基本不等式(二)

基本不等式：ab≤a＋b2（二）[学习目标]1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．知识点一基本不等式求最值1．理论依据：(1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y时，积xy有最大值，且这个值为s24.(2)设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y时，和x＋y有最小值，且这个值为2p.2．基本不等式求最值的条件：(1)x，y必须是正数；(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值．(3)等号成立的条件是否满足．3．利用基本不等式求最值需注意的问题：(1)各数(或式)均为正．(2)和或积为定值．(3)判断等号能否成立，“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可．(4)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性．知识点二基本不等式在实际中的应用基本不等式在实际中的应用是指利用基本不等式解决生产、科研和日常生活中的问题．解答不等式的应用题一般可分为四步：(1)阅读并理解材料；(2)建立数学模型；(3)讨论不等关系；(4)作出结论．题型一利用基本不等式求最值例1(1)已知x≥52，则f(x)＝x2－4x＋52x－4有()A．最大值54B．最小值54C．最大值1D．最小值1(2)已知t＞0，则函数y＝t2－4t＋1t的最小值为____．(3)已知x，y∈R＋，且满足x3＋y4＝1，则xy的最大值为____．答案(1)－2(2)3(3)3解析(1)y＝t2＋1－4tt＝t＋1t－4≥2－4＝－2，当且仅当t＝1t，即t＝1或t＝－1(舍)时，等号成立，∴y的最小值为－2.(2)xy＝12·x3·y4≤12·x3＋y422＝12·122＝3，当且仅当x3＝y4＝12，即x＝32，y＝2时，等号成立，∴xy的最大值为3.(3)f(x)＝x2－4x＋52x－4＝x－22＋12x－2＝12x－2＋1x－2≥1.当且仅当x－2＝1x－2，即x＝3时，等号成立．跟踪训练1(1)设a＞b＞0，则a2＋1ab＋1aa－b的最小值是()A．1B．2C．3D．4(2)已知x，y为正数，且2x＋y＝1，则1x＋1y的最小值为________．答案(1)D(2)3＋22解析(1)a2＋1ab＋1aa－b＝a2－ab＋ab＋1ab＋1aa－b＝a(a－b)＋1aa－b＋ab＋1ab≥2＋2＝4.当且仅当a(a－b)＝1且ab＝1，即a＝2，b＝22时取“＝”．(2)由2x＋y＝1，得1x＋1y＝2x＋yx＋2x＋yy＝3＋yx＋2xy≥3＋2yx·2xy＝3＋22，当且仅当yx＝2xy，即x＝2－22，y＝2－1时，等号成立．题型二基本不等式的综合应用例2(1)已知x＞1，y＞1，且14lnx、14、lny成等比数列，则xy()A．有最大值eB．有最大值eC．有最小值eD．有最小值e答案C解析由题意得142＝14lnxlny，∴lnxlny＝14，∵x＞1，y＞1，∴lnxlny＞0，又ln(xy)＝lnxlny≥2lnxlny＝1，∴xy≥e，即xy有最小值为e.(2)若对任意x＞0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，求a的取值范围．解设f(x)＝xx2＋3x＋1＝1x＋1x＋3，∵x＞0，∴x＋1x≥2，∴f(x)≤15，即f(x)max＝15，∴a≥15.跟踪训练2(1)设a＞0，b＞0，若3是3a与3b的等比中项，则1a＋1b的最小值为()A．2B．4C．1D.12(2)函数y＝kx＋2k－1的图象恒过定点A，若点A又在直线mx＋ny＋1＝0上，则mn的最大值为________．答案(1)B(2)18解析(1)由题意得，3a·3b＝(3)2，即a＋b＝1，∴1a＋1b＝1a＋1b(a＋b)＝2＋ba＋ab≥2＋2ba·ab＝4，当且仅当ba＝ab，即a＝b＝12时，等号成立．(2)y＝k(x＋2)－1必经过(－2，－1)，即点A(－2，－1)，代入得－2m－n＋1＝0，∴2m＋n＝1，∴mn＝12(2mn)≤12·2m＋n22＝18，当且仅当2m＝n＝12时，等号成立．题型三基本不等式的实际应用例3要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，请确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，使矩形广告面积最小，并求出最小值．解设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，ab＝9000.①广告的高为a＋20，宽为2b＋25，其中a＞0，b＞0.广告的面积S＝(a＋20)(2b＋25)＝2ab＋40b＋25a＋500＝18500＋25a＋40b≥18500＋225a×40b＝18500＋21000ab＝24500.当且仅当25a＝40b时，等号成立，此时b＝58a，代入①式得a＝120，从而b＝75，即当a＝120，b＝75时，S取得最小值24500，故广告的高为140cm，宽为175cm时，可使广告的面积最小，最小值为24500cm2.跟踪训练3一批货物随17列货车从A市以v千米/时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于v202千米，那么这批货物全部运到B市，最快需要________小时．答案8解析设这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则t＝400＋16v202v＝400v＋16v400≥2400v×16v400＝8(小时)，当且仅当400v＝16v400，即v＝100时，等号成立，此时t＝8小时．1．下列函数中，最小值为4的函数是()A．y＝x＋4xB．y＝sinx＋4sinx(0＜x＜π)C．y＝ex＋4e－xD．y＝log3x＋logx812．函数y＝x2－x＋1x－1(x＞1)在x＝t处取得最小值，则t等于()A．1＋2B．2C．3D．43．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是()A．6.5mB．6.8mC．7mD．7.2m4．函数f(x)＝x(4－2x)的最大值为________．5．当x＜54时，函数y＝4x－2＋14x－5的最大值为________．一、选择题1．已知正数x，y满足8x＋1y＝1，则x＋2y的最小值是()A．18B．16C．8D．102．已知点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则2x＋4y的最小值为()A．22B．42C．16D．不存在3．下列命题正确的是()A．函数y＝x＋1x的最小值为2B．若a，b∈R且ab＞0，则ba＋ab≥2C．函数x2＋2＋1x2＋2的最小值为2D．函数y＝2－3x－4x的最小值为2－434．设x，y为正数，则(x＋y)1x＋4y的最小值为()A．7B．8C．9D．105．已知a，b，c都是正数，且a＋2b＋c＝1，则1a＋1b＋1c的最小值是()A．3＋22B．3－22C．6－42D．6＋426．已知a＝(x－1,2)，b＝(4，y)(x，y为正数)，若a⊥b，则xy的最大值是()A.12B．－12C．1D．－17．若直线2ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则1a＋1b的最小值为()A.14B.12C．2D．4二、填空题8．设x－1，则函数y＝x＋5x＋2x＋1的最小值是______．9．设a＞b＞c，则a－ca－b＋a－cb－c的最小值是________．10．某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数关系(二次函数的图象如图所示)，则每辆客车营运________年时，年平均利润最大．三、解答题11．已知x，y＞0，且x＋2y＋xy＝30，求xy的范围．12．已知正常数a，b和正变数x，y满足a＋b＝10，ax＋by＝1，x＋y的最小值为18，求a，b的值．13．某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4000平方米的楼房．经初步估计得知，如果将楼房建为x(x≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q(x)＝3000＋50x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用最小值是多少？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)当堂检测1．答案C解析A中x＝－1时，y＝－5＜4，B中y＝4时，sinx＝2，D中x与1的关系不确定，选C.2．答案B解析y＝xx－1＋1x－1＝x＋1x－1＝x－1＋1x－1＋1≥2＋1＝3，当且仅当x－1＝1x－1，即x＝2时，等号成立．3．答案C解析设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则12ab＝2，∴ab＝4，l＝a＋b＋a2＋b2≥2ab＋2ab＝4＋22≈6.828(m)．∵要求够用且浪费最少，故选C.4．答案2解析①当x∈(0,2)时，x,4－2x＞0，f(x)＝x(4－2x)≤122x＋4－2x22＝2，当且仅当2x＝4－2x，即x＝1时，等号成立．②当x≤0或x≥2时，f(x)≤0，故f(x)max＝2.5．答案1解析∵x＜54，∴4x－5＜0，∴y＝4x－5＋14x－5＋3＝－5－4x＋15－4x＋3≤－25－4x·15－4x＋3＝1当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，等号成立．课时精练答案一、选择题1．答案A解析x＋2y＝(x＋2y)8x＋1y＝10＋16yx＋xy≥10＋216＝18，当且仅当16yx＝xy，即x＝4y时，等号成立．2．答案B解析∵点P(x，y)在直线AB上，∴x＋2y＝3.∴2x＋4y≥22x·4y＝22x＋2y＝42.当且仅当2x＝4y，即x＝32，y＝34时，等号成立．3．答案B解析A错误，当x＜0时或x≠1时不成立；B正确，因为ab＞0，所以ba＞0，ab＞0，且ba＋ab≥2；C错误，若运用基本不等式，需()x2＋22＝1，x2＝－1无实数解；D错误，y＝2－(3x＋4x)≤2－43，故最大值为2－43.4．答案C解析由于x，y为正数，故(x＋y)1x＋4y＝1＋4＋yx＋4xy≥9.当且仅当yx＝4xy，即y＝2x时取“＝”．5．答案D解析1a＋1b＋1c＝1a＋1b＋1c(a＋2b＋c)＝4＋2ba＋ca＋ab＋cb＋ac＋2bc≥4＋22ba·ab＋2ca·ac＋2cb·2bc＝6＋42，当且仅当2ba＝ab，ca＝ac，cb＝2bc时，等号成立，即a2＝c2＝2b2时，等号成立．6．答案A解析∵a⊥b则a·b＝0，∴4(x－1)＋2y＝0，∴2x＋y＝2，∴xy＝12(2x)·y≤12·222＝12，当且仅当2x＝y时，等号成立．7．答案D解析圆方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，圆心为(－1,2)，半径为2，若直线被截得弦长为4，说明圆心在直线上，即－2a－2b＋2＝0，∴a＋b＝1，∴1a＋1b＝1a＋1b(a＋b)＝2＋ba＋ab≥2＋2＝4，当且仅当ba＝ab，即a＝b时，等号成立．二、填空题8．答案9解析∵x－1，∴x＋10，设x＋1＝t0，则x＝t－1，于是有y＝t＋4t＋1t＝t2＋5t＋4t＝t＋4t＋5≥2t·4t＋5＝9，当且仅当t＝4t，即t＝2时取“＝”，此时x＝1.∴当x＝1时，函数y＝x＋5x＋2x＋1取得最小值9.9．答案4解析a－ca－b＋a－cb－c＝1a－b＋1b－c[(a－b)＋(b－c)]＝1＋1＋b－ca－b＋a－bb－c≥2＋2b－ca－b·a－bb－c＝4，当且仅当b－ca－b＝a－bb－c，即|a－b|