1.4.3-命题的形式及等价关系(含答案)

第一章集合和命题1.4.3命题的形式及等价关系【课堂例题】例1.判定下列两个命题是否等价：(1)命题A:“4是偶数”，命题B:“4是2的整数倍”.(2)命题A:“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”；命题B:“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”.(3)命题A:“如果ab，那么acbc”；命题B:“如果ab，那么acbc”.(4)命题A:“如果ab，那么acbc”；命题B:“如果acbc，那么ab”.例2.利用等价命题，判断下列命题的真假：(1)如果2230xx，那么1x且3x;(2)如果ab不是偶数，那么,ab不都是偶数;(3)如果0xy或者0xy，那么0x或者0y；(4)如果xAB，那么xA且xB.例3.若22323420xxyyxy，求证：10xy例4.利用反证法证明：(1)已知实数,,abc满足1abc，求证：,,abc中至少有一个不小于13;(选用)(2)2是无理数.第一章集合和命题1.4.3命题的形式及等价关系【知识再现】1.如果,AB是两个命题，满足且，那么,AB叫做等价命题，记作.2.原命题必然与是等价命题；原命题的否命题必然与是等价命题.3.反证法是通过假设不成立，经过一系列推理得出结论与已知条件、定理等矛盾，从而说明假设不成立，原命题成立的一种间接证明法.【基础训练】1.写出下列命题的一个等价命题：(1)“若1x，则||1x”；(2)“若,xy都不为零，则0xy”；(3)“能被10整除的数必能被5整除”.2.已知语句与语句的关系是：，则下列必定正确的推出关系是()A.;B.;C.;D.;3.利用等价命题，判断下列命题的真假：(1)若(2)(4)0xy，则2x且4y；()(2)若4xy或4xy，则2x或2y;()(3)若,ab不都是偶数，则ab不是偶数.()4.(1)由命题甲成立，可以推出命题乙不成立，下列说法一定正确的是().(A)命题甲不成立，可以推出命题乙成立；(B)命题甲不成立，可以推出命题乙不成立；(C)命题乙成立，可以推出命题甲成立；(D)命题乙成立，可以推出命题甲不成立.(2)以下说法错误的是().(A)如果一个命题的逆命题为真命题，那么它的否命题也必为真命题；(B)如果一个命题的否命题为假命题，那么它本身一定是真命题；(C)原命题、否命题、逆命题、逆否命题之中，真命题的个数一定为偶数；(D)一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题.5.试判断命题A:“在ABC中，222BCACAB”与命题B:“ABC是直角三角形”是否为等价命题，并说明理由.6.如图，已知四边形ABCD的对角线交于点O.求证：若对角线,ACBD不互相平分，则四边形ABCD不是平行四边形.OBCDA第一章集合和命题7.若22320abab，求证：2ab【巩固提高】8.试判断命题A:“三角形任意两边之和大于第三边”与命题B:“三角形任意两边之差小于第三边”是否为等价命题，并说明理由.9.求证：3是无理数.(选做)10.(1);若2220abcabbcac，求证：,,abc中至少有两个不相等.(2)已知,ab均为正有理数，且,ab都是无理数，证明：ab也是无理数.提示：10.(2)()()ababab【温故知新】11.类比ABABA，再写两个：AB;AB.第一章集合和命题【课堂例题答案】例1.是，是，否，否例2.真，真，假，假例3.证：101xyyx2222323423(1)2(1)34(1)20xxyyxyxxxxxx原命题的逆否命题成立，因此原命题成立证毕例4.(1)证：假设111,,333abc，111111,,333333abcabc1abc与条件矛盾，因此假设不成立，即,,abc中至少有一个不小于13.证毕(2)证：假设2Q，设2,,mmnn互质222mn2m是偶数m是偶数2,mkkZ2222(2)22knkn2n是偶数n是偶数与所设矛盾，因此假设不成立，即2是无理数.证毕【知识再现答案】1.,,ABBAAB2.原命题的逆命题，原命题的否命题.3.待证命题的结论不成立.【习题答案】1.(1)若||1x，则1x；(2)若0xy，则,xy中至少有一个为零；(3)不能被5整除的数必定不能被10整除.2.D3.真，真，假4.(1)D;(2)B5.不等价，AB，BA，因为ABC是直角三角形90A6.证：四边形ABCD是平行四边形//,//ABDCADBC12()43BDDBADBCBDASAABDC12(),ABOCODASAAOCOBODO56,ACBD互相平分原命题的逆否命题成立，因此原命题成立.证毕7.证：证明逆否命题2222(2)3(2)20abbaaaaa逆否命题成立，因此原命题成立.证毕8.等价.证：设三边为,,abc:A“三角形任意两边之和大于第三边”，:B“三角形任意两边之差小于第三边”OBCDA123465第一章集合和命题若,abccabcba，同理：,acbbacbca；,bcaacbabc因此AB；反之，若,,,,,cabcbabacbcaacbabc则,,abcacbbca因此BA；综上：AB证毕9.证：反证法.假设3Q，即设3nm，且,mn互质223mn2n是3的倍数n是3的倍数2n是9的倍数，又223nm2m是3的倍数m是3的倍数，与,mn互质矛盾因此假设不成立，即3是无理数.证毕10.(1)证：证明逆否命题.2220abcabcabbcac,逆否命题成立，那么原命题成立.证毕提示：直接证明可以利用222()()()0abbcca(2)证：反证法假设ab是有理数，ababab且,abab都是有理数ab也是有理数则()()2ababaQ与已知矛盾，因此假设不成立，即ab是无理数.证毕11.AB；对于任意xA，成立xB；UUAB痧……答案不唯一