAC4CEBCDCDBCDACDABFABDEBCD//EFBDGGACBDGDEGBA（第16题）BCDD1C1B1A1M（南通一模）如图，在六面体中，，，.求证：（1）；（2）.证明：（1）取线段的中点，连结、，因为，，所以，又，平面，所以平面．而平面，所以.（2）因为，平面，平面，所以平面．又平面，平面平面，所以．同理得，所以1111ABCDABCD11//AACC11ABADABAD1AABD11//BBDDBDMAM1AM11ADABADABBDAM1BDAM1AMAMM1AMAM、1AAMBD1AAM1AA1AAM1AABD11//AACC1AA11DDCC1CC11DDCC1//AA11DDCC1AA11AADD11AADD111DDCCDD11//AADD11//AABB11//BBDD