培优有理数重难题解析

1有理数复习（一）有理数的基本概念1.负数在正数前面加“－”的数。0既不是正数也不是负数。2.有理数整数和分数统称为有理数3.数轴规定了原点，正方向和单位长度的直线（1）数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大（2）正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数（3）所有有理数都可以用数轴上的点表示4.相反数只有符号不同的两个数，其中一个是另一个的相反数（1）数a的相反数是（a是任意一个有理数）；（2）0的相反数是0；（3）若a、b互为相反数，则a+b=05.倒数乘积是1的两个数互为倒数。（1）a的倒数是；（2）0没有倒数；（3）若a与b互为倒数，则ab=16.绝对值一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。（1）a的绝对值记作|a|；（2）若a0，则|a|=a若a=0，则|a|=0若a0，则|a|=（3）对任何有理数a，总有|a|07.有理数大小的比较（1）可通过数轴比较在数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。（2）两个负数比较大小，绝对值大的反而小8.科学计数法，近似数与有效数字2（1）把一个大于10的数记成的形式，其中a是整数位只有一位的数，这种记数法叫做科学记数法。（2）一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字。（3）近似数就是与实际数非常接近的数。四.考点分析对负数意义的理解，绝对值的代数和几何意义，有理数的分类，相反数和倒数的概念，科学记数法，有效数字等都是中考命题的热点，考查学生对概念的把握能力。【典型例题】例1.判断正误（1）a一定是正数；（2）一定是负数；（3）一定大于0；（4）0是正整数。分析：本题主要考查对负数意义的理解（1）由字母表示数的意义可知，a可是任意的数，既可以是正数，还可以是负数或0，故不正确。（2）由上题可知，当a是负数或0时，是正数或0，故不正确。（3）是的相反数，但a可以是一个负数，故不正确。（4）由定义可知0不是正数也不是负数，不正确。例2.若，且x、y都是整数，请写出符合条件的x、y的值。分析：本题是开放性问题，利用绝对值的几何意义和数轴解决问题，即x对应在数轴上的点到原点的距离，与y对应在数轴上的点到原点的距离之和为3。解：由题意知，x对应在数轴上的点到原点的距离与y对应在数轴上的点到原点的距离之和为3。从数轴上可以看出，x、y可以取的数应为从-3到3之间的整数。∴（1）当x=－3时，y=0（2）当x=－2时，y=1（3）当x=－1时，y=2（4）当x=0时，y=3（5）当x=1时，y=－2（6）当x=2时，y=－1（7）当x=3时，y=0例3.数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简。分析：本题考查数轴上的数的大小及绝对值的代数意义解：由上图可知∴3∴∴例4.近似数1.85与1.850的意义相同吗？为什么？分析：根据近似数的意义，明确1.85和1.850意义是不同的。解：近似数1.85和1.850表示的意义不相同1.精确度不相同，1.85精确到百分位，即0.01，1.850精确到千分位，即0.001；2.有效数字不同，1.85有三个有效数字，1.850有四个有效数字；3.取值范围不同，1.85的准确值m应满足，而1.850的准确值n的范围是。例5.若，求________________。分析：本题考查绝对值的非负性解：∵∴若则∴∴∴有理数复习（二）（一）运算法则1.有理数加法法则（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两数相加得0。（3）一个数同0相加，仍得这个数。用数学语言描述有理数加法法则：（1）同号相加若，则4若a0，b0，则（2）异号相加若a0，b0，|a||b|，则若a0，b0，，则若a0，b0，，则（3）与0相加a是任一个有理数，则2.有理数的减法法则减去一个数等于加上这个数的相反数用数学语言描述为：3.有理数的乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数同0相乘，都得0。（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负，当负因数有偶个时，积为正。（2）几个数相乘，有一个因数是0，积就为0。用数学语言描述有理数乘法法则：（1）同号相乘若a0，b0，则若a0，b0，则（2）异号相乘若a0，b0，则若a0，b0，则（3）数与0相乘a为任一有理数，则4.有理数除法法则法则一：除以一个数等于乘以这个数的倒数即法则二：两数相除，同号为正，异号为负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数，都得0。用数学语言描述为：（1）同号相除若a0，b0，则若a0，b0，则5（2）异号相除若a0，b0，则若a0，b0，则（3）0除以任何数若a是任一有理数且，则5.有理数的乘方求几个相同因数的积的运算，叫做乘方。即：（1）正数的任何次幂都是正数负数的奇数次幂是负数负数的偶数次幂是正数0的任何次幂是0（2）任何数的偶数次数是非负数a是任一有理数，则（二）运算顺序1.有括号，先算括号里面的；2.先算乘方，再算乘除，最后算加减3.对只含乘除或只含加减的运算，应从左往右运算（三）有理数的运算律1.加法交换律：2.加法结合律：3.乘法交换律：4.乘法结合律：5.乘法分配律：四.考点分析：有理数的运算是中考必考内容，选择、填空或解答是其考查题型，也会融入其他知识点中考查学生的计算能力。【典型例题】例1.若，且，求的值。分析：首先确定a、b、c的值，再代入求解，要进行分类讨论，讨论要全面，做到不重不漏。解：∴又由∴∴a=3，b=6由∴∴综上，a=3，b=，当b=1时，当b=时，所以的值为或例2.a与b互为倒数，x与y互为相反数，c的绝对值等于2，求的值。分析：本题主要考查倒数，相反数和绝对值的意义。解：由题意知：ab=1，x+y=0，∴例3.已知，求。分析：本题是考查绝对值和有理数偶数次方的非负性解：∵又∴∴，b=2把，b=2代入得：例4.以下是一个简单的数值运算程序输入x→→→→输出，当输入的值为时，求输出的值为多少？分析：解这类问题的关键是根据数值运算程序列出算式，然后进行有理数的混合运算。解：当输入的值为时，输出的值为：7