微积分下册总复习

总复习1、多元函数的定义、极限及连续性确定极限不存在的方法(1)此时即可断言极限不存在。找两种不同趋近方式,但两者不相等,),(lim00yxfyyxx使存在,（2）找一条特殊的路径，使),(yxP沿此路径趋向于),(000yxP时),(lim),(),(00yxfyxyx不存在．第七章多元函数微分学2、偏导数与全微分)(0,0yxxzxyxfyxxfx),(),(lim00000),(yxfz0000),(),(lim0xxyxfyxfxx),0()(oyBxAz),(),(0000yxfyyxxfzzd22)()(yx0dPzdyyxfdxyxfyx),(),(0000yyzxxzPP00处在点),(),(000yxPyxfz可微连续偏导数连续偏导存在处可微的步骤：在判定),(),(00yxyxfz是否存在，、判定),(),()1(0000yxfyxfyx若不存在，则不可微，否则转下一步；，是否为判定0),(),(lim)2(00000yyxfxyxfzyx若为0，则可微，否则不可微。3、复合函数求导法),,(vufz则复合函数)],(),,([yxyxfzuvxzyxzuzxuvzxvyzuzyuvzyv),(),(yxvyxu及(1)一个方程情形(二元方程、三元方程)4、隐函数的求导法隐函数存在定理1),(yxF),(00yxP设的某一邻域内满足:在点,0),()3(00yxFy则方程;0),()2(00yxF),(xyy),(00xyy的某一邻域内并有),(),(ddyxFyxFxyyx(1)具有连续偏导数;0),(yxF),(00yxP它满足条件在点恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数隐函数存在定理2设),,(zyxF在点),,(0000zyxP的某一邻域内有连续的偏导数，且0),,(000zyxF，0),,(000zyxFz，则方程,,(yxF0)z在某一邻域)(0PU内恒能唯一确定一个具有连续偏导数的),(yxfz，它满足),(000yxfz,并有zxFFxz，zyFFyz.(2)方程组情形隐函数的个数=方程的个数隐函数的自变量个数=总自变量个数方程的个数5.多元函数微分学的几何应用(1)空间曲线的切线与法平面(三种情形)(2)空间曲面的切平面与法线(三种情形)6.方向导数与梯度00000(P)(P)lim.PPPPPPPlfffl与同向方向导数梯度.','adrg00PyxPfff.||)(00llgradflfPPcos)('cos)('00PfPfyx**方向导数与梯度的关系函数沿梯度方向的方向导数最大(即增长最快)，且方向导数的最大值为梯度的模。7.多元函数的极值与最值(1)极值的必要条件极值的充分条件(2)求条件极值的方法代入法，Lagrange乘数法,0),(00yxfx.0),(00yxfy),(),(),(yxyxfyxL*(3)求最值的方法1.求D内所有的驻点和不可导点；2.用求条件极值的方法(Lagrange乘数法或代入法)求D的边界上的条件极值点；3.求D的边界的边界点；4.计算上面三步求出的所有点的函数值，最大者即为D上的最大值，最小者即为最小值。1.理解二重积分、三重积分的概念,第八章重积分2.掌握二重积分的计算法(直角坐标、极3.会用重积分求一些几何量与物理量.了解重积分的性质.了解三重积分的计算法（直角坐标、坐标)，柱面坐标、球面坐标).其中iiniiDfyxfI),(limd),(10二重积分是各小闭区域的直径中的最大值.几何意义二重积分I表示以D为底,柱体的体积.z=f(x,y)为曲顶,侧面是定义1.平面上有界闭区域D上二元有界函数z=f(x,y)的二重积分2.当连续函数,0),(时yxfz以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面的曲顶一般情形,Dyxfd),(xOy平面上方的曲顶柱体体积减xOy平面下方的曲顶柱体体积.物理意义3.若平面薄片占有平面内有界闭区域D,),,(yx则它的质量M为:它的面密度为连续函数.d),(DyxM性质1(线性运算性质)为常数,则(重积分与定积分有类似的性质)Dyxgyxfd)],(),([、设DDyxgyxfd),(d),(4、二重积分的性质性质2将区域D分为两个子域Dyxfd),()(21DDD对积分区域的可加性质.1d),(Dyxf2d),(Dyxf,,21DD以1为高的性质3(几何应用)若为D的面积注Dd既可看成是以D为底,柱体体积.Dd1Dd又可看成是D的面积.Dyxfd),(特殊地性质4(比较性质)),,(),(yxgyxf设,),(Dyx则Dyxgd),(Dyxfd),(Dyxfd),((保序性)DMyxfmd),(性质5(估值性质),),(Myxfm设σ为D的面积,则性质6(二重积分中值定理)),,(Dyxfd),(体体积等于以D为底),(f以几何意义域D上连续,σ为D的面积,则在D上至少存在一点使得),(f,),(,0),(Dyxyxf设则曲顶柱为高的平顶柱体体积.设f(x,y)在闭区(1)设f(x,y)在有界闭区域D上连续.Dyxyxfdd),(若D关于,dd),(21yxyxfD则x轴对称,f(x,y)对y为奇函数,即,0,),(),,(),(Dyxyxfyxff(x,y)对y为偶函数,即,),(),,(),(Dyxyxfyxf则Dyxyxfdd),(其中};0{1yDD5、对称区域上奇偶函数的积分性质(2)设f(x,y)在有界闭区域D上连续.Dyxyxfdd),(若D关于,dd),(21yxyxfD则y轴对称,f(x,y)对x为奇函数,即,0,),(),,(),(Dyxyxfyxff(x,y)对x为偶函数,即,),(),,(),(Dyxyxfyxf则Dyxyxfdd),(其中};0{1xDD)},()(,),({21xyxbxayxD其中函数、)(1x)(2xb)(2xy)(1xyaD在区间[a,b]上连续.(1)直角坐标系xOyDyxfd),(baxxyyxfx)()(21d),(d先对y后对x的二次积分6、二重积分计算)},()(,),({21yxydycyxD其中函数、)(1y)(2y在区间[c,d]上连续.Dyxfd),(dcyyxyxfy)()(21d),(d先对x后对y的二次积分.xOyD)(2yxcd)(1yx交换积分次序的步骤(1)利用已给的二次积分的积分限得出相应的二重积分的积分区域,(2)按相反顺序写出相应的二次积分.并画出草图;Dyxfd),(ddrr极坐标系中的面积元素Drrrrfdd)sin,cos((2)极坐标系)(1r)(2rOADθ)}()(,),({21ryxD其中函数.],[)()(21上连续在区间、d)(2)(1;d)sin,cos(rrrrfD;d)sin,cos(d)(0rrrrfDyxfd),(AO)(r)}(0,),({ryxD其中函数.],[)(上连续在区间)(0π20d)sin,cos(drrrrf极坐标系下区域的面积.ddDrrDoA)(rθ)}(0,π20),({ryxDDyxfd),(其中函数.],[)(上连续在区间2、三重积分的几何意义表示空间区域的体积．时当Vdvzyxf,1),,(3、三重积分的性质类似于二重积分的性质．1、三重积分的定义dvzyxf),,(iiiniivf),,(lim10.三重积分三重积分vzyxfd),,(0为f的偶函数z对称性质),,(),,(zyxfzyxf则称f关于变量z的奇函数.vzyxfd),,(则,坐标面对称xOy关于的奇函数z为f21Ω若域xOy在为其中1坐标面的上半部区域.)),,(),,((zyxfzyxf(偶)vzyxfd),,(0为f的偶函数xvzyxfd),,(则,坐标面对称yOz关于的奇函数x为f21Ω若域yOz在为其中1坐标面的前半部区域.三重积分vzyxfd),,(0为f的偶函数yvzyxfd),,(则,坐标面对称zOx关于的奇函数y为f21Ω若域zOx在为其中1坐标面的右半部区域.三重积分4、三重积分的计算.);()();,(),(:2121bxaxyyxyyxzzyxz.),,(),,()()(),(),(2121baxyxyyxzyxzdzzyxfdydxdvzyxf}.,),(),,{(21czcDyxzyxz.),,(),,(21zDccdxdyzyxfdzdvzyxf(１)直角坐标.,sin,coszzryrx(２)柱面坐标.),sin,cos(),,(dzrdrdzrrfdvzyxf,dzrdrddv21(,)(,)(cos,sin,)dzzfrrzrz21()()drrrd注通常是先积再积后积r、、z..cos,sinsin,cossinrzryrx,sin2ddrdrdvdxdydzzyxf),,(.sin)cos,sinsin,cossin(2ddrdrrrrf(３)球面坐标通常是注、先积r、再积.后积5、二重积分的应用(1)体积的体积为之间直柱体与区域在曲面Dyxfz),(DdxdyyxfV.),(设S曲面的方程为：).,(yxfz曲面S的面积为;122dxdyAxyDyzxz(2)曲面面积当薄片是均匀的，重心称为形心.,1DxdAx.1DydAyDdA其中,),(),(DDdyxdyxxx.),(),(DDdyxdyxyy设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D，在点),(yx处的面密度为),(yx，假定),(yx在D上连续，平面薄片的重心为(3)重心薄片对于x轴的转动惯量薄片对于y轴的转动惯量,),(2DxdyxyI.),(2DydyxxI设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D，在点),(yx处的面密度为),(yx，假定),(yx在D上连续，平面薄片对于x轴和y轴的转动惯量为(4)转动惯量薄片对轴上单位质点的引力z设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D，在点),(yx处的面密度为),(yx，假定),(yx在D上连续，计算该平面薄片对位于z轴上的点),0,0(0aM处的单位质点的引力．)0(a},,,{zyxFFFF,)(),(23222dayxxyxfFDx,)(),(23222dayxyyxfFDy.)(),(23222dayxyxafFDz为引力常数f(5)引力6、三重积分的应用.dvM其中,1dvxMx设物体占有空间闭区域，在点),,(zyx处的密度为),,(zyx