函数与方程(解答题)

函数与方程（解答题）1.已知函数12()(,0)4ftatbttRaa的最大值为正实数，集合}0|{xaxxA，集合}|{22bxxB。（1）求A和B；（2）定义A与B的差集：AxxBA|{且}Bx。设a，b，x均为整数，且Ax。)(EP为x取自BA的概率，)(FP为x取自BA的概率，写出a与b的二组值，使32)(EP，31)(FP。（3）若函数)(tf中，a，b是（2）中a较大的一组，试写出)(tf在区间[28m,m]上的最大值函数()gm的表达式。2.已知函数12()(,0)4ftatbttRaa的最大值为正实数，集合}0|{xaxxA，集合}|{22bxxB。（1）求A和B；（2）定义A与B的差集：AxxBA|{且}Bx。设a，b，x均为整数，且Ax。)(EP为x取自BA的概率，)(FP为x取自BA的概率，写出a与b的二组值，使32)(EP，31)(FP。（3）若函数)(tf中，a，b是（2）中a较大的一组，试写出)(tf在区间[28n,n]上的最大值函数()gn的表达式。3.已知函数12()log(1)fxx，当点00()Pxy，在()yfx的图像上移动时，点001()2xtQytR，（）在函数()ygx的图像上移动．（1）若点P坐标为（11，），点Q也在()yfx的图像上，求t的值；（2）求函数()ygx的解析式；（3）当0t时，试探求一个函数()hx使得()()()fxgxhx在限定定义域为[01)，时有最小值而没有最大值．4.已知：)(xf为定义在R上的奇函数，且当1x时，22)1(2xxxf。（1）写出)(xf的函数表达式；（2）作出函数)(xf的图象，并求出6)(xf的解集；（3）如果6)(mxf的解集为闭区间a,0，求m和a的值。5.如图，函数y=32|x|在x∈[－1,1]的图象上有两点A，B，AB∥Ox轴，点M(1,m)(m是已Oxy1t-1-tABCM(1,m)3232yx知实数，且m32)是△ABC的边BC的中点。(1)写出用B的横坐标t表示△ABC面积S的函数解析式S＝f(t)；(2)求函数S＝f(t)的最大值，并求出相应的C点坐标。6.已知二次函数f(x)=x2+bx+c(b≥0，c∈R).若f(x)的定义域为［-1,0］时，值域也是［-1,0］，符合上述条件的函数f(x)是否存在?若存在，求出f(x)的表达式；若不存在，请说明理由.7.)],1(log),1([log],,[22log)(aaxxxfaaa值域为的定义域为已知函数并且f(x)在［α，β］上为减函数.(1)求a的取值范围；(2)求证：2＜α＜4＜β;,],[,22log)1(log)()3(Mxxxxaxgaa的最大值为若函数求证：0＜M＜1.8.已知函数f(x)对任何正数x,y都有f(xy)=f(x)f(y),且f(x)≠0,当x1时,f(x)1.试判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并说明理由.9.给定函数f(x)=ax2+bx+c,以及g(x)=cx2+bx+a,且|f(0)|≤1,|f(1)|≤1,|f(-1)|≤1;.2|)(|)2(;45|)(|)1(:,1||xgxfx证明对于10.设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0),方程f(x)-x=0的两个根x1,x2满足:;)(,),0()1.(101121xxfxxxaxx证明时当.2,)()2(1oxxxxxfo证明对称的图象关于直线设函数11.已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R,a0),设方程f(x)=x的两个实数根为x1,x2.(1)如果x12x24,设函数f(x)的对称轴为x=xo,求证:xo-1;(2)如果|x1|2,|x2-x1|=2,求b的取值范围.12.已知a0,函数f(x)=ax-bx2.;2:,1)(,0)1(baxfRxb证明都有若对任意时当;21-b1|)(|],1,0[:0)2(baxfxb的充要条件是对任意时证明当(3)当0b≤1时,讨论:对任意x∈[0,1],|f(x)|≤的充要条件.13.)(122)(为实数设aaxfxx（1）当a＜0时，用函数的单调性定义证明：y=f(x)在R上增函数；（2）当a=0时，若函数y=g(x)的图象与y=f(x)的图象关于直线x=1对称，求函数y=g(x)的解析式；（3）当a＜0时，求关于x的方程f(x)=0在实数集R上的解.14.已知二次函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R).(1)若方程f(x)=0无实根，求证：b＞0；(2)若方程f(x)=0有两实根，且两实根是相邻的两个整数，求证：;aaf)1(41)(2(3)若方程f(x)=0有两个非整数实根，且这两实根在相邻两整数之间，试证明存在整数k,使得.41|)(|kf(4)若方程f(x)=0有两个非整数实根，且两实根不在相邻两整数之间.请你探求当a,b满足什么条件时,一定存在整数k,使得.41|)(|kf15.设有关于x的不等式|)7||3lg(|xxa(I)当a=1时，解此不等式.(II)当a为何值时，此不等式的解集是R.16.某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.(1)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？17.已知二次函数f(x)的二次项系数为正且f(2－x)＝f(2＋x).（理科）求不等式f(2－2ax2)f(－ax2＋2ax－a＋2)的解集(a0).（文科）求不等式)76()212(22xxfxf的解集.18.设关于x的一元二次方程2x2－ax－2=0的两根的α、β(αβ)，函数f(x)＝142xax⑴求f(α)·f(β)的值；⑵证明f(x)是[α,β]的增函数；(3)当a为何值时，f(x)在区间[α,β]上的最大值与最小值之差最小？19.如图，A、B为函数yxx3112()图像上两点，且AB∥x，点M（1，m）（m3）是△ABC边AC的中点。（I）设点B的横坐标为t，△ABC的面积为S，求S关于t的函数关系式S=f(t)；（II）求函数S=f(t)的最大值，并求出相应的点C的坐标。20.设函数54)(2xxxf.（1）在区间]6,2[上画出函数)(xf的图像；（2）设集合),6[]4,0[]2,(,5)(BxfxA.试判断集合A和B之间的关系，并给出证明；（3）当2k时，求证：在区间]5,1[上，3ykxk的图像位于函数)(xf图像的上方.21.设函数mxexfmx其中,)(R.（I）求函数)(xf的最值；（Ⅱ）给出定理：如果函数)(xfy在区间[ba,]上连续，并且有0)()(bfaf，那么，函数)(xfy在区间),(ba内有零点，即存在0)(),,(00xfbax使得.运用上述定理判断，当1m时，函数)(xf在区间)2,(mm内是否存在零点.22.已知函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)成立，f(1)=0.(Ⅰ)求f(0)的值；(Ⅱ)求f(x)的解析式；(Ⅲ)若函数g(x)=(x+1)f(x)-a［f(x+1)-x］在区间(-1，2)上是减函数，求实数a的取值范围.23.设)(xf是定义域为),0()0,(的奇函数，且它在区间)0,(上是增函数.(I)用定义证明)(xf在区间),0(上是增函数；(II)若0)1(f，解关于x的不等式：0]1)1([log2xfa.（其中0a且1a）24.二次函数y=ax2+x+1(a＞0)的图象与x轴两个交点的横坐标分别为x1、x2.（1）证明(1+x1)·(1+x2)=1;（2）证明x1＜-1,x2＜-1;（3）若x1、x2满足不等式|lg21xx|≤1，试求a的取值范围.25.设函数f(x)=ax2+bx+1（a,b为实数）,F(x)=)0()()0()(xxfxxf（1）若f(-1)=0且对任意实数x均有f(x)0成立，求F(x)表达式。（2）在（1）的条件下,当x2,2时,g(x)=f(x)-kx是单调函数，求实数k的取值范围。26.某种细菌每隔两小时分裂一次(每一个细菌分裂成两个，分裂所需时间忽略不计)，研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y是研究时间t的函数，记作y=f(t).(1)写出函数y=f(t)的定义域和值域；(2)在所给坐标系中画出y=f(t)(0≤t6)的图象；(3)写出研究进行到n小时(n≥0，n∈Z)时，细菌的总数有多少个(用关于n的式子表示).27.设函数()fx的定义域为R且2kx（kZ），且1(1)()fxfx，如果()fx是奇函数，当102x时，()3xfx。(1)求20014f；(2)当12212kxk时，求()fx（kZ）的解析式；(3)是否存在正整数k，使当12212kxk时，23log()2fxxkxk有解？28.已知,是方程)(01442Rttxx的两个不等实根，函数12)(2xtxxf的定义域为],[（1）证明)(xf在区间],[上是增函数（2）对任意|)()(|],,[,2121xfxfKxx恒成立，求K的最小值g（t）（3）若对锐角21,uu有1sinsin21uu，试证：63291)(tan1)(tan121ugug29.已知函数f(x)＝x2＋2x＋3(1)求f(x)的反函数f－1(x)及反函数的定义域A；(2)设B＝{x|lgxx1010lg（2x＋a－5）},若A∩B,求实数a的取值范围.30.设方程x2-x+1=0的两根是α，β，求满足f(α)=β,f(β)=α,f(1)=1的二次函数f(x).31.设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)，方程f(x)=x的两根x1,x2满足0x1x2a1,（Ⅰ）当x∈(0,x1)时，求证：xf(x)x1；（Ⅱ）设函数f(x)的图象关于x=x0对称，求证：x0.21x32.已知不等式组12022axaaxx①②的整数解恰好有两个，求a的取值范围。33.设定数A，B，C使得不等式A(x-y)(x-z)+B(y-z)(y-x)+C(z-x)(z-y)≥0①对一切实数x,y,z都成立，问A，B，C应满足怎样的条件？（要求写出充分必要条件，而且限定用只涉及A，B，C的等式或不等式表示条件）34.对任意x∈[0,1],有0304222kkxxkkxx成立，求k的取值范围。35.设实数a,b,c,m满足条件：mcmbma12=0，且a≥0,m0，求证：方程ax2+bx+c=0有一根x0满足0x01.36.某人解二次方程时作如下练习：他每解完一个方程，如果方程有两个实根，他就给出下一个二次方程：它的常数项等于前一个方程较大的根，x的系数等于较小的根，二次项系数都是1。证明：这种练习不可能无限次继续下去，并求最多能延续的次数。37.设函数f(x)=ax2+8x+3(a0)，对于给定的负数a，有一个最大的正数l(a)，使得在整个区间[0，l(a)]上，不等式|f(x)|≤5都成立。求l(a)的最大值及相应a的值。38.设x1,x2,…,xn∈[a,a+1]，且设x=niixn11,y=njjxn121,求f=y-x2的最大值。39.F(x)=ax2+bx+c，a,b,c∈R,且|F(0)|≤1,|F