高中数学-3.2-一元二次不等式及其解法习题-新人教A版必修5

一元二次不等式及其解法A组基础巩固1．二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2,3，a0，那么ax2＋bx＋c0的解集为()A．{x|x3或x－2}B．{x|x2或x－3}C．{x|－2x3}D．{x|－3x2}解析：二次函数的图象开口向下，故不等式ax2＋bx＋c0的解集为{x|－2x3}．答案：C2．函数y＝x2＋mx＋m2对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围是()A．m2B．m2C．m0或m2D．0≤m≤2解析：由题意知x2＋mx＋m2≥0对一切x∈R恒成立，∴Δ＝m2－2m≤0，∴0≤m≤2.答案：D3．关于x的不等式ax－1x＋10(其中a－1)的解集为()A.1a，－1B.－1，1aC.－∞，1a∪()－1，＋∞D．(－∞，－1)∪1a，＋∞解析：原不等式变形得：(ax－1)(x＋1)0，又a－1，∴x－1a(x＋1)0，解得：x－1或x1a，则原不等式的解集为(－∞，－1)∪1a，＋∞.答案：D4．关于x的不等式63x2－2mx－m20的解集为()A.－m9，m7B.m7，－m9C.－∞，－m9∪m7，＋∞D．以上答案都不对解析：原不等式可化为x＋m9·x－m70，需对m分三种情况讨论，即不等式的解集与m有关．答案：D5．若不等式|2x－3|4与关于x的不等式x2＋px＋q0的解集相同，则x2－px＋q0的解集是()A.xx72或x－12B.x－12x72C.xx－72或x12D.x－72x12解析：由|2x－3|4得2x－34或2x－3－4，则x72或x－12.由题意可得－p＝72－12，q＝72×－12，则p＝12－72，q＝12×－72，x2－px＋q0对应方程x2－px＋q＝0的两根分别为12，－72，则x2－px＋q0的解集是x－72x12，故选D.答案：D6．已知f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(ab)，且α，β(αβ)是方程f(x)＝0的两根，则α，β，a，b的大小关系是()A．aαβbB．aαbβC．αabβD．αaβb解析：∵α，β为f(x)＝0的两根，∴α，β为f(x)＝(x－a)(x－b)＋2与x轴交点的横坐标．∵a，b为(x－a)(x－b)＝0的根，令g(x)＝(x－a)(x－b)，∴a，b为g(x)与x轴交点的横坐标．可知f(x)图象可由g(x)图象向上移2个单位得到，由图知选A.答案：A7．不等式x2＋mx＋m20恒成立的条件是________．解析：x2＋mx＋m20恒成立，等价于Δ0，即m2－4×m20⇔0m2.答案：0m28．函数f(x)＝log2x2－x＋14＋1－x2的定义域为________．解析：要使函数有意义，则需x2－x＋140，1－x2≥0，即x≠12，－1≤x≤1，∴其定义域为x－1≤x≤1且x≠12.答案：x－1≤x≤1且x≠129．已知函数y＝ax2＋2ax＋1的定义域为R，解关于x的不等式x2－x－a2＋a0.解：∵函数y＝ax2＋2ax＋1的定义域为R，∴ax2＋2ax＋1≥0恒成立．当a＝0时，1≥0，不等式恒成立；当a≠0时，则a0，Δ＝4a2－4a≤0，解得0a≤1.综上，0≤a≤1.由x2－x－a2＋a0得，(x－a)[x－(1－a)]0.∵0≤a≤1，∴(1)当1－aa，即0≤a12时，ax1－a；(2)当1－a＝a，即a＝12时，x－1220，不等式无解；(3)当1－aa，即12a≤1时，1－axa.∴原不等式的解集为：当0≤a12时，原不等式的解集为{x|ax1－a}；当a＝12时，原不等式的解集为∅；当12a≤1时，原不等式的解集为{x|1－axa}．10．若关于x的不等式ax2＋3x－10的解集是x12x1，(1)求a的值；(2)求不等式ax2－3x＋a2＋10的解集．解：(1)依题意，可知方程ax2＋3x－1＝0的两个实数根为12和1，12＋1＝－3a，12×1＝－1a，解得a＝－2.(2)－2x2－3x＋50,2x2＋3x－50.因为2x2＋3x－5＝0有两根为x1＝1，x2＝－52，所以不等式的解集为x－52x1.B组能力提升11．如果不等式f(x)＝ax2－x－c0的解集为{x|－2x1}，那么函数y＝f(－x)的图象大致是()ABCD解析：∵不等式ax2－x－c0的解集为{x|－2x1}，∴方程ax2－x－c＝0的根为－2,1，∴－2＋1＝1a，－2×1＝－ca，∴a＝－1，c＝－2，∴f(x)＝－x2－x＋2，∴y＝f(－x)＝－x2＋x＋2，其图象开口向下且与x轴的交点坐标为(－1,0)，(2,0)．∴选C.答案：C12．若关于x的方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0的两根均大于1，则m的取值范围是________．解析：令f(x)＝8x2－(m－1)x＋m－7.∵方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0的两根均大于1，∴由二次函数图象得Δ＝m－2－m－，m－1161，f，解得m≥25或m≤9，m17，m∈R，∴m的取值范围是{m|m≥25}．答案：{m|m≥25}13．已知关于x的方程x2－2tx＋t2－1＝0的两实根介于(－2,4)之间，求t的取值范围．解：令f(x)＝x2－2tx＋t2－1.∵x2－2tx＋t2－1＝0的两实根介于(－2,4)之间，∴Δ＝t2－t2－，－2t4，f－，f，解得t∈R，－2t4，t－1或t－3，t5或t3.∴－1t3，即t的取值范围为(－1,3)．14．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(－1)＝0，是否存在常数a，b，c，使得不等式x≤f(x)≤12(x2＋1)对一切实数x恒成立？并求出a，b，c的值．解：已知f(－1)＝a－b＋c＝0，①若存在常数a，b，c，使得x≤f(x)≤12(x2＋1)恒成立，则令x＝1，得1≤f(1)≤1.∴f(1)＝a＋b＋c＝1.②由①②，得b＝12，a＋c＝12，则f(x)＝ax2＋12x＋12－a.∵x≤f(x)≤12(x2＋1)对一切实数x都成立，∴ax2＋12x＋12－a≥x，ax2＋12x＋12－a≤12x2＋恒成立，即ax2－12x＋12－a≥0，a－12x2＋12x－a≤0恒成立．a．对于不等式ax2－12x＋12－a≥0恒成立，则a0，Δ＝4a2－2a＋14≤0，即a0，a－142≤0，∴a＝14.b．对于不等式a－12x2＋12x－a≤0恒成立，则a－120，Δ＝4a2－2a＋14≤0，即a12，a－142≤0，∴a＝14.∴a＝14时，x≤f(x)≤12(x2＋1)对一切实数x都成立，∴存在常数a＝14，b＝12，c＝14，使得不等式x≤f(x)≤12(x2＋1)对一切实数x都成立．