椭圆性质总结

椭圆一.考试必“背”1椭圆的两种定义：①平面内与两定点F1，F2的距离的和等于定长212FFa的点的轨迹，即点集M={P||PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|}；（212FFa时为线段21FF，212FFa无轨迹）。其中两定点F1，F2叫焦点，定点间的距离叫焦距。②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M={P|edPF，0＜e＜1的常数。（1e为抛物线；1e为双曲线）2标准方程：（1）焦点在x轴上，中心在原点：12222byax（a＞b＞0）；焦点F1（－c，0），F2（c，0）。其中22bac（一个Rt）（2）焦点在y轴上，中心在原点：12222bxay（a＞b＞0）；焦点F1（0，－c），F2（0，c）。其中22bac注意：①在两种标准方程中，总有a＞b＞0，22bac并且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：Ax2+By2=1（A＞0，B＞0，A≠B），当A＜B时，椭圆的焦点在x轴上，A＞B时焦点在y轴上。3．参数方程：椭圆12222byax)0(ba的参数方程sincosbyax)(为参数4.性质：对于焦点在x轴上，中心在原点：12222byax（a＞b＞0）有以下性质：坐标系下的性质：①范围：|x|≤a，|y|≤b；②对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O（0，0）；③顶点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b），长轴|A1A2|=2a，短轴|B1B2|=2b；（a半长轴长，b半短轴长）；④准线方程：cax2；或cay2⑤焦半径公式：P（x0，y0）为椭圆上任一点。|PF1|=左r=a+ex0，|PF2|=右r=a-ex0；|PF1|=下r=a+ey0，|PF2|=上r=a-ey0;caPFcaPFminmax,平面几何性质：⑥离心率：e=ac（焦距与长轴长之比）1,0；e越大越______，0e是_____。⑦焦准距cbp2；准线间距ca22二、焦点三角形结论一：若1F、2F是椭圆)0(12222babyax的两个焦点，P是椭圆上一点，且21PFF，当点P位于___________时最大，cos=______________.|PF1||PF2|的最大值为______________.2tan221bSPFF结论二：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为__________。结论三：已知椭圆方程为),0(12222babyax两焦点分别为,,21FF设焦点三角形21FPF，,,1221FPFFPF则椭圆的离心率sinsin)sin(e。结论四：四心的轨迹(1)、)0(12222babyax焦点三角形内心的轨迹及其方程1)(222222cacbycx．(2)、)0(12222babyax焦点三角形重心的轨迹及其方程：)0(1992222babyax(3)、)0(12222babyax焦点三角形垂心的轨迹及其方程：2222()acxybax(4)、)0(12222babyax焦点三角形的外心的轨迹及其方程2sin2sin2bcyb（22||2bcyb）．三．中点弦问题AB是椭圆22221(0)xyabab的一条弦，中点M坐标为00(,)xy，则直线的斜率为。四．弦长问题.(1)斜率为k的直线与圆锥曲线相交于两点111(,)Pxy，222(,)Pxy，则所得的弦长或.(2)当直线的斜率不存在时，可求出交点的坐标，直接运算；(3)经过圆锥曲线的焦点的弦(也称为焦点弦)的长度问题，可利用圆锥曲线的定义，将其转化为利用，往往比利用弦长公式简单。五．X轴正半轴到椭圆的最短距离问题：已知椭圆)0(12222babyax，则点(m，O)到椭圆的最短距离为：_________________.六．过椭圆上点切线问题若000(,)Pxy在椭圆22221xyab上，则过0P的椭圆的切线方程是00221xxyyab.习题1、已知椭圆方程192522yx，椭圆上点M到该椭圆一个焦点的距离是2，N是MF1的中点，O是椭圆的中心，那么线段ON的长是（）（A）2（B）4（C）8（D）232．点P是椭圆1162522yx上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且△PF1F2的内切圆半径为1，当P在第一象限时，P点的纵坐标为_______________.3.（2009年上海卷理）已知1F、2F是椭圆1:2222byaxC（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且21PFPF.若21FPF的面积为9，则b=____________.4.（2009北京文）椭圆22192xy的焦点为12,FF，点P在椭圆上，若1||4PF，则2||PF；12FPF的大小为.4．已知椭圆191622yx的左、右焦点分别为1F、F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（）（A）59（B）3（C）779（D）495．椭圆14922yx的焦点1F、2F，点P为其上的动点，当∠1FP2F为钝角时,点P横坐标的取值范围是_______________.。6.椭圆的中心在原点，焦点在X轴上，离心率√3/2，椭圆上各点到直线l的最短距离为1，则该椭圆方程是？直线l为x-y+5＋2＝07.设点P（x，y）在椭圆19y16x22，（1）试求点P到直线05yx的距离d的最大值和最小值。(2)求x+2y的最小值8．已知椭圆2222:1(0)xyCabab＞＞的离心率为32，过右焦点F且斜率为(0)kk＞的直线与C相交于AB、两点．若3AFFB，则k（A）1（B）2（C）3（D）29.已知点P是椭圆方程x2/3+y2=1上的动点，M,N是直线L：y=x上的两个动点，且满足|MN|=t，则（1）存在实数t使△MNP为正三角形的点仅有一个（2）存在实数t使△MNP为正三角形的点仅有两个（3）存在实数t使△MNP为正三角形的点仅有三个（4）存在实数t使△MNP为正三角形的点仅有四个（5）存在实数t使△MNP为正三角形的点有无数个上述命题中正确的序号是________________.10.在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于13.(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由(探究（面积）)11.（2007四川理）设1F、2F分别是椭圆1422yx的左、右焦点.（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求1PF·2PF的最大值和最小值;（Ⅱ）设过定点)2,0(M的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围.（最值、求取值范围）12.（本小题共14分）已知椭圆的中心在原点O，焦点在x轴上，点A（)0,32是其左顶点，点C在椭圆上，且0COAC，||||COAC．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若平行于CO的直线l和椭圆交于NM,两个不同点，求CMN面积的最大值，并求此时直线l的方程．（最值）13.（2009浙江文）（本题满分15分）已知抛物线C：22(0)xpyp上一点(,4)Am到其焦点的距离为174．（I）求p与m的值；（II）设抛物线C上一点P的横坐标为(0)tt，过P的直线交C于另一点Q，交x轴于点M，过点Q作PQ的垂线交C于另一点N．若MN是C的切线，求t的最小值．SJS14．（本题满分14分）已知椭圆22221(0)xyabab的离心率为63，长轴长为23，直线:lykxm交椭圆于不同的两点A，B．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若1m，且0OAOB，求k的值（O点为坐标原点）；（Ⅲ）若坐标原点O到直线l的距离为32，求AOB面积的最大值．FT15、（13分）在直角坐标系xOy中，点M到F1(3,0)、F2(3,0)的距离之和是4，点M的轨迹C与x轴的负半轴交于点A，不过点A的直线l：ykxb与轨迹C交于不同的两点P和Q．（1）求轨迹C的方程；（2）当0APAQ时，求k与b的关系，并证明直线l过定点．（过定点）16.（12分）已知点)1,1(A是椭圆)0(12222babyax上的一点，1F,2F是椭圆的两个焦点,且满足421AFAF.(Ⅰ)求椭圆的方程及离心率;(Ⅱ)设点C,D是椭圆上的两点,直线AC,AD的倾斜角互补,试判断直线CD的斜率是否为定值?并说明理由.（定值）17.(2010年高考天津卷理科20)(本小题满分12分)已知椭圆22221xyab(a＞b＞0)的离心率32e，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设直线l与椭圆相交于不同的两点,AB．已知点A的坐标为(-a，0)，点Q(0，0y)在线段AB的垂直平分线上，且QAQB=4．求0y的值．