4.2.3直线与圆的方程的应用

21.判别直线与圆的位置关系的方法::0lAxByC直线222:()()Cxaybr圆d:圆心C(a,b)到直线l的距离相交相切相离公共点(交点)个数d与r的大小关系图象0个1个2个drdrdrCCC22AaBbCdAB一、复习32.圆和圆的五种位置关系外离|O1O2|R+rRrO2O1|O1O2|=R+r外切RrO2O1相交|R-r||O1O2|R+rRrO2O1内切|O1O2|=|R-r|RrO2O1内含0≤|O1O2||R-r|RrO2O1同心圆|O1O2|=0一种特殊的内含rRO1O2(1)利用连心线长|O1O2|与R+r和|R-r|的大小关系判断：(2)利用两个圆的方程组成方程组的实数解的个数一、复习例1.图中是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB＝20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01）xyPOA2P2A1AA3A4B二、例题讲解0,ybr建立如图所示的直角坐标系，使圆心在轴上，设圆心的坐标是(，),圆的半径是那么解：圆的方程是222(-)xybr(0,4),(10,0)PB点在圆上2222220(4-)10(0)brbr得到方程组2210.5,14.5.br解得：222(10.5)14.5xy圆的方程为5例1.图中是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB＝20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01）xyPOA2P2A1AA3A4B二、例题讲解22Px把点的横坐标代入圆的方程，得222(2)(10.5)14.5y0Py的纵坐标2214.5(2)10.5y14.3610.53.86()m223.86.APm答：支柱的高度约为6在直角三角形AOC中，有222CACOOA设圆拱所在圆C的半径长是r，则有解之得：222410()rr14.5r我们求出OH即可OHCHCO2222214521436..CHrPH1454105..COCPOP223.86APOH而所以2P2PHOP分析：如图，作过由已知，POA2P2A1AA3A4BCH如果不建立直角坐标系,你能解决这个问题吗?例2.已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.xyOCABD(a,0)(0,b)(c,0)(0,d)22(,)adEO’MN二、例题讲解,ABCDCADBxy如图，以四边形互相垂直的对角线所在的直线分别为轴、轴，建立直角证明：坐标系.(,0),(0,),(,0),(0,).AaBbCcDd设',,,,,ABCDOACBDADMNE过四边形外接圆的圆心分别作的垂线，垂足分别为,,,,.MNEACBDAD则分别是线段是中点02(,)ac02(,)bd8例2.已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.二、例题讲解由线段的中点坐标公式，得'2OMacxx'2ONbdyy,22EEadxy22'()()222222acabddOE2212bc22BCbc又1'2OEBCExyOCABD(a,0)(0,b)(c,0)(0,d)O’22(,)adMN∴圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.1.赵州桥的跨度是37.4m.圆拱高约为7.2m.求这座圆拱桥的拱圆的方程三、练习ABCPOxy建立如图所示的直角坐标系.|OP|=7.2m,|AB|=37.4m,则A(-18.7,0),B(18.7,0),C(0解：,7.2)2222rrrr22222222设所求圆的方程是(x-a)+(y-b)(a+18.7)+b于是有　　　(a-18.7)+ba+(b-7.2)227.927.9(0r22解得　　　a=0,b=-20.7,所以这座圆拱桥的拱圆的方程是x+(y+20.7)y7.2)1112.,=3ABCDEBCACBDBC等边中，点分别在边，上，且，1,,..3CECAADBEPAPCP相交于点求证:oyx(2,0)(6,0)(0,0)ABDCEP(3,33)(5,3)三、练习解：以B为原点，以BC所在的直线为x轴，以线段BC长的1/6为单位长，建立如图所示的坐标系，则(3,33)A(0,0)B(6,0)C由已知，得33(2)yx(2,0)D(5,3)E直线AD的方程为：直线BE的方程为：3535()yx1212.,=3ABCDEBCACBDBC等边中，点分别在边，上，且，1,,..3CECAADBEPAPCP相交于点求证:oyx(2,0)(6,0)(0,0)ABDCEP(3,33)(5,3)三、练习以上两个方程联立解得点P的坐标为153(,3)77故39PCk因为所以APCP1ADPCkk13作业：某圆拱桥的水面跨度20m，拱高4m.现有一船，宽10m，水面以上高3m，这条船能否从桥下通过?5ODECABEFP14圆系方程1.设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0若两圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0λ为参数，圆系中部不包括圆C2，当λ=-1时为两圆的公共弦所在直线方程.2.设圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0和直线l:Ax+By+C=0若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ为参数)补充练习：课本P132习题A组4