对数函数和指数函数知识点及应用

第1页共15页2007年高考数学第一轮复习---指数与对数函数一、指数与对数运算：（一）知识归纳：1．根式的概念：①定义：若一个数的n次方等于),1(Nnna且，则这个数称a的n次方根.即，若axn，则x称a的n次方根)1Nnn且，1）当n为奇数时，na的次方根记作na；2）当n为偶数时，负数a没有n次方根，而正数a有两个n次方根且互为相反数，记作)0(aan.②性质：1）aann)(；2）当n为奇数时，aann；3）当n为偶数时，)0()0(||aaaaaan2．幂的有关概念：①规定：1）naaaan(N*，2）)0(10aa，n个3）paapp(1Q，4）maaanmnm,0(、nN*且)1n②性质：1）raaaasrsr,0(、sQ），2）raaasrsr,0()(、sQ），3）rbababarrr,0,0()(Q）（注）上述性质对r、sR均适用.3．对数的概念：①定义：如果)1,0(aaa且的b次幂等于N，就是Nab，那么数b称以a为底N的对数，记作,logbNa其中a称对数的底，N称真数.1）以10为底的对数称常用对数，N10log记作Nlg，2）以无理数)71828.2(ee为底的对数称自然对数，Nelog记作Nln第2页共15页②基本性质：1）真数N为正数（负数和零无对数），2）01loga，3）1logaa，4）对数恒等式：NaNalog③运算性质：如果,0,0,0,0NMaa则1）NMMNaaaloglog)(log；2）NMNMaaalogloglog；3）nMnMana(loglogR）.④换底公式：),0,1,0,0,0(logloglogNmmaaaNNmma1）1loglogabba，2）.loglogbmnbanam（二）学习要点：1．bNNaaNabnlog,,（其中1,0,0aaN）是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同应化为同底.2．要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式；进行数式运算的难点是运用各种变换技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆项、添项、换元等等，这些都是经常使用的变换技巧，必须通过各种题型的训练逐渐积累经验.【例1】解答下述问题：（1）计算：25.02121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[([解析]原式=41322132)10000625(]102450)81000()949()278[(922)2917(21]1024251253794[（2）计算1.0lg21036.0lg21600lg)2(lg8000lg5lg23.第3页共15页[解析]分子=3)2lg5(lg2lg35lg3)2(lg3)2lg33(5lg2；分母=41006lg26lg101100036lg)26(lg；原式=43.（3）化简：.)2(2485332332323323134aaaaabaaabbbaa[解析]原式=51312121323131231313123133133131)()(2)2()2()(])2()[(aaaaababbaabaa23231616531313131312)2(aaaaaabaabaa.（4）已知：36log,518,9log3018求ba值.[解析],5log,51818bbabab22)2(2)3log18(log)9log18(log16log5log2log18log36log181818181818181830.[评析]这是一组很基本的指数、对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧.【例2】解答下述问题：（1）已知1log2loglogxxxxbca且，求证：baacclog2)([解析]0log,1,loglog2logloglogxxbxcxxaaaaaa，2loglog)1(loglog2log2log11cbccbcaaaaaa=bbaaaaaaccacbaclog2log)()(loglog)(log第4页共15页（2）若0lglg)][lg(lglglglglglg2yxyxyyxxyx，求)(log2xy的值.[解析]去分母得0)][lg()lg(lg22yxyx110)lg(0lglgyxxyyxyx，x、y是二次方程012tt的两实根，且yxyxyx,1,1,0,0，解得251t，0)(log,215,215,02yxyxx[评析]例2是更综合一些的指数、对数运算问题，这种问题更接近考试题的形式，应多从这种练习中积累经验.二、指数函数与对数函数（一）学习要点：1．指数函数：①定义：函数)1,0(aaayx且称指数函数，1）函数的定义域为R，2）函数的值域为),0(，3）当10a时函数为减函数，当1a时函数为增函数.②函数图像：1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限，2）指数函数都以x轴为渐近线（当10a时，图象向左无限接近x轴，当1a时，图象向右无限接近x轴），3）对于相同的)1,0(aaa且，函数xxayay与的图象关于y轴对称.第5页共15页③函数值的变化特征：2．对数函数：①定义：函数)1,0(logaaxya且称对数函数，1）函数的定义域为),0(，2）函数的值域为R，3）当10a时函数为减函数，当1a时函数为增函数，4）对数函数xyalog与指数函数)1,0(aaayx且互为反函数.②1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限，2）对数函数都以y轴为渐近线（当10a时，图象向上无限接近y轴；当1a时，图象向下无限接近y轴）.4）对于相同的)1,0(aaa且，函数xyxyaa1loglog与的图象关于x轴对称.③函数值的变化特征：（二）学习要点：1．解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数与对数函数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识.2．指数、对数函数值的变化特点（上面知识结构表中的12个小点）是解决含指数、对数式的问题时使用频繁的关键知识，要达到滚瓜烂熟，运用自如的水平，在使用时常常还要10a1a①100yx时，②10yx时，③10yx时①10yx时，②10yx时，③100yx时，10a1a①01yx时，②01yx时，③010yx时.①01yx时，②01yx时，③100yx时.第6页共15页结合指数、对数的特殊值共同分析.3．含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题的最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类.4．在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现，如与其它函数（特别是二次函数）形成的复合函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要努力提高综合能力.【例1】已知11log)(xmxxfa是奇函数（其中)1,0aa，（1）求m的值；（2）讨论)(xf的单调性；（3）求)(xf的反函数)(1xf；（4）当)(xf定义域区间为)2,1(a时，)(xf的值域为),1(，求a的值.[解析]（1）011log11log11log)()(222xxmxmxxmxxfxfaaa对定义域内的任意x恒成立，10)1(11122222mxmxxm，当)1(0)(1xxfm时不是奇函数，1m，（2）,11log)(xxxfa定义域为),1()1,(，求导得exxfalog12)(2，①当1a时，)(,0)(xfxf在),1()1,(与上都是减函数；②当10a时，),1()1,()(,0)(与在xfxf上都是增函数；（另解）设11)(xxxg，任取111221xxxx或，0)1)(1()(21111)()(2112112212xxxxxxxxxgxg，)()(12xgxg，结论同上；（3）111)1(1111logyyyyyaaaxaxaxxaxxy，第7页共15页)10,0(11)(,0,011aaxaaxfyaxxy且（4）)2,1()(,3,21axfaax在上为减函数，命题等价于1)2(af，即014131log2aaaaa，解得32a.[评析]例1的各个小题概括了指数、对数函数的各种常见的基本问题，熟练掌握这些基本问题的解答程序及方法是很重要的能力训练，要认真总结经验.【例2】对于函数)32(log)(221axxxf，解答下述问题：（1）若函数的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若函数的值域为R，求实数a的取值范围；（3）若函数在),1[内有意义，求实数a的取值范围；（4）若函数的定义域为),3()1,(，求实数a的值；（5）若函数的值域为]1,(，求实数a的值；（6）若函数在]1,(内为增函数，求实数a的取值范围.[解答]记2223)(32)(aaxaxxxgu，（1）Rxu对0恒成立，33032minaau，a的取值范围是)3,3(；（2）这是一个较难理解的问题。从“xalog的值域为R”，这点思考，“u21log的值域为R”等价于“)(xgu能取遍),0(的一切值”，或理解为“)(xgu的值域包含了区间),0(”)(xgu的值域为),,0(),3[2a∴命题等价于33032minaaau或，∴a的取值范围是),3[]3,(；（3）应注意“在),1[内有意义”与定义域的概念是不同的，第8页共15页命题等价于“),1[0)(xxgu对恒成立”，应按)(xg的对称轴ax0分类，33121012410)1(12aaaaaaga或或，a的取值范围是)3,2(；（4）由定义域的概念知，命题等价于不等式0322axx的解集为}31|{xxx或，3,121xx是方程0322axx的两根，,2322121axxaxx即a的值为2；（5）由对数函数性质易知：)(xg的值域为),2[，由此学生很容易得2)(xg，但这是不正确的.因为“2)(xg”与“)(xg的值域为),2[”并不等价，后者要求)(xg能取遍),2[的一切值（而且不能多取）.∵)(xg的值域是),3[2a，∴命题等价于123)]([2minaaxg；即a的值为±1；（6）命题等价于：0)1(1]1,(0)(]1,()(0gaxxxgxg恒成立对为减函数在，即21aa，得a的取值范围是)2,1[.[评析]学习函数知识及解决函数问题，首先是要非常准确理解与掌握函数中的每个概念，许多函数的概念都有很深刻的内涵