高三数学专题复习-函数的零点与导数的应用关系

高三数学专题复习函数的零点与导数的应用关系21、（本题满分14分）已知函数1()ln,()fxaxaRx其中（1）设()(),hxfxx讨论()hx的单调性。（2）若函数()fx有唯一的零点，求a取值范围。21．解：（1）1()lnhxaxxx，定义域为(0,)………………1分22211()1aaxxhxxxx………………2分令22()1,4gxxaxa当0，即22a时()0gx，()0hx此时()hx在(0,)上单调递增。………………4分当0即2a或2a时，由()0gx得2142aax，2242aax………………5分若2a则10x又1210xx所以20x故()0hx在(0,)上恒成立所以()hx在(0,)单调递增……………………6分若2a则20x又1210xx所以20x此时当1(0,)xx时()0hx；当12(,)xxx时()0hx当2(,)xx时()0hx故()hx在1(0,)x，2(,)x上单调递增，在12(,)xx单调递减……………………7分综上，当2a时()hx在(0,)上单调递增当2a时()hx在1(0,)x，2(,)x单调递增，在12(,)xx单调递减……………8分（2）方法1：问题等价于1lnaxx有唯一实根显然0a则关于x的方程1lnxxa有唯一实根……………10分构造函数()lnxxx，则()1lnxx由0ln1'x，得ex1当ex10时，0)('x，)(x单调递减，当ex1时，)(,0)('xx单调递增，