公共基础数理化精讲班第一章高等数学二十1534853676909

环球网校学员专用资料第1页/共5页第10章线性代数第一节方阵的行列式1．n阶行列式有关概念（1）定义：设()ijnnAa是n阶方阵，称数1212121112121222()1212(1)nnnndefnnpppppnppppnnnnaaaaaaaaaaaa为方阵A的行列式，记为A。特别地，对于二阶、三阶行列式，有1112112212212122aaaaaaaa111213212223112233122331132132132231122133112332313233aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa（2）转置行列式：行列式的行列互换所得的行列式称为原行列式的转置行列式，即TA=nnnnnnaaaaaaaaa212221212111这里TA是A的转置矩阵。（3）余子式与代数余子式。将n阶行列式中元素ija所在的第i行和第j列的元素划掉，剩余的元素按原位置次序所构成的1n阶行列式，称为元素ija的余子式，记为ijM，即111,11,111,11,11,11,1,11,11,11,1,1,1jjnijijijinijiijijinnnjnjnnaaaaaaaaMaaaaaaaa而(1)ijijijAM称为元素ija的代数余子式。2．行列式的性质环球网校学员专用资料第2页/共5页性质1：TAA，即行列式与其转置行列式的值相等。性质2：两行（列）互换位置，行列式的值变号。推论：两行（列）元素相同，行列式的值为零。性质3：某行（列）的公因子k可提到行列式符号外。推论：某行（列）元素全为零，行列式的值为零。性质4：两行（列）对应元素成比例，行列式的值为零。性质5：如果某行（列）的所有元素都是两个数的和，则该行列式可以写成两个行列式的和，这两个行列式的这一行（列）的元素分别为对应元素的两个加数之一，其余各行（列）的元素与原行列式相同。性质6：某行（列）各元素的k倍加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变。【例题10-1】设naaaD30303211naaaD00212其中021naaa，则（）。（A）21DD（B）2131DnD（C）213DDn（D）213DDn解：从1D中每行提一个公因子3可得2D，故213DDn，应选C。【例题10-2】设123,,aaa是三维列向量，123,,Aaaa则与A相等的是：(A)213,,aaa(B)231,,aaa(C)122331,,aaaaaa(D)112123,,aaaaaa环球网校学员专用资料第3页/共5页解：将112123,,aaaaaa第一列的1倍加到第二列和第三列，得1223,,aaaa，再将所得行列式第二列的1倍加到第三列，1223,,aaaa123,,aaa。其它三个选项都不能等于A，故选(D)。3．重要结论（1）上三角行列式的值等于对角线上元素的乘积，即111212221122nnnnnnaaaaaaaaa（2）设A是n阶方阵，则nkAkA（3）设,AB都是n阶方阵，则ABAB，由该公式可推得kkAA，及ABBA注：ABAB（4）形如12SAAA(其中(1,)iAis都是方阵)的矩阵称为分块对角阵，对于分块对角阵有1212nSAAAAAA。【例题10-3】设A是m阶矩阵，B是n阶矩阵，行列式00AB等于：(A)AB(B)AB(C)(1)mnAB(D)(1)mnAB解：从第m行开始，将行列式00AB的前m行逐次与后n行交换，共交换mn次可得00(1)(1)00mnmnABABBA,故选(D)。环球网校学员专用资料第4页/共5页4．行列式展开设()ijnnAa，ijA为ija的代数余子式，则有1122,0,ijijinjnAijaAaAaAij其中AAaAaAaininiiii2211,称为按行展开公式1122,,ijijninjAijaAaAaAoij，其中AAaAaAanjnjjjjj2211,称为按列展开公式。【例题10-4】设行列式2134102015211152，ijA表示行列式元素ija的代数余子式，则1333434AAA等于：(A)2(B)2(C)1(D)1解：由代数余子式定义，13100151112A，对这个三阶行列式按第一行展开，有13511=912A；同理可得33432142141002,10019112151AA，故1333434942192AAA，应选(A).5．n阶行列式计算（1）行列式计算的第一个思路是：利用行列式的性质，将行列式化为上三角行列式，再对角线上元素相乘，从而得到结果。这种方法常用于行列式中元素排列比较有规律的情形。环球网校学员专用资料第5页/共5页【例题10-5】行列式1234103412041234的值是：(A)12(B)24(C)48(D)36解：由行列式的性质,将第一行分别加到第二、三、四行，得1234123410340268238481204003812340008故选C。（2）行列式计算的第二个思路是：利用行列式的性质，将行列式的某一行（列）化为只有一个元素不为零，再按这一行（列）展开，达到将行列式降低一阶的目的，最后降到二阶行列式，计算可得结果。