第4章 一元二次方程 全章导学案

课题4.1一元二次方程自主空间学习目标1.正确理解一元二次方程的意义，并能判断一个方程是否是一元二次方程；2.知道一元二次方程一般形式02cbxax（a≠0），能说出二次项、一次项系数和常数项；学习重难点一元二次方程的概念和一般形式.教学流程预习导航1、我们已经学过的一元一次方程是怎么定义的？2、根据题意列方程（1）正方形桌面的面积是2m２，求它的边长？（2）矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19米。如果花圃的面积是24m２，求花圃的长和宽？合作探究一、概念探究：１、问题：上述2个方程是不是一元一次方程？有何共同点？①；②；③。２、一元二次方程定义：象这样，只含有个未知数，且未知数的的方程叫做一元二次方程。３、上述2个方程还可以整理为下面的形式①022x②0241922xx４、一般地,任何一个关于x的一元二次方程都可以化为02cbxax(a,b,c为常数，a≠0）的形式,我们把它称为一元二次方程的一般形式。a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。二、例题分析：１、下列哪些是一元二次方程？哪些不是？２、把下列关于x的一元二次方程化为一般式，写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。538)1(2xx（2）)2(2)2(3xxx（3）311122xxx三、展示交流1、将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：22222(1)10(3)23x10xx(5)(3)(3)xx22　ｘ　(2)2(x-1)=3y12　ｘ－－(4)－=0　(6)9x=5－4xA931-2(x-2)2合作探究（1）yy26（2）（x-2）(x+3)=8（3）2)2()43)(3(xxx2、已知关于x的方程3122xnnxn是一元二次方程，则n________。3、关于x的一元二次方程062342aaxx常数项为4，则一次项系数为。四、提炼总结1、判断一个方程是否是一元二次方程的关键是什么？2、要确定一元二次的项及系数，首先要把方程化成一元二次方程的一般形式是什么；3、用一元二次方程刻画实际问题中的数量关系的关键是什么？当堂达标１、下列方程是一元二次方程的是；①12xx②12x③0322yxx④)4)(1(32xxx⑤02cbxax2、在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，则x满足的方程是（）A、213014000xxB、2653500xxC、213014000xxD、2653500xx3、一元二次方程12)3)(31(2xxx化为一般形式为：，二次项系数为：，一次项系数为：，常数项为：。4、已知方程0932mxx的一个根为4，则常数项为__________。5、右图是一个正方体的展开图，标注了字母A的面是正方体的正面，如果正方体的左面与右面所标注代数式的值相等，求x的值（列出方程）。6、在宽为20m,长为32m的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为绿地，要使绿地面积为5402m，道路的宽为多少？（列一元二次方程，不用求解）7、①一元二次方程01122mxxm有一个解为0，求12m的值。②关于x的方程,1)12(222axxxxa在什么条件下它是一元二次方程?在什么条件下它是一元一次方程?学习反思：课题4．2一元二次方程解法（1）自主空间学习目标会用直接开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；学习重难点合理选择直接开平方法较熟练地解一元二次方程。教学流程预习导航1、要求学生复述平方根的意义。（1）文字语言表示：如果一个数的等于a，这个数叫a的平方根。（2）用式子表示：若ax2，则x叫做a的平方根。（3）4的平方根是，81的平方根是，100的算术平方根是。2、问题：①什么是一元二次方程？什么是方程的解？②如何求方程42x的解？合作探究一、概念探究：对于方程42x，有这样的解法：方程x2＝4，意味着x是4的平方根，所以4x,即x=2.这种方法叫做直接开平方法.思考：方程x2－1＝0能否用直接开平方法来解？要用直接开平方法解，首先应将它化成什么形式？二、例题分析：例1解下列方程（1）x2-16=0(2)4x2-1=0合作探究例2解下列方程（1）（x＋1）2－4＝0；（2）12（2－x）2－9＝0.三、展示交流解下列方程（1）45－x2＝0（2）16x2－25＝0.（3）2)1(2x（4）04)1(2x四、提炼总结1、用直接开平方法可解下列类型的一元二次方程：bx2（b≥0）；bax2（a≠0,ab≥0）。解法的根据是平方根的定义。要特别注意，由于负数没有平方根，所以括号中规定了范围，否则方程无实数解。2、对于形如bkxa2)(（a≠0,ab≥0）的方程，只要把)(kx看作一个整体，就可转化为nx2（n≥0）的形式用直接开平方法解。3、直接开平方法解方程的重要步骤：（１）变形；（２）开方；（３）求解。当堂达标1、4的平方根是____________，方程24x的解是________________.2、方程211x的根是__________，方程2411x的根是___________.3、当x取______时，代数式25x的值是2；若2810x，则x＝______.4、关于x的方程0132kx若能用直接开平方法来解，则k的取值范围是（）A、k＞1B、k＜1C、k≤1D、k≥1当堂达标5、解下列方程：（1）221039x（2）2546x（3）2261280x（4）22142xx6、已知一个等腰三角形的两边是方程0)10(42x的两根，求等腰三角形的面积学习反思：课题4．2一元二次方程解法（2）自主空间学习目标１、理解配方法，会用配方法解简单数字系数的一元二次方程；２、通过对一元二次方程的配方，体会转化思想。学习重难点重点：配方法解一元二次方程；难点：如何对一元二次方程进行配方教学流程预习导航１、我们上节课已经学习了直接开平方法解方程，如3)1(2x，如果将此方程展开，可以化为一般形式0222xx，那么这个方程呢？２、请将下列各式配成完全平方的形式：（１）2x＋２x＋_____＝（x＋_____）2（２）2x－6x＋_____＝（x－_____）2如果解方程2x＋２x＝０，你能将方程的左边变成一个一次式的平方形式吗？如果能变，你会解这个方程吗？合作探究一、概念探究：解下列方程：2x＋2x＝5；思考：能否经过适当变形，将它们转化为2=a的形式，应用直接开方法求解？分析：原方程化为2x＋2x＋1＝6，（方程两边同时加上1）_____________________,_____________________,_____________________.总结：只要先把一个一元二次方程变形khx2)(的形式，如果ｋ≥０，再通过直接开平方法求出方程的解，这种解一元二次方程的方法叫配方法。二、例题分析：例１、将下列各进行配方：（１）2x＋10x＋_____＝（x＋_____）2（２）2x－５x＋_____＝（x－_____）2（３）2x－45x＋_____＝（x－____）2（４）2x+bx＋_____＝（x＋___）2合作探究小结：方程两边同时加的系数如何确定？。例２、解下列方程：（1）0342xx（2）0132xx变式题：解方程0)1)(3(xx三、展示交流：１、填空：（１）2x－8x＋（）＝（x-）2（２）2x＋x＋（）＝（x＋）2；（３）42x－6x＋（）＝4（x－）2２、用配方法解方程：（1）2x＋8x－2＝0（2）2x－5x－6＝0.（3）276xx四、提炼总结：用配方法解一元二次方程的一般步骤：1、把常数项移到方程右边；2、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；3、利用直接开平方法解之。思考：用配方法解一元二次方程22240xx，配方的过程可以用拼图直观地表示，试试看当堂达标1、用配方法解下列方程：（１）xx232（２）051412xx２、把方程230xxp配方，得到212xm.（1）求常数p与m的值；（2）求此方程的解。3、用配方法解方程)04(022qpqpxx学习反思：课题4．2一元二次方程解法（３）自主空间学习目标会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程；学习重难点1、会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程；2、配方法在方程变形中的应用。教学流程预习导航1、解方程：0822xx和016422xx，请比较这两个方程的区别与联系．2、小结：如何用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程?说明：当一元二次方程二次项系数不为1时，用配方法解方程的步骤：①二次项系数化为1；②移项；③直接开平方法求解．合作探究一、新知探究：1、如何用配方法解下列方程？4x2－12x－1＝0;请你和同学讨论一下：当二次项系数不为1时，如何应用配方法？2、关键是把当二次项系数不为1的一元二次方程转化为二次项系数为1的一元二次方程。先由学生讨论探索，再教师板书讲解。解：（1）将方程两边同时除以4，得x2－3x－41＝0移项，得x2－3x＝41配方，得x2－3x+（23）2＝41+（23）2即(x—23)2＝25直接开平方，得x—23＝±210所以x＝23±210所以x1＝2103，x2=2103合作探究二、例题分析：例1、解方程：①02522xx②01432xx让学生尝试，通过讨论归纳配方法解一元二次方程步骤.三、展示交流用配方法解方程：（１）２xx10152(2)0311232xx四、提炼总结让学生反思本节课的解题过程，归纳小结出配方法解一元二次方程的步骤：1、把常数项移到方程右边，用二次项系数除方程的两边使新方程的二次项系数为1；2、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；3、如果方程的右边整理后是非负数，用直接开平方法解之，如果右边是个负数，则指出原方程无实根。当堂达标1、用配方法解下列方程：（1）02722xx（2）3x2＋2x－3＝0.（3）05422xx(４)4ｘ2－122ｘ－1＝0当堂达标２、如果542baba，求ba2的值。３、你能用配方法求：当ｘ为何值时，代数式5632xx有最大值？学习反思：课题4．2一元二次方程解法（4）自主空间学习目标1、熟练地应用求根公式解一元二次方程。2、经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力。3、在探索和应用求根公式中，使学生进一步认识特殊与一般的关系，渗透辩证唯物主义观点。学习重难点重点：用公式法解一元二次方程；难点：用配方法解含字母系数的一元二次方程，即求根公式的推导过程。教学流程预习导航问题：1、能否用配方法解一般形式的一元二次方程4x2－12x－1＝0？2、用配方解一元二次方程的步骤是什么？3、用直接开平方法和配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢？合作探究二、新知探究：1、怎样用配方法解方程：x2+px+q=0（学生完成）2、怎样用配方法解一般形式的一元二次方程20(0)axbxca分析：因为0a，方程两边都除以a，得20bcxxaa移项，得2bcxxaa配方，得合作探究即2224()24bbacxaa问题1：当240bac，且0a时，2244baca大于等于零吗？让学生思考、分析，发表意见，得出结论：当240bac时，因为0a，所以240a，从而22404baca。问题2：在以上问题中，你能得出什么结论？由以上研究的结果，得到了一元二次方程20(0)axbx