高三高中数学填选题解题技巧—教师版

1高中数学填选题解题技巧知识梳理解答填空题的基本策略是“正确、合理、迅速”.正确是解题的根本，由于填空题只填写最终结果，因而答案的正确显得尤为重要，因而解题时要思维缜密，步骤严谨，特别注意审题，清楚要求解的问题是什么，对答案中的细节要求要看清楚，如：“用数字作答”、“正确的是”、“不正确的是”、“写出所有真命题的代号”、“填上你认为正确的一个即可”、“不等式的解集是”等等，要按照要求答题；合理是正确的前提，运算过程合理，运算方法简便为运算结果的正确提供必要的保证；而迅速是建立在合理的基础上，要提高速度必须概念清楚、运算熟练以及科学、合理的巧解.所以解题时要认真审题、弄清概念、明白算理、善于转化.高考数学选择题的特点是：①提供了供选择的多个选择支(只有一个正确项)；②不要求写出解答过程；③对解题速度有更高的要求.所以解答选择题的基本策略是尽量“不择手段”的采用最简捷方法快速准确的作答，一是要充分挖掘各选择支的暗示作用，二是要巧妙有效的排除迷惑支的干扰.快速解答选择题要靠基础知识的熟练和思维方法的灵活以及科学、合理的巧解，应尽量避免小题大做，否则将导致后面的解答题没有充裕的时间思考而后悔惋惜.2例题解析一、特例法当填空题或选择题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值或是范围可猜想时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，包括选取符合题意的特殊数值、特殊位置、特殊函数、特殊数列、特殊图形、特殊猜想等，代入或者比照选项来确定答案。（一）取特殊值【例1】等差数列na的前m项和为30，前m2项和为100，则它的前m3项和为【难度】★★【答案】210【解析】取1m，依题意301a，10021aa，则702a，又na是等差数列，从而1103a，故2103S【例2】)240(cos)120(coscos222aaa．【难度】★★【答案】23【解析】令0a，则2223cos0cos(0120)cos(0240)2．【例3】函数在区间内的图象是（）【难度】★★【答案】D【解析】利用特殊值4x代入即可，答案选D（二）特殊函数【例4】如果11122yyxx，那么下面的不等式恒成立的是（）A、0yxB、0yxC、0xyD、0yx【难度】★★【答案】B【解析】构造函数1lg2xxxfRx，易证xf是R上的奇函数且单调递增，由题中条件可得0yfxf，即0yx。【例5】已知)(xf是定义在R上的函数，且1)1(f，对任意Rx都有下列两式成立：（1）5)()5(xfxf；（2）1)()1(xfxf若xxfxg1)()(，则)6(g的值为___________【难度】★★【答案】1【解析】令xxf)(【例6】如果函数2()fxxbxc对任意实数t都有(2)(2)ftft，那么(1),(2),(4)fff的大小关系是tansintansinyxxxx3(,)22xo322yA2-xBo322y2-2xo322yC-xo322yD2-3.【难度】★★【答案】(2)(1)(4)fff【解析】由于(2)(2)ftft，故知()fx的对称轴是2x.可取特殊函数2()(2)fxx，即可求得(1)1,(2)0,(4)4fff.∴(2)(1)(4)fff.（三）特殊数列【例7】已知两个等差数列na和nb的前n项和分别为nA和nB，且3457nnBAnn，则使得nnba为整数的正整数n的个数有个。【难度】★★【答案】5【解析】因为等差数列的前n项和为二次函数且没有常数项，不妨设nnAn4572，nnBn32，代入求解可得1127nbann，满足题意的正整数n为1，2，3，5，11，共有5个。【例8】在各项均为正数的等比数列na中，若569aa，则3132310logloglogaaa（）A.12B.10C.8D.32log5【难度】★★【答案】B【解析】因为答案唯一，故取一个满足条件的特殊数列563,1aaq即可，选B．【例9】已知}{na是公差不为零的等差数列，如果nS是}{na的前n项和，那么nnnSnalim_________【难度】★★【答案】2【解析】特别取nan，有2)1(nnSn，于是有2)1(2limlim2nnnSnannnn，故应填2。（四）特殊图形【例10】已知在ABC中，10AB，6AC，O为ABC的外心，则BCAO【难度】★★【答案】32【解析】因为图形的不确定性，但能猜到题中的结果是定值，将ABC变成Rt即可。【例11】在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若a、b、c成等差数列，CACAcoscos1coscos．【难度】★★【答案】53【解析】特殊化：令5,4,3cba，则△ABC为直角三角形，0cos,53cosCA，从而所求值为53．【例12】已知,mn是直线，,,是平面，给出下列命题：①若,，则∥；②若,nn，4则∥；③若内不共线的三点到的距离都相等，则∥；④若,nm，且n∥，m∥，则∥；⑤若,mn为异面直线，n，n∥，m,m∥，则∥.则其中正确的命题是.（把你认为正确的命题序号都填上）【难度】★★【答案】②⑤【解析】依题意可取特殊模型正方体AC1（如图），在正方体AC1中逐一判断各命题，易得正确的命题是②⑤.（五）特殊猜想【例13】线段AB的长度为2，点BA、分别在x非负半轴和非负半轴上滑动，以线段为一边，在第一象限内作矩形ABCD（顺时针排序），1BC，设O为坐标原点，则ODOC的取值范围是.【难度】★★★【答案】31，【解析】由于图形的对称性效果，我们不难猜测，在BA、两点关于直线xy对称时取得最大值，在BA、两点中有一点和原点重合时取得最小值。【例14】给定两个长度为1的平面向量OAOB、夹角为120.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若()OCxOAyOBxyR，，则xy的最大值是________.【难度】★★【答案】2【解析】图形本身的特殊性。【例15】已知椭圆C：14222yx的上、下焦点分别为1F、2F，过椭圆C上一点)2,1(P作倾斜角互补的两条直线PA、PB，分别交椭圆C于A、B两点，则直线AB的斜率为.【难度】★★【答案】2【解析】易知直线AB的斜率只能由椭圆C和P的坐标确定，和圆的方式进行类比，先猜后求。【巩固训练】1．若对于任意的实数x，有3322103222xaxaxaax，则2a的值为【难度】★★【答案】6【解析】对实数x取4个具体的实数，代入已知等式中得到方程组，即可求出2a的值。2．设函数xfy是定义在R上，则函数1xfy与函数xfy1的图像关于（）ABCBxOyADBOAC5、A直线0y对称、B直线0x对称、C直线1y对称、D直线1x对称【难度】★★【答案】D【解析】令2xxf，则211xxfy，211xxfy，显然两函数关于1x对称。3．设函数fx是定义在上的奇函数，且当0x时，fx单调递减，若数列na是等差数列，且30a，则12345fafafafafa的值（）A.恒为正数B.恒为负数C.恒为0D.可正可负【难度】★★【答案】A【解析】令xxf，nan即可。4．已知一9行9列的矩阵中的元素是由互不相等的81个数组成，111219212229919299aaaaaaaaa若每行9个数与每列的9个数按表中顺序分别构成等差数列，且正中间一个数557a，则矩阵中所有元素之和为__________．【难度】★★【答案】567【解析】用正整数数列排布即可。5．若数列na为等差数列，nmSS、分别为其前nm、项和，且nm，则nmS【难度】★★【答案】nm【解析】取两组1,221SS和1,331SS观察即可得。6．△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，()OHmOAOBOC，则m的取值是．【难度】★★【答案】1【解析】特殊化处理，不妨设△ABC为直角三角形，则圆心O在斜边中点处，此时有OHOAOBOC，1m．7．已知SA，SB，SC两两所成角均为60°，则平面SAB与平面SAC所成的二面角为.【难度】★★【答案】1arccos3【解析】取SA=SB=SC，则在正四面体S－ABC中，易得平面SAB与平面SAC所成的二面角为1arccos3.8．在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足|BM→||BC→|＝|CN→||CD→|，则AM→·AN→R6的取值范围是________．【难度】★★【答案】41，【解析】取端点计算，再进行检验和比较。9．已知等差数列na的首项为1a，公差为d，前n项和为nS，数列nS也为等差数列且公差与na的公差相同，则da1【难度】★★【答案】43【解析】利用奇数数列去猜想类比即可。二、排除法（代入检验法）【例16】函数y=2x-2x的图像大致是（）【难度】★★【答案】A【解析】因为当22420,xxxx或时，所以排除B，C；212240,4xxx时，故排除D，选A【例17】如图，单位圆中AB的长度为x，()fx表示AB与弦AB所围成的弓形的面的2倍，则函数()yfx的图象是（）A．B．C．D．【难度】★★【答案】D【解析】结合直觉法逐一验证。显然，面积()fx不是弧长x的一次函数，排除A；当x从很小的值逐渐增大时，()fx的增长不会太快，排除B；只要x则必然有面积()fx，排除C，选D。事实上，直觉好的学生完全可以直接选D．【例18】给出下列三个命题：①函数与是同一函数；②若函数与的图像关于直线对称，则函数与的图像也关于直线对称；③若奇函数对定义域内任意x都有，则为周期函数。其中真命题是（）11cosln21cosxyxlntan2xyyfxygxyx2yfx12ygxyxfx(2)fxfxfx222222227A.①②B.①③C.②③D.②【难度】★★【答案】C【解析】考查相同函数、函数对称性的判断、周期性知识。考虑定义域不同，①错误；排除A、B，验证③,,又通过奇函数得，所以f（x）是周期为2的周期函数，选择C。【例19】在题设条件中的△ABC的三边a、b、c满足等式acosA+bcosB=ccosC，则此三角形必是()A.以a为斜边的直角三角形B.以b为斜边的直角三角形C.等边三角形D.其他三角形【难度】★★【答案】D【解析】题设条件中的等式是关于a、A与b、B的对称式，因此选项在A、B为等价命题都被淘汰，若选项C正确，则有111222+=，即112=，矛盾，从而C被淘汰，故选D.【巩固训练】1．将函数sin(0)yx的图象按向量(,0)6a平移以后的图象如图所示，则平移以后的图象所对应的函数解析式是（）A．sin()6yxB．sin()6yx712C．sin(2)3yxD．sin(2)3yx【难度】★【答案】C【解析】若选A或B，则周期为2，与图象所示周期不符；若选D，则与“按向量(,0)6a平移”不符，选C．此题属于容易题．2．某地一年内的气温Q（t）（℃）与时间t（月份）之间的关系如右图，已知该年的平均气温为10℃。令C（t）表示时间段[0，t]的平均气温，C（t）与t之间的函数关系如下图，则正确的应该是（）A、B、C、D、【难度】★★【答案】A【解析】由