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习题511.利用定积分定义计算由抛物线y=x21,两直线x=a、x=b(ba)及横轴所围成的图形的面积.解第一步:在区间[a,b]内插入n1个分点inabaxi(i1,2,,n1),把区间[a,b]分成n个长度相等的小区间,各个小区间的长度为:nabxi(i1,2,,n).第二步:在第i个小区间[xi1,xi](i1,2,,n)上取右端点inabaxii,作和nabinabaxfSniiinin]1)[()(211niinabinabaanab12222]1)()(2[]6)12)(1()(2)1()(2[)(222nnnnnabnnnabananab]16)12)(1()()1)(()[(222nnnabnnabaaab.第三步:令max{x1,x2,,xn}nab,取极限得所求面积niiibaxfdxxfS10)(lim)(]16)12)(1()()1)(()[(lim222nnnabnnabaaabnababababaaab)(31]1)(31)()[(3322.2.利用定积分定义计算下列积分:(1)xdxba(ab);(2)dxex10.解(1)取分点为inabaxi(i1,2,,n1),则nabxi(i1,2,,n).在第i个小区间上取右端点inabaxii(i1,2,,n).于是ninniiinbanabinabaxxdx11)(limlim)(21]2)1()()([lim)(22222abnnnababaabn.(2)取分点为nixi(i1,2,,n1),则nxi1(i1,2,,n).在第i个小区间上取右端点nixii(i1,2,,n).于是)(1lim1lim21110nnnnnnininxeeennedxe1)1(]1[lim1])(1[1lim11111eeneeeeennnnnnnnn.3.利用定积分的几何意义说明下列等式:(1)1210xdx;(2)41102dxx;(3)0sinxdx;(4)2022cos2cosxdxxdx.解(1)102xdx表示由直线y2x、x轴及直线x1所围成的面积,显然面积为1.(2)1021dxx表示由曲线21xy、x轴及y轴所围成的四分之一圆的面积,即圆x2y21的面积的41:414112102dxx.(3)由于ysinx为奇函数,在关于原点的对称区间[,]上与x轴所夹的面积的代数和为零,即0sinxdx.(4)22cosxdx表示由曲线ycosx与x轴上]2,2[一段所围成的图形的面积.因为cosx为偶函数,所以此图形关于y轴对称.因此图形面积的一半为20cosxdx,即2022cos2cosxdxxdx.4.水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力,已知闸门上水的压强p(单位面积上的压力大小)是水深h的函数,且有p98h(kN/m2).若闸门高H3m,宽L2m,求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P.解建立坐标系如图.用分点inHxi(i1,2,,n1)将区间[0,H]分为n分个小区间,各小区间的长为nHxi(i1,2,,n).在第i个小区间[xi1,xi]上,闸门相应部分所受的水压力近似为Pi9.8xilxi.闸门所受的水压力为22118.42)1(lim8.9lim8.98.9limHLnnnHLnHinHLxLxPnninniiin.将L2,H3代入上式得P88.2(千牛).5.证明定积分性质:(1)babadxxfkdxxkf)()(;(2)abdxdxbaba1.证明(1)baniiiniiibadxxfkxfkxkfdxxkf)()(lim)(lim)(1010.(2)ababxxdxniiniiba)(limlim1lim101010.6.估计下列各积分的值:(1)412)1(dxx;(2)4542)sin1(dxx;(3)331arctanxdxx;(4)022dxexx.解(1)因为当1x4时,2x2117,所以)14(17)1()14(2412dxx,即51)1(6412dxx.(2)因为当454x时,11sin2x2,所以)445(2)sin1()445(14542dxx,即2)sin1(4542dxx.(3)先求函数f(x)xarctanx在区间]3,31[上的最大值M与最小值m.21arctan)(xxxxf.因为当331x时,f(x)0,所以函数f(x)xarctanx在区间]3,31[上单调增加.于是3631arctan31)31(fm,33arctan3)3(fM.因此)313(3arctan)313(36331xdxx,即32arctan9331xdxx.(4)先求函数xxexf2)(在区间[0,2]上的最大值M与最小值m.)12()(2xexfxx,驻点为21x.比较f(0)1,f(2)e2,41)21(ef,得41em,Me2.于是)02()02(220412edxeexx,即41022222edxdxeexx.7.设f(x)及g(x)在[a,b]上连续,证明:(1)若在[a,b]上f(x)0,且0)(badxxf,则在[a,b]上f(x)0;(2)若在[a,b]上,f(x)0,且f(x)≢0,则0)(badxxf;(3)若在[a,b]上,f(x)g(x),且babadxxgdxxf)()(,则在[ab]上f(x)g(x).证明(1)假如f(x)≢0,则必有f(x)0.根据f(x)在[a,b]上的连续性,在[a,b]上存在一点x0,使f(x0)0,且f(x0)为f(x)在[a,b]上的最大值.再由连续性,存在[c,d][a,b],且x0[c,d],使当x[c,d]时,2)()(0xfxf.于是0)(2)()()()()()(0cdxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdcbddccaba.这与条件0)(badxxf相矛盾.因此在[a,b]上f(x)0.(2)证法一因为f(x)在[a,b]上连续,所以在[a,b]上存在一点x0,使f(x0)0,且f(x0)为f(x)在[a,b]上的最大值.再由连续性,存在[c,d][a,b],且x0[c,d],使当x[c,d]时,2)()(0xfxf.于是badccdxfdxxfdxxf0)(2)()()(0.证法二因为f(x)0,所以0)(badxxf.假如0)(badxxf不成立.则只有0)(badxxf,根据结论(1),f(x)0,矛盾.因此0)(badxxf.(3)令F(x)g(x)f(x),则在[a,b]上F(x)0且0)()()]()([)(babababadxxfdxxgdxxfxgdxxF,由结论(1),在[a,b]上F(x)0,即f(x)g(x).4.根据定积分的性质及第7题的结论,说明下列积分哪一个的值较大:(1)102dxx还是103dxx？(2)212dxx还是213dxx？(3)21lnxdx还是212)(lndxx？(4)10xdx还是10)1ln(dxx？(5)10dxex还是10)1(dxx？解(1)因为当0x1时,x2x3,所以103102dxxdxx.又当0x1时,x2x3,所以103102dxxdxx.(2)因为当1x2时,x2x3,所以213212dxxdxx.又因为当1x2时,x2x3,所以213212dxxdxx.(3)因为当1x2时,0lnx1,lnx(lnx)2,所以21221)(lnlndxxxdx.又因为当1x2时,0lnx1,lnx(lnx)2,所以21221)(lnlndxxxdx.(4)因为当0x1时,xln(1x),所以1010)1ln(dxxxdx.又因为当0x1时,xln(1x),所以1010)1ln(dxxxdx.(5)设f(x)ex1x,则当0x1时f(x)ex10,f(x)ex1x是单调增加的.因此当0x1时,f(x)f(0)0,即ex1x,所以1010)1(dxxdxex.又因为当0x1时,ex1x,所以1010)1(dxxdxex.