2019-2020学年高中数学新教材必修一第1章：充要条件

1课时分层作业(九)充要条件(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件C[由A∩B＝A可知A⊆B；反过来A⊆B，则A∩B＝A，故选C.]2.已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C.充分必要条件D．既不充分也不必要条件A[当a＝3时，A＝{1,3}，所以A⊆B，即a＝3能推出A⊆B；反之当A⊆B时，a＝3或a＝2，所以A⊆B成立，推不出a＝3.故“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件，故选A.]3.已知集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x≤a}，则“A⊆B”是“a＞5”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[因为|x|≤4⇔－4≤x≤4，所以A＝{x|－4≤x≤4}．又A⊆B，所以a≥4，故选B.]4．实数a，b中至少有一个不为零的充要条件是()A．ab＝0B．ab＞0C．a2＋b2＝0D．a2＋b2＞02D[a2＋b2＞0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2＞0.故选D.]5.“xy≥0”是“|x＋y|＝|x|＋|y|”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[答案]A二、填空题6．已知a，b是实数，则“a0且b0”是“a＋b0且ab0”的______条件．充要[因为a0，b0，所以a＋b0，ab0，所以充分性成立；因为ab0，所以a与b同号，又a＋b0，所以a0且b0，所以必要性成立．故“a0且b0”是“a＋b0且ab0”的充要条件．]7．若p：x－30是q：2x－3m的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．{m|m＞3}[由x－30得x3，由2x－3m得x12(m＋3)，由p是q的充分不必要条件知{x|x3}xx12m＋3，所以12(m＋3)＞3，解得m＞3.]8.设计如图所示的四个电路图，条件A：“开关S1闭合”；条件B：“灯泡L亮”，则A是B的充要条件的图为________．乙[对于图甲，开关S1闭合灯亮，反过来灯泡L亮，也可能是开关S2闭合，∴A是B的充分不必要条件．对于图乙，只有一个开关，灯如果要亮，开关S1必须闭合，3∴A是B的充要条件．对于图丙，∵灯亮必须S1和S2同时闭合，∴A是B的必要不充分条件．对于图丁，灯一直亮，跟开关没有关系，∴A是B的既不充分也不必要条件．]三、解答题9．求关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．[解]①当a＝0时，解得x＝－1，满足条件；②当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则a＜0；若方程有两个负的实根，则必须满足1a＞0，－1a＜0，Δ＝1－4a≥0⇒0＜a≤14.综上，若方程至少有一个负实根，则a≤14.反之，若a≤14，则方程至少有一个负实根．10．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac0.[证明]充分性：(由ac0推证方程有一正根和一负根)∵ac0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac0，∴方程一定有两不等实根，设为x1，x2，则x1x2＝ca0，∴方程的两根异号．即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．必要性：(由方程有一正根和一负根，推证ac0)，∵方程有一正根和一负根，设为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x2＝ca0，4即ac0.综上可知：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac0.[等级过关练]1.若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则()A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件C．“x∈C”是“x∈A”的充要条件D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件B[由A∪B＝C知，x∈A⇒x∈C，x∈CD/⇒x∈A.所以x∈C是x∈A的必要不充分条件．]2．记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，最小数为min{x1，x2，…，xn}．已知△ABC的三边边长为a，b，c(a≤b≤c)，定义它的倾斜度为l＝maxab，bc，ca·minab，bc，ca，则“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的()A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[当△ABC是等边三角形时，a＝b＝c，∴l＝maxab，bc，ca·minab，bc，ca＝1×1＝1.∴“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的必要条件．∵a≤b≤c，∴maxab，bc，ca＝ca.又∵l＝1，∴minab，bc，ca＝ac，即ab＝ac或bc＝ac，得b＝c或b＝a，可知△ABC为等腰三角形，而不能推出△ABC为等边三角形．∴“l＝1”不是“△ABC为等边三角形”的充分条件．]3．设m∈N*，一元二次方程x2－4x＋m＝0有整数根的充要条件是m＝________.3或4[x＝4±16－4m2＝2±4－m，因为x是整数，即2±4－m为整数，5所以4－m为整数，且m≤4.又m∈N*，取m＝1,2,3,4.验证可得m＝3,4符合题意，所以m＝3,4时可以推出一元二次方程x2－4x＋m＝0有整数根．]4．设p：12≤x≤1；q：a≤x≤a＋1，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是________．0，12[因为q：a≤x≤a＋1，p是q的充分条件，所以a≤12，a＋1≥1，解得0≤a≤12.]5．已知a，b，c∈R，a≠0，判断“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的什么条件？并说明理由．[解]“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件．理由如下：当a，b，c∈R，a≠0时，若“a－b＋c＝0”，则－1满足二次方程ax2＋bx＋c＝0，即“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”，故“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充分条件，若“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”，则“a－b＋c＝0”，故“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的必要条件，综上所述，“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件.