浙教版九年级数学-解直角三角形单元练习题

凹凸教育·九年级数学1一、选择题解直角三角形（2014.12.07）姓名：________１、如图所示，平地上一棵树高为6米，两次观察地面上的影子，第一次是当阳光与地面成60°时，第二次是阳光与地面成30°时，第二次观察到的影子比第一次长…………………()A.633B.43C.63D.323２、如图，在RtABC△中，90ACB°，3BC，4AC，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（）(A)32(B)76(C)256(D)23、如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC的边长为（）A．9B．12C．15D．184、如图，AB//CD，AE//FD，AE、FD分别交BC于点G、H，则图中共有相似三角形（）A.4对B.5对C.6对D.7对5、如图，已知21，那么添加下列一个条件后，仍无法．．判定ABC△∽ADE△的是（）A．AEACADABB．DEBCADABC．DBD．AEDC6、如图，已知ABCD中，45DBC∠，DEBC于E，BFCD于F，DEBF，相交于H，BFAD，的延长线相交于G，下面结论：①2DBBE②ABHE∠∠③ABBH④BHDBDG△∽△其中正确的结论是（）A．①②③④B．①②③C．①②④D．②③④7、在ABC中，a、b、c分别为ABC,,的对边的长，若sincos,coscos,AABC0则ABC的形状是：A、等腰三角形B、等边三角形C、直角三角形D、等腰直角三角形8、如图5，在ABC中，B300，P为AB上一点，BPAP12，PQ⊥BC于Q，连结AQ，则cosAQC等于：A、217B、233C、277D、2321ADBEC凹凸教育·九年级数学29．（2009丽水市）如图，已知△ABC中，∠ABC=90°,AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2,l2，l3之间的距离为3,则AC的长是（）A．172B．52C．24D．710.如图，在∆ABC中，∠A=300，E为AC上一点，且AE:EC=3:1，EF⊥AB于F，连接FC,则tanCFB（）A.136B.132C.433D.13411.如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（）A.；B.；C.；D.112．△ABC中，∠C＝90°，且a≠b，则下列式子中，不能表示△ABC面积的是()A．ab21B．Bacsin21C．Abtan212D．BAccossin212二、填空题13、已知三个边长分别为2、3、5的正三角形从左到右如图排列，则图中阴影部分面积为14、如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC的面积是．15、将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是．16、若A是锐角，则sinsin221AA＝_________；104cos30sin60(2)(20092008)=__________．17.(2009年金华市)“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则tanα的值等于_____.18.在∆ABC中，若23sin1(cos)02AB，则∠C=19、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，沿△ABC的中线CM将△CMA折叠，使点A落在点D处，若CD恰好与MB垂直，且BC=4，则△ABC的面积为________．20、如图，如果△APB绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A＇P＇B，且BP=2，那么PP＇的长为____________.(不取近似值.以下数据供解题使用：sin15°=624，cos15°=624)三、解答题αl1l2l3ACB凹凸教育·九年级数学321．（2010年浙江省东阳市）如图，BD为⊙O的直径，点A是弧BC的中点，AD交BC于E点，AE=2，ED=4.（1）求证:ABE～ABD；(2)求tanADB的值；（3）延长BC至F，连接FD，使BDF的面积等于83，求EDF的度数.22.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD,∠BCD=900，且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2，（1）求证：DC=BC;(2)E是梯形内一点，F是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC,DE=BF，试判断∆ECF的形状，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，当BE:CE=1:2，∠BEC=1350时，求sin∠BFE的值。23.如图，已知BC⊥AD于C,DF⊥AB于F,9AFDEFBSS，∠BAE=。（1）求sincos的值；（2）若AEBADESS,AF=6时，求tan∠BAD的值。24.在正方形ABCD中，F是CD上一点，AE⊥AF,AE交CB的延长线于点E,连结EF交AB于点G.（1）求证：DF·FC=BG·EC;(2)已知：当tan∠DAF=13时，∆AEF的面积为10cm2，问当tan∠DAF=23时，∆AEF的面积是多少？25.已知，△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC，AB=5，AC=3，求AD的长。FOEADBC凹凸教育·九年级数学426.如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，DE⊥AB于E，∠ADC=45°，若DE∶AE=1∶5，BE=3，求△ABD的面积。27.已知ABC中，AD为中线，34,10,60BCABBAD，求AC的长。28.在△ABC中，∠A＝1200，AB＝12，AC＝6。求sinB＋sinC的值。29.四边形ABCD中，BC⊥CD，∠BCA＝600，∠CDA＝1350，340,10ABCSBC。求AD边的长。凹凸教育·九年级数学521、已知：在四边形ABCD中，角B=90度，AD//BC，AB=2，AD=4，M是边CD中点，设BC=x，三角形ABM的面积为y（1）当BC=7时，求DC的长；（2）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）连接BD交AM于点E,当以A、D、E为顶点的三角形与以B、M、C为顶点的三角形相似时，求ＢＣ的长。26.如图，在等腰RtΔΑBC中，∠C=900，ΑC=BC，BD=13ΑB，连结CD，作ΑE、CD交BC于点E，∠ΑCD=β，∠BCD=α，求（1）sinsina的值；（2）求证：BE=CE.28.如图，点Α的坐标为（0，5），点B的坐标为（0，0），BC=3，∠xBC=300，点D在ΑB上，并由Α向B移动（与Α、B不重合），过B、C、D的圆交ΑC于点E.（1）求cos∠ΑDE的值；（2）设ΑD=x,CE=y,求y关于x的函数解析式；（3）当ΔEBC为等腰直角三角形时（∠B为直角），求S四边形CBDE的值.MBADCEMBADC凹凸教育·九年级数学621.（１）∵点A是弧BC的中点∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＢ又∵∠ＢＡＥ＝∠ＢＡＥ∴△ＡＢＥ∽△ＡＢＤ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３分（２）∵△ＡＢＥ∽△ＡＢＤ∴ＡＢ２＝２×６＝１２∴ＡＢ＝２3在Ｒｔ△ＡＤＢ中，ｔａｎ∠ＡＤＢ＝33632．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３分（３）连接ＣＤ，可得ＢＦ＝８，ＢＥ＝４，则ＥＦ＝４，△ＤＥＦ是正三角形，∠ＥＤＦ＝６０°．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分23.（1）可证明△AFD∽△EFB，由=9，得=3，根据勾股定理可用含EF的式子表示出AE，再由三角函数的定义得出答案；（2）根据△AFD∽△EFB和已知条件得EF=2，从而表示出DF，BF，再由S△AEB=S△ADE得[6+（DE+2）]•2=6•DE，即可求出DE，进而得出cot∠BAD的值．（1）由△AFD∽△EFB，得=3，从而AE=EF，sina+cosa=；（2）由△AFD∽△EFB从而得EF=2，DF=DE+2，BF=（DE+2），再由S△AEB=S△ADE得[6+（DE+2）]•2=6•DE，解得DE=，得cot∠BAD=．24.（1）根据正方形性质得出AD=AB，∠ABC=∠D=∠ABE=∠BAD=90°，求出∠EAB=∠DAF，证△EAB和△FAD，推出DF=BE，证△EBG∽△ECF，得出比例式，即可得出答案；（2）求出△AEF的面积为（AF）2，设DF=x，则DA=3x，由勾股定理得出AF=x，代入面积公式得出5x2=10，求出x，求出AD=3，根据DF：DA=2：3求出DF，由勾股定理求出AF=，即可求出△AEF的面积．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠ABC=∠D=∠ABE=∠BAD=90°，∵AE⊥AF，∴∠EAF=90°=∠DAB，∴∠EAF-∠BAF=∠DAB-∠BAF，∴∠EAB=∠DAF，∵在△EAB和△FAD中，∴△EAB和△FAD（ASA），∴DF=BE，凹凸教育·九年级数学7∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC，∴△EBG∽△ECF，∴=，∵DF=BE，∴=，∴DF•FC=BG•EC；（2）【解析】∵△AEF是等腰直角三角形，∴△AEF的面积为（AF）2∵DF：DA=1：3，∴设DF=x，则DA=3x，∴由勾股定理得：AF==x，∴（AF）2=（）2=5x2，即5x2=10，x=，∴AD=3，当DF：DA=2：3时，DF=2，由勾股定理得：AF==故△AEF的面积为（AF）2=13．25.解法一：过B作CA延长线的垂线，交于E点，过D作DF⊥AC于F。∴DF∥BE∴△FDC∽△EBC∵AD平分∠BAC∵∠BAC=120°∴∠EAB=180°－∠BAC=60°在Rt△ABE中，凹凸教育·九年级数学8在Rt△ADF中，∵∠DAC=60°解法二：如图11，过C作CE⊥AD于D，过B作BF⊥AD交AD的延长线于F。∵AD平分∠BAC，∠BAC=120°∴∠BAD=∠CAD=60°。在Rt△AEC中，在Rt△ABF中，∵CE∥BF∴△BDF∽△CDE。∵EF=1分析：题目中有120°角及它的角平分线，所以有两个60°这个特殊角，要求60°角的一条夹边AD的长，可以构造等边三角形，得到与AD相等的线段。解法三：如图12，过点D作DE∥AB交AC于E。则∠ADE=∠BAD=∠DAC=60°∴△ADE是等边三角形。∴AD=DE=AE设AD=x∵△ABC∽△EDC解法四：如图13，过B作AC的平行线交AD的延长线于E。∵AD平分∠BAC，∠BAC=120°∴∠BAD=∠DAC=∠E=60°。∴△ADE是等边三角形∴AE=AB=BE=5∵AC∥BE∴△CAD∽△BED凹凸教育·九年级数学9小结：解三角形时，有些图形虽然不是直角三角形，但可以添加适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形，从而可以运用解直角三角形的有关知识去解决这些图形中求边角的问题。另外，在考虑这些组合图形时，要根据题目中的条件和要求来确定边与边，角与角是相加还是相减。26.解：在△AED中，∵DE⊥AB于E，又∵DE∶AE=1∶5，∴设DE=x，则AE=5x。在△ADC中，∵∠C=90°，∠ADC=45°，∴∠DAC=45°，在Rt△BED和Rt△BCA中，∵∠B是公共角，∠BED=∠BCA=90°，∴△BED∽△BCA。∴AB=AE+BE=10+3=13。27.解：凹凸教育·九年级数学1028提示：过C点作CE⊥BA交BA的延长线于E，过点B作BD⊥CA交CA的延长线于D。SinB＋sinC＝14213721142129.提示：作AF⊥AC于F，作AE⊥CD交CD的延长线于E。可求AC＝16，AD＝82。