沪科版2020-2021学年九年级数学上册《第22章-相似形》单元测试题含答案

第1页，共8页沪科版九年级数学上册《第22章相似形》单元试卷一、选择题（本大题共10小题，共50分）1.已知2𝑥=5𝑦(𝑦≠0)，则下列比例式成立的是()A.𝑥2=𝑦5B.𝑥5=𝑦2C.𝑥𝑦=25D.𝑥2=5𝑦2.若𝑎2=𝑏3=𝑐4，则𝑎+2𝑏+3𝑐𝑎等于()A.8B.9C.10D.113.下列各组条件中，一定能推得△𝐴𝐵𝐶与△𝐸𝐷𝐹相似的是()A.∠𝐴=∠𝐸且∠𝐷=∠𝐹B.∠𝐴=∠𝐵且∠𝐷=∠𝐹C.∠𝐴=∠𝐸且ABAC=EDEFD.∠𝐴=∠𝐸且ABBC=EDDF4.如图所示，△𝐴𝐵𝐶中若𝐷𝐸//𝐵𝐶，𝐸𝐹//𝐴𝐵，则下列比例式正确的是()A.ADDB=DEBCB.BFBC=EFADC.AEEC=BFFCD.𝐸𝐹AB=DEBC5.如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于点D，如果𝐴𝐶=3，𝐴𝐵=6，那么AD的值为()A.32B.92C.3√32D.3√36.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷=𝐷𝐸=𝐸𝐹=𝐹𝐵，𝐴𝐺=𝐺𝐻=𝐻𝐼=𝐼𝐶，已知𝐵𝐶=2，则𝐷𝐺+𝐸𝐻+𝐹𝐼的长是()A.52B.3C.32D.47.如图，梯形ABCD中，𝐴𝐵//𝐶𝐷，AC、BD交于E，若𝑆△𝐷𝐶𝐸：𝑆△𝐵𝐴𝐸=1：9，则𝑆△𝐷𝐶𝐸：𝑆△𝐵𝐶𝐸为()A.1：9B.1：4C.1：3D.9：18.如图，𝐴𝐵//𝐶𝐷//𝐸𝐹，则图中相似三角形的对数为()A.4对B.3对C.2对D.1对9.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶𝐴𝐶，点D在BC上，且𝐷𝐶=𝐴𝐶，∠𝐴𝐶𝐵的平分线CE交AD于E，点F是AB的中点，则𝑆△𝐴𝐸𝐹：𝑆四边形𝐵𝐷𝐸𝐹为()A.3：4B.1：2C.2：3D.1：310.如图，正方形ABCD的边长为2，𝐵𝐸=𝐶𝐸，𝑀𝑁=1，线段MN的两端点在CD、AD上滑动，当DM为()时，△𝐴𝐵𝐸与以D、M、N为顶点的三角形相似．A.√55B.2√55C.√55或2√55D.2√55或3√55二、填空题（本大题共4小题，共20分）11.如图，直线𝐴𝑙𝐴//𝐵𝐵1//𝐶𝐶1，若𝐴𝐵=8，𝐵𝐶=4，𝐴1𝐵1=6，则线段𝐵1𝐶1的长是______．12.如图，以点O为位似中心，将△𝐴𝐵𝐶放大得到△𝐷𝐸𝐹，若𝐴𝐷=𝑂𝐴，则△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐸𝐹的面积之比为______．13.如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外任选一点C，连接AC，BC，在AC，BC上分别取其靠近C点的三等分点M，𝑁.量得𝑀𝑁=38𝑚，则AB的长为______𝑚.14.如图，已知直线l：𝑦=√3𝑥，过点𝑀(2,0)作x轴的垂线交直线l于点N，过点N作直线l的垂线交x轴于点𝑀1；则𝑀1的坐标为______．第2页，共8页三、解答题（本大题共8小题，共90分）15.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点D，E分别在边AB，AC上，若𝐷𝐸//𝐵𝐶，𝐴𝐷=3，𝐴𝐵=5，求𝐷𝐸𝐵𝐶的值．16.已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．求证：𝐶𝐹2=𝐺𝐹⋅𝐸𝐹．17.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐴=36°，BD为角平分线，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，垂足为E．(1)写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形；(2)选择(1)中一对加以证明．18.如图，已知𝐴(−4,2)，𝐵(−2,6)，𝐶(0,4)是直角坐标系平面上三点．(1)把△𝐴𝐵𝐶向右平移4个单位再向下平移1个单位，得到△𝐴1𝐵1𝐶1.画出平移后的图形，并写出点A的对应点𝐴1的坐标；(2)以原点O为位似中心，将△𝐴𝐵𝐶缩小为原来的一半，得到△𝐴2𝐵2𝐶2，请在所给的坐标系中作出所有满足条件的图形．19.如图，在梯形ABCD中，已知𝐴𝐷//𝐵𝐶，∠𝐵=90°，𝐴𝐵=7，𝐴𝐷=9，𝐵𝐶=12，在线段BC上任取一点E，连接DE，作𝐸𝐹⊥𝐷𝐸，交直线AB于点F．(1)若点F与B重合，求CE的长；(2)若点F在线段AB上，且𝐴𝐹=𝐶𝐸，求CE的长．第3页，共8页20.如图，已知△𝐴𝐵𝐶∽△𝐴𝐷𝐸，𝐴𝐵=30𝑐𝑚，𝐴𝐷=18𝑐𝑚，𝐵𝐶=20𝑐𝑚，∠𝐵𝐴𝐶=75°，∠𝐴𝐵𝐶=40°．(1)求∠𝐴𝐷𝐸和∠𝐴𝐸𝐷的度数；(2)求DE的长．21.如图所示，在平行四边形ABCD中，过点B作𝐵𝐸⊥𝐶𝐷，垂足为E，连接AE，F为AE上的一点，且∠𝐵𝐹𝐸=∠𝐶，求证：△𝐴𝐵𝐹∽△𝐸𝐴𝐷．22.在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90°，𝐴𝐶=20𝑐𝑚，𝐵𝐶=15𝑐𝑚，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4𝑐𝑚/秒，点Q的速度是2𝑐𝑚/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：(1)当𝑡=3秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？(2)若△𝐶𝑃𝑄的面积为S，求S关于t的函数关系式．(3)当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△𝐴𝐵𝐶相似？第4页，共8页答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵2𝑥=5𝑦，∴𝑥5=𝑦2．故选：B．本题须根据比例的基本性质对每一项进行分析即可得出正确结论．本题主要考查了比例的性质，在解题时要能根据比例的性质对式子进行变形是本题的关键．2.【答案】C【解析】解：设𝑎2=𝑏3=𝑐4=𝑘，则𝑎=2𝑘，𝑏=3𝑘，𝑐=4𝑘，即𝑎+2𝑏+3𝑐𝑎=2𝑘+2×3𝑘+3×4𝑘2𝑘=20𝑘2𝑘=10，故选C．设𝑎2=𝑏3=𝑐4=𝑘，得出𝑎=2𝑘，𝑏=3𝑘，𝑐=4𝑘，代入求出即可．本题考查了比例的性质的应用，主要考查学生的分析问题和解决问题的能力．3.【答案】C【解析】解：A、∠𝐷和∠𝐹不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误；B、∠𝐴=∠𝐵，∠𝐷=∠𝐹不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误；C、由𝐴𝐵𝐴𝐶=𝐸𝐷𝐸𝐹可以根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可以判断出△𝐴𝐵𝐶与△𝐸𝐷𝐹相似，故此选项正确；D、∠𝐴=∠𝐸且𝐴𝐵𝐵𝐶=𝐸𝐷𝐷𝐹不能判定两三角形相似，因为相等的两个角不是夹角，故此选项错误；故选：C．根据三角形相似的判定方法：①两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可以判断出A、B的正误；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可以判断出C、D的正误，即可选出答案．此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：(1)平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；(2)三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；(3)两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；(4)两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．4.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用.找准对应关系，避免错选其他答案．用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形即可得到答案．【解答】解：∵𝐷𝐸//𝐵𝐶，𝐸𝐹//𝐴𝐵，∴四边形DEFB是平行四边形，∴𝐷𝐸=𝐵𝐹，𝐵𝐷=𝐸𝐹；∵𝐷𝐸//𝐵𝐶，∴𝐴𝐷𝐴𝐵=𝐴𝐸𝐴𝐶=𝐵𝐹𝐵𝐶，𝐸𝐹𝐴𝐵=𝐶𝐸𝐴𝐶=𝐵𝐶𝐷𝐸，∵𝐸𝐹//𝐴𝐵，∴𝐴𝐸𝐸𝐶=𝐵𝐹𝐹𝐶，𝐶𝐸𝐴𝐸=𝐶𝐹𝐵𝐹，∴𝐴𝐸𝐸𝐶=𝐵𝐹𝐹𝐶，故选C．5.【答案】A【解析】解：如图，∵在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，∴𝐴𝐶2=𝐴𝐷⋅𝐴𝐵，又∵𝐴𝐶=3，𝐴𝐵=6，∴32=6𝐴𝐷，则𝐴𝐷=32．故选：A．根据射影定理得到：𝐴𝐶2=𝐴𝐷⋅𝐴𝐵，把相关线段的长度代入即可求得线段AD的长度．本题考查了射影定理．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．6.【答案】B【解析】解：∵𝐴𝐷=𝐷𝐸=𝐸𝐹=𝐹𝐵，𝐴𝐺=𝐺𝐻=𝐻𝐼=𝐼𝐶，∴𝐷𝐺//𝐸𝐻//𝐹𝐼；∴𝐴𝐷𝐴𝐵=𝐷𝐺𝐵𝐶=14，即𝐷𝐺=14𝐵𝐶；同理可得：𝐸𝐻=12𝐵𝐶，𝐹𝐼=34𝐵𝐶；∴𝐷𝐺+𝐸𝐻+𝐹𝐼=14𝐵𝐶+12𝐵𝐶+34𝐵𝐶=32𝐵𝐶=3；故选B．由于D、E、F和G、H、I分别是AB、AC的四等分点，则𝐷𝐺//𝐸𝐻//𝐹𝐼，根据平行线分线段成比例定理，即可求出DG、EH、FI和BC的比例关系，由此可求出𝐷𝐺+𝐸𝐻+𝐹𝐼的长．此题主要考查的是平行线分线段成比例定理的应用．7.【答案】C【解析】解：∵𝐴𝐵//𝐶𝐷，∴△𝐷𝐶𝐸∽△𝐵𝐴𝐸，∴𝑆△𝐷𝐶𝐸𝑆△𝐵𝐴𝐸=(𝐷𝐸𝐵𝐸)2=19，∴𝐷𝐸：𝐵𝐸=1：3，∵△𝐷𝐶𝐸和△𝐵𝐶𝐸是同高三角形，第5页，共8页∴𝑆△𝐷𝐶𝐸：𝑆△𝐵𝐶𝐸=𝐷𝐸：𝐵𝐸=1：3，故选C．由相似三角形的性质可求得DE：BE，再利用同高三角形的面积比等于底的比，可求得答案．本题主要考查相似三角形的判定和性质，由条件求得DE：BE是解题的关键，注意同高三角形的面积比等于其底的比．8.【答案】B【解析】【分析】此题考查了相似三角形的判定：平行于三角形一边的直线与三角形另两边或另两边的延长线所构成的三角形相似．解题的关键是注意识图，注意做到不重不漏．由𝐴𝐵//𝐶𝐷//𝐸𝐹，根据平行于三角形一边的直线与三角形另两边或另两边的延长线所构成的三角形相似，可得△𝐴𝐶𝐷∽△𝐴𝐸𝐹，△𝐸𝐶𝐷∽△𝐸𝐴𝐵，△𝐴𝐷𝐵∽△𝐹𝐷𝐸.所以图中共有3对相似三角形．【解答】解：∵𝐴𝐵//𝐶𝐷//𝐸𝐹，∴△𝐴𝐶𝐷∽△𝐴𝐸𝐹，△𝐸𝐶𝐷∽△𝐸𝐴𝐵，△𝐴𝐷𝐵∽△𝐹𝐷𝐸．∴图中共有3对相似三角形．故选B．9.【答案】D【解析】解：∵𝐷𝐶=𝐴𝐶，∴△𝐴𝐷𝐶是等腰三角形，∵∠𝐴𝐶𝐵的平分线CE交AD于E，∴𝐸为AD的中点(三线合一)，又∵点F是AB的中点，∴𝐸𝐹为△𝐴𝐵𝐷的中位线，∴𝐸𝐹=12𝐵𝐷，△𝐴𝐹𝐸∽△𝐴𝐵𝐷，∵𝑆△𝐴𝐹𝐸：𝑆△𝐴𝐵𝐷=1：4，∴𝑆△𝐴𝐹𝐸：𝑆四边形𝐵𝐷𝐸𝐹=1：3，故选D．由题意可推出△𝐴𝐷𝐶为等腰三角形，CE为顶角∠𝐴𝐶𝐷的角平分线，所以也是底边上的中线和高，因此E为AD的中点，所以EF为△𝐴𝐵𝐷的中位线，这样即可判断出𝑆△𝐴𝐸𝐹：𝑆四边形𝐵𝐷𝐸𝐹的值．本题主要考查等腰三角形的判定和性质、三角形中位线的定义和性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键在于求证EF为中位线，𝑆△𝐴𝐹𝐸：𝑆△𝐴𝐵𝐷=1：4．10.【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴𝐴𝐵=𝐵𝐶，∵𝐵𝐸=𝐶𝐸，∴𝐴𝐵=2𝐵𝐸，又∵△𝐴𝐵𝐸与以D、M、N为顶点的三角形相似，∴①𝐷𝑀与AB是对应边时，𝐷𝑀=2𝐷𝑁∴𝐷𝑀2+𝐷𝑁2=𝑀𝑁2=1∴𝐷𝑀2+14𝐷𝑀2=1，解得𝐷𝑀=2√55；②