二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质

--WORD格式--可编辑----二次函数cbxaxy2的图象【教学目标】1、会用描点法画出二次函数、与的图象；2、能结合图象确定抛物线、、的对称轴与顶点坐标；3、通过比较抛物线与同的相互关系，培养观察、分析、总结的能力;【教学重点】画出形如、与形如的二次函数的图象，能指出上述函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标.【教学难点】理解函数、、与及其图象间的相互关系【知识点梳理】知识点一、二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a≠0，a，b，c为常数)的函数称为二次函数(quadraticfuncion).其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项.知识点二、二次函数的图象及画法二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是对称轴平行于y轴(或是y轴本身)的抛物线.几个不同的二次函数.如果二次项系数a相同，那么其图象的开口方向、形状完全相同，只是顶点的位置不同.1.用描点法画图象--WORD格式--可编辑----首先确定二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，然后在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称地画图.画结构图时应抓住以下几点：对称轴、顶点、与x轴的交点、与y轴的交点.2.用平移法画图象由于a相同的抛物线y=ax2+bx+c的开口及形状完全相同，故可将抛物线y=ax2的图象平移得到a值相同的其它形式的二次函数的图象.步骤为：利用配方法或公式法将二次函数化为y=a(x-h)2+k的形式，确定其顶点(h，k)，然后做出二次函数y=ax2的图象.将抛物线y=ax2平移，使其顶点平移到(h，k).知识点三、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质1.函数y=ax2(a≠0)的图象与性质：函数a的符号图象开口方向顶点坐标对称轴增减性最大(小)值--WORD格式--可编辑----y=ax2a0向上(0，0)y轴x0时，y随x增大而增大x0时，y随x增大而减小当x=0时，y最小=0y=ax2a0向下(0，0)y轴x0时，y随x增大而减小x0时，y随x增大而增大当x=0时，y最大=02.函数y=ax2+c(a≠0)的图象及其性质:(1)当a0时，开口方向、对称轴、增减性与y=ax2相同，不同的是顶点坐标为(0，c)，当x=0时，y最小=c(2)当a0时，开口方向、对称轴、增减性与y=ax2相同，不同的是顶点坐标为(0，c)，当x=0时，y最大=c3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线.它的--WORD格式--可编辑----顶点坐标是，对称轴是直线函数二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)图象a0a0性质(1)当a0时，抛物线开口向上，并向上无限延伸，顶点是它的最低点.(2)在对称轴直线的左侧，抛物线自左向右下降，在对称轴的右侧，抛物线自左向右上升.(1)当a0时，抛物线开口向下，并向下无限延伸，顶点是它的最高点.(2)在对称轴直线的左侧，抛物线自左向右上升；在对称轴右侧，抛物线自左向右下降.知识点四、抛物线y=ax2+bx+c中a、b、c的作用a，b，c的代数式作用字母的符号图象的特征--WORD格式--可编辑----a1.决定抛物线的开口方向；2.决定增减性a0开口向上a0开口向下c决定抛物线与y轴交点的位置，交点坐标为(0，c)c0交点在x轴上方c=0抛物线过原点c0交点在x轴下方决定对称轴的位置，对称轴是直线ab0对称轴在y轴左侧ab0对称轴在y轴右侧b2-4ac决定抛物线与x轴公共点的个数b2-4ac0抛物线与x轴有两个交点b2-4ac=0顶点在x轴上b2-4ac0抛物线与x轴无公共点【典型例题】题型一：kaxy2的图象和性质例1、一条抛物线的开口方向、对称轴与221xy相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（1，1），求这条抛物线的函数关系式．--WORD格式--可编辑----例2、在同一平面直角坐标系画出函数、、的图象.由图象思考下列问题：（1）抛物线的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？（2）抛物线的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？（3）抛物线，与的开口方向，对称轴，顶点坐标有何异同？（4）抛物线与同有什么关系？例3、已知二次函数7)1(82kxkxy，当k为何值时，此二次函数以y轴为对称轴？写出其函数关系式．变式训练：1、已知函数231xy，3312xy，2312xy．（1）分别画出它们的图象；（2）说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；（3）试说出函数5312xy的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．2、不画图象，说出函数3412xy的开口方向、对称轴和--WORD格式--可编辑----顶点坐标，并说明它是由函数241xy通过怎样的平移得到的．3、若二次函数22axy的图象经过点（-2，10），求a的值．这个函数有最大还是最小值？是多少？题型二：2)(hxay的图象和性质例1、不画出图象，你能说明抛物线23xy与2)2(3xy之间的关系吗?例2、已知函数221xy，2)1(21xy，2)1(21xy．（1）在同一直角坐标系中画出它们的图象；（2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）分别讨论各个函数的性质．例3、根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线221xy得到抛物线2)1(21xy和2)1(21xy？变式训练：1、函数2)1(3xy，当x时，函数值y随x的增大而减--WORD格式--可编辑----小．当x时，函数取得最值，最值y=．2、不画出图象，请你说明抛物线25xy与2)4(5xy之间的关系．3、将抛物线2axy向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为-2，且新抛物线经过点（1，3），求a的值．题型三：2)(hxay+k的图象和性质例1、把抛物线cbxxy2向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线2xy，求b、c的值．例2、把抛物线223xy向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数关系式为．例3、在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．23xy，2)2(3xy，1)2(32xy，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．变式训练：1、抛物线22121xxy可由抛物线221xy向平移--WORD格式--可编辑----个单位，再向平移个单位而得到．2、将抛物线522xxy先向下平移1个单位，再向左平移4个单位，求平移后的抛物线的函数关系式．3、将抛物线23212xxy如何平移，可得到抛物线32212xxy？4、抛物线cbxxy23是由抛物线132bxxy向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的，求b、c的值．题型四、cbxaxy2的图象和性质例1、通过配方，确定抛物线6422xxy的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．例2、已知抛物线9)2(2xaxy的顶点在坐标轴上，求a的--WORD格式--可编辑----值．例3、已知抛物线253212xxy，求出它的对称轴和顶点坐标，并画出函数的图象．例4、利用配方法，把下列函数写成2)(hxay+k的形式，并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1）162xxy（2）4322xxy（3）nxxy2（4）qpxxy2变式训练：1、（1）二次函数xxy22的对称轴是．（2）二次函数1222xxy的图象的顶点是，当x时，y随x的增大而减小．（3）抛物线642xaxy的顶点横坐标是-2，则a=．2、抛物线cxaxy22的顶点是)1,31(，则a、c的值是多少？3、已知622)2(kkxky是二次函数，且当0x时，y随x的增大而增大．（1）求k的值；（2）求开口方向、顶点坐标和对称轴．--WORD格式--可编辑----4、当0a时，求抛物线22212aaxxy的顶点所在的象限．5、已知抛物线hxxy42的顶点A在直线14xy上，求抛物线的顶点坐标．题型五、cbxaxy2的最大或最小值例1、求下列函数的最大值或最小值：（1）5322xxy；（2）432xxy．例2、某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表：x（元）130150165y（件）705035若日销售量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？例3、某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）--WORD格式--可编辑----若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？变式训练：1、对于二次函数mxxy22，当x=时，y有最小值．2、已知二次函数bxay2)1(有最小值–1，则a与b之间的大小关系是（）A．a＜bB．a=bC．a＞bD．不能确定3、求下列函数的最大值或最小值:（1）xxy22；（2）1222xxy．4、已知二次函数mxxy62的最小值为1，求m的值．，5、心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系：)300(436.21.02xxxy．y值越大，表示接受能力越强．（1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？（2）第10分时，学生的接受能力是多少？（3）第几分时，学生的接受能力最强？--WORD格式--可编辑----6、如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．（1）求S与x的函数关系式；（2）如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？（3）能围成面积比45m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．题型六、利用待定系数法求二次函数的函数关系式例1、某涵洞是抛物线形，它的截面如图26．2．9所示，现测得水面宽1．6m，涵洞顶点O到水面的距离为2．4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？例2、根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知二次函数的图象经过点A（0，-1）、B（1，0）、--WORD格式--可编辑----C（-1，2）；（2）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y轴交于点（0，1）；（3）已知抛物线与x轴交于点M（-3，0）、（5，0），且与y轴交于点（0，-3）；（4）已知抛物线的顶点为（3，-2），且与x轴两交点间的距离为4．例3、已知二次函数cbxxy2的图象经过点A（-1，12）、B（2，-3），（1）求该二次函数的关系式；（2）用配方法把（1）所得的函数关系式化成khxay2)(的形式，并求出该抛物线的顶点坐标和对称轴．例4、已知二次函数的图象与一次函数84xy的图象有两个公共点P（2，m）、Q（n，-8），如果抛物线的对称轴是x=-1，求该二次函数的关系式．变式训练：1、根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知二次函数的图象经过点（0，2）、（1，1）、（3，5）；--WORD格式--可编辑----（2）已知抛物线的顶点为（-1，2），且过点（2，1）；（3）已知抛物线与x轴交于点M（-1，0）、（2，0），且经过点（1，2）．2、二次函数图象的对称轴是x=-1，与y轴交点的纵坐标是–6，且经过点（2，10），求此二次函数的关系式．3、某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m，