目标规划

第四章目标规划目标规划是在线性规划的基础上，为适应企业经营管理中多目标决策的需要而逐步发展起来的。目标规划是一种数学方法。它是在企业决策者所规定的若干指标值及要求实现这些指标值的先后顺序，并在给定有限资源条件下，求得总的偏离指标值最小的方案。称这种方案为满意方案。目标规划的有关概念和数学模型是在1961年由美国学者查恩斯(A.Charnes)和库伯(W.W.Cooper)首次在《管理模型及线性规划的工业应用》一书中提出。当时是作为解一个没有可行解的线性规划而引入的一种方法。这种方法把规划问题表达为尽可能地接近预期的目标。1965年，尤吉·艾吉里(Yuji·Ijiri)在处理多目标问题，分析各类目标的重要性时，引入了赋予各目标一个优先因子及加权系数的概念；并进一步完善了目标规划的数学模型。表达和求解目标规划问题的方法是由杰斯基莱恩(Jashekilaineu)和桑李(SangLi)给出并加以改进的。目标规划与线性规划相比有以下优点：1.线性规划只能处理一个目标，而现实问题往往要处理多个目标。目标规划就能统筹兼顾地处理多个目标的关系，求得更切合实际要求的解。2.线性规划立足于求满足所有约束条件的最优解而在实际问题中，可能存在相互矛盾的约束条件。目标规划可以在相互矛盾的约束条件下找到满意解。3.目标规划的最优解指的是尽可能地达到或接近一个或若干个已给定的指标值。4.线性规划的约束条件是不分主次地同等对待，而目标规划可根据实际的需要给予轻重缓急的考虑。因此，可以认为目标规划更能确切地描述和解决经营管理中的许多实际问题。目前，目标规划已在经济计划、生产管理、市场管理、财务分析、技术参数的选择等方面得到广泛的应用。第一节目标规划的数学模型目标规划相应的基本概念有；正负偏差变量、目标约束条件、系统约束条件、优先因子等等。为了具体说明这些概念、目标规划与线性规划在处理问题方法上的区别，先通过例子来介绍目标规划的有关概念和数学模型。例1：某工厂生产I、II两种产品，有关数据见表1。试求获利最大的生产方案。表1III拥有量原材料（kg）2111设备（hr）1210利润（元/件）810解：设x1、x2分别为生产产品I、II的件数，则这是一个单目标线性规划问题，用图解法可求得最优决策方案为：x1*=4，x2*=3，Z*=62元。但实际上，工厂在作决策时，要考虑市场等一系列其它因素，如：（1）根据市场信息，产品I的销售量有下降的趋势，故考虑产品I的产量不大于产品II的产量；（2）超过计划供应的原材料，需用高价采购，这就使成本增加；（3）应尽可能充分利用设备台时，但不希望加班；（4）应尽可能达到并超过计划利润指标56元。这样在考虑产品决策时，便成为多目标决策问题。目标规划的方法是解这类决策问题的方法之一。下面引入与建立目标规划数学模型的有关概念。1.设x1、x2为决策变量，此外，引进正、负偏差变量d+、d-。正偏差变量d+表示决策值超过目标值的部分；负偏差变量d-表示决策值未达到目标值的部分。因决策值不可能既超过目标值同时又未达到目标值，即恒有：d+d-=0(3.1)2.系统（绝对）约束和目标约束：系统约束是指必须严格满足的等式或不等式；如线性规划问题的所有约束条件，不能满足这些约束条件的解称为非可行解，所以它们是硬约束。目标约束是目标规划特有的，可把约束右端项看作是要追求的目标值。在达到此目标值的过程中允许发生正或负偏差，因此在这些约束中加入正、负偏差变量，它们是软约束。线性规划问题的目标函数，在给定目标值和加入正、负偏差变量之后，可转变为目标约束。同时也可根据问题的需要将系统约束转变为目标约束。3.优先因子（优先等级）与权系数：一个规划问题常常有若干个目标。但决策者在要求达到这些目标时是有主次或轻重缓急的考虑。凡要求第一位达到的目标，就赋予优先因子P1；次位的目标赋予优先因子P2，······，并规定PkPk+1，k=1，2，······，K，表示Pk比Pk+1有更大的优先权。即首先保证P1级目标的实现，这时可以不考虑次级目标；而P2级目标是在实现P1级目标的前提下考虑的；以此类推，若要区别具有相同优先因子的两个目标的差别，这时可分别赋予它们不同的权系数wj，这些都由决策者按具体情况而定。4.目标规划的目标函数:目标规划的目标函数（又称准则函数）是按各目标约束的正、负偏差变量和赋予相应的优先因子而构造的。当每一目标值确定后，决策者的要求是尽可能缩小与目标值的偏离。因此，目标规划的目标函数只能是Minf(d+、d-)。其基本形式有以下三种：（1）要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小，这时：MinZ=f(d+、d-)(3.2)（2）要求不超过目标值，即允许达不到目标值，但尽量不超过目标值，也就是正偏差尽量小。这时：MinZ=f(d+)(3.2)（3）要求超过目标值，即超过量不限，必须是负偏差变量要尽可能地小。这时：MinZ=f(d-)(3.2)对每一个具体目标规划问题，可根据决策者的要求和赋予各目标的优先因子来构造目标函数，以下用例子说明。108利润（元/件）1021设备（hr）1112原材料（kg）拥有量III例2：例1的决策者在原材料供应受严格限制的基础上考虑；首先是产品II的产量不低于产品I的产量；其次是充分利用设备的有效台时，不加班；在则是利润不小于56元。求决策方案。解：按决策者所要求的，分别赋予这三个目标P1、P2、P3优先因子。于是这个问题的数学模型就是：3,2,10,,,561081020112)(21332122211121213322211iddxxddxxddxxddxxxxdPddPdPZMinii目标规划数学模型的一般形式如下：（1）根据市场信息，产品I的销售量有下降的趋势，故考虑产品I的产量不大于产品II的产量；（2）超过计划供应的原材料，需用高价采购，这就使成本增；（3）应尽可能充分利用设备台时，但不希望加班；（4）应尽可能达到并超过计划利润指标56元。):,:(,,10,,,10,,1),(,,1)(1111目标数优先因子数KLKLKkddnjxmibxaKkgddxcdwdwPZMinkkjnjijijnjkkkjkjKkklkklkLll•例12070利润3000103设备台时200054煤360049钢材资源总量乙甲要求：第一级目标：完成或超额完成利润指标5000第二级目标：产品甲不能超过200件产品乙不能超过250件第三级目标：现有钢材3600t刚好用完要求：第一级目标：完成或超额完成利润指标50000，第二级目标：产品甲不能超过200件产品乙不能超过250件第三级目标：现有钢材3600t刚好用完基本概念：1、目标值（给定）50000、200、250、3600设甲、乙产量为x1、x2实现值70x1＋120x2d+表示实现值＞目标值d+＝实现值－目标值d－＝目标值－实现值d+、d－至少有一个为0正偏差变量d+负偏差变量d－d+×d－＝012070利润3000103设备台时200054煤360049钢材资源总量乙甲12070利润3000103设备台时200054煤360049钢材资源总量乙甲第一：完成或超额完成利润指标50000第二：产品甲不能超过200件产品乙不能超过250件第三：现有钢材3600t刚好用完设甲、乙产量为x1、x22、约束条件：（1）目标约束70x1＋120x2＋d1－－d1+＝50000（利润）x1＋d2－－d2+＝200（产品甲不超过200）x2＋d3－－d3+＝250（产品乙不超过250）9x1＋4x2＋d4－－d4+＝3600（系统约束转化为目标约束）（2）系统约束（绝对约束）4x1＋5x2≤20003x1＋10x2≤3000（3）非负约束xj≥0di+、di－≥03、达成函数minz=f(di－－di+)minz1=d1－(利润完成50000，若小于，d1－↓）minz2=d2＋（甲不超过200，d2＋↓）minz3=d3－（乙不能超过250件，d3－↓）minz4=d4++d4－(钢材刚好用完)若d4－＝0d4+＝10，说明钢材用了3600＋10，即di+、di－可不满足这就是目标规划的好处）三级目标结合在一起：minz=P1d1－＋P2（d2＋＋d3－）＋P3（d4＋＋d4－）P1＞＞P2＞＞P3Pi－优先因子；w1－权重（同级目标）minz=P1d1－＋P2（w1d2＋＋w2d3－）＋P3（d4＋＋d4－）程序计算时，Pi取1000、100等第一：完成或超额完成利润指标50000第二：产品甲不能超过200件产品乙不能超过250件12070利润3000103设备台时200054煤360049钢材资源总量乙甲第三：现有钢材3600t刚好用完12070利润3000103设备台时200054煤360049钢材资源总量乙甲成本3070若增加一目标为：成本最小则目标minz＝P4d5+30x1+70x2＋d5－－d5＋＝0若增加一目标为：甲、乙产量相等minz＝P5（d6+＋d6－）x1－x2＋d6－－d6＋＝0建立目标规划的数学模型时，需要确定目标值、优先等级、权系数等，它都具有一定的主观性和模糊性，可用专家评定法等给予量化。第二节目标规划的图解法对具有两个决策变量的目标规划数学模型，可用图解法进行求解。我们对例2用图解法进行求解。从图中可知，该目标规划问题的最优解是线段GD上的所有点。这时，线段GD上的点能够满足目标规划问题的所有约束条件，即能满足所有的系统约束和目标约束条件。但大多数目标规划问题并非如此，x1x20FECGDJd1-d1+d2-d2+d3-d3+IBA3,2,10,,,561081020112)(21332122211121213322211iddxxddxxddxxddxxxxdPddPdPZMinii还可能出现非可行解，所以将目标规划问题的最优解称之为满意解。例3：某电视机厂装配黑白和彩色两种电视机，每装配一台电视机需占用装配线1小时，装配线每周计划开动40小时，预计市场每周彩色电视机的销售量是24台，每台获利80元；黑白电视机的销售量是30台，每台获利40元。该厂确定的目标是：第一优先级：充分利用装配线每周计划开动40小时；第二优先级：允许装配线加班，但每周加班时间尽量不超过10小时；第三优先级：装配电视机的数量尽量满足市场的需要。又因彩色电视机的利润高，我们取其权系数为2。试建立该问题的目标规划模型，并求解黑白和彩色两种电视机的产量。解：设x1、x2分别表示彩色和黑白电视机的产量。这个问题的目标规划问题的数学模型为：4,3,2,1,0,,,3024)10:(5040)2(21442331221222111214332211iddxxddxddxdddddxxddxxddPdPdPZMinii或我们用图解法求解该问题如下图所示：ABCDGHFE(24,26)d1-d1+d2-d2+d3-d3+d4-d4+0x1x24,3,2,1,0,,,3024)10:(5040)2(21442331221222111214332211iddxxddxddxdddddxxddxxddPdPdPZMinii或第三节解目标规划的单纯形法目标规划的数学模型结构与线性规划的数学模型没有本质的区别，所以可用单纯形法求解。但要考虑目标规划数学模型的一些特点，作如下规定：（1）因目标规划问题的目标函数都是求最小化，所以检验数j0，j=1，，n为最优准则；（2）因非基变量检验数中