二次函数的应用

2020/7/101制作：浚县王庄乡一中张恩岭2020/7/1022020/7/103注意：有此求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内。运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值解题的一般步骤是怎样的？首先应当求出函数解析式和自变更量的取值范围。然后通过配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。2020/7/104例如在建造温室问题中，为了使温室种植的面积最大，应怎样确定边长ｘ的值？在日常生活和生产实际中，二次函数的性质有着许多应用。例如：如果温室外围是一个矩形，周长为120m,室内通道的尺寸如图，设一条边长为x(cm),种植面积为y(m2)。y＝(x－2)(56－x)＝－x2＋58x－112＝－(x－29)2＋729(2x56)2020/7/105例1：用8m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框．应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？解：设矩形窗框的面积为y,由题意得，xxy238xx423238)34(232x，最大面积为窗框的透光面积最大。时，，窗框的长为当窗框的宽2384734mmmx)380(x2020/7/106变式:图中窗户边框的上半部分是由四个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形。如果制作一个窗户边框的材料总长为6米，那么如何设计这个窗户边框的尺寸，使透光面积最大(结果精确到0.01m2)?x2020/7/1071、.已知直角三角形的两直角边的和为2。求斜边长可能达到的最小值，以及当斜边长达到最小值时两条直角边的长分别为多少？ABC2、探究活动:已知有一张边长为10cm的正三角形纸板，若要从中剪一个面积最大的矩形纸板，应怎样剪？最大面积为多少？ABCDEFK2020/7/108例：用长6m的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，问宽和高各是多少m时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？答：当窗框的宽为1m，高为1.5m时，窗户的透光面积最大，为1.5m2.xxx解：设窗框的宽为xm,则高为m因为x0,且6-3x0，所以0x2.设透光面积为ym2，则即∵,b=3,c=0∴∵,x=1属于0x2的范围内，∴当x=1时，y最大值=1.5此时,窗框的高为,2020/7/109练习1如图，用长20的篱笆，一面靠墙围成一个长方形的园子，怎样围才能使园子的面积最大？最大面积是多少？xx解:设矩形垂直于墙的边长为x，则另一边位（20－2x），设矩形的面积为y，则y＝x（20－2x）=－2x２＋20x（0＜x10）即y＝－2x２＋20x＝－2（x２－１0x）＝－２(x－5)2+50∴当x＝５时，y最大值＝５０此时另一边长为２０－2x＝２０－２×５＝１０答：与墙垂直的边取５，另一边取１０时，围成的面积最大，最大面积为５０因为x0,且20－2x＞０，所以0＜x10∵a=－20,x=5属于0x10的范围内2020/7/1010思考与推广：将60cm长的木条做成图（一）的装饰品，为使它的面积最大，最大矩形的相邻两边长应取多长？一面靠地如图（二）时，最大矩形的相邻两边长是多少？图（一）图（二）相邻两边各取10cm,最大面积100cm2长边取30cm，短边取7.5cm,最大面积225cm22020/7/1011如何运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值?复习思考首先应当求出函数解析式和自变量的取值范围，然后通过配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。注意：有此求得的最大值或最小值对应的字变量的值必须在自变量的取值范围内。2020/7/1012例：如图，Ｂ船位于Ａ船正东２６ＫＭ处，现在Ａ，Ｂ两船同时出发，A船以１２KM/H的速度朝正北方向行驶，B船以５KM/H的速度朝正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是多少？①设经过t时后，Ａ、Ｂ两船分别到达A/、B/（如图），则两船的距离Ｓ应为多少?②如何求出S的最小值？?A’AB’B2020/7/1013某饮料经营部每天的固定成本为200元，其销售的饮料每瓶进价为5元。销售单价与日均销售量的关系如下：例：①若记销售单价比每瓶进价多X元，日均毛利润（毛利润=售价-进价-固定成本）为y元，求Y关于X的函数解析式和自变量的取值范围；②若要使日均毛利润达到最大，销售单价应定为多少元（精确到０．１元）？最大日均毛利润为多少元？销售单价（元）6789101112日均销售量（瓶）4804404003603202802402020/7/1014例一个球从地面上竖直向上弹起时的速度为10m/s，经过t（s）时球的高度为h（m）。已知物体竖直上抛运动中，h=v0t－½gt²（v0表示物体运动上弹开始时的速度，g表示重力系数，取g=10m/s²）。地面问题?2020/7/10151.一球从地面抛出的运动路线呈抛物线，如图，当球离抛出地的水平距离为30m时，达到最大高10m。⑴求球运动路线的函数解析式和自变量的取值范围；⑵求球被抛出多远；⑶当球的高度为5m时，球离抛出地面的水平距离是多少m？4050302010x51015y课内练习提出问题远比解决问题更有价值2020/7/1016已知一元二次方程X²+X－1=0.例120-1-2x123456y想到……近似解●●图象解其它解法?2020/7/1017108642-2-4-6-15-10-551015gx=1-xfx=x2y=x2y=1-x●●多想出智慧2020/7/10183.利用函数图象判断下列方程有没有解，有几个解。若有解，求出它们的解（精确到0.1）。①X²=2x-1②2x²-x+1=0③2x²-4x-1=0课内练习108642-2-4-6-15-10-551015y=X²-2x+1108642-2-4-6-15-10-551015y=2X²-x+18642-2-4-6-15-10-551015y=2X²-4x-1一解x=1无解两解x1=-0.2,x2=2.22020/7/10191.y=X²-4x+42.y=2X²-x-13.y=3X²-4x+6看谁快不用画图,试判断下列抛物线同x轴交点情况:4.y=-9X²-4x+3一个交点两个交点没有交点两个交点b2-4ac的符号2020/7/1020例1。我们把这座大桥放入平面直角坐标系内进行研究，以大桥桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，设两个桥墩AC，BD长各为5个单位长度，AO，BO，各为10个单位长度，抛物线的最低点经过（0，1），求图中红色吊柱EF的长（每个单位长度为10米）。解：因为抛物线顶点为（0，1），设其解析式为y=ax2+1∵OB=10，BD=5，∴D坐标为（10，5）把D（10，5）代入抛物线得：5=100a+1，则a=∴抛物线为：y=x2+1∴当x=5时，y=×52+1=2答：红色吊柱EF长2个单位，即20米2020/7/1021例3如图，B船位于A船正东26km处。现在两船同时出发，A船以每时12km的速度朝正北方向行驶，B船以每时5km的速度朝正西方向行使，何时两船相距最近？最近距离是多少？当13t-10=0,即t=10/13时,被开放式(13t-10)2+576有最小值576ABCD解：设经过t时后，A,B两船分别到达C,D,两船之间的距离是s：s=CD=√AC2+AD2=√(26-5t)2+(12t)2=√169t2-260t+676=√(13t-10)2+576(t0)所以当t=10/13时,s最小值=√576=24(km)答：经过10/13时，两船之间的距离最近，最近距离为24km2020/7/1022归纳小结：运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值的一般步骤:求出函数解析式和自变量的取值范围配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。检查求得的最大值或最小值对应的字变量的值必须在自变量的取值范围内。2020/7/10231、通过这节课的学习活动你有哪些收获？2、对这节课的学习，你还有什么想法吗？