2013年数学高考备考二轮复习 核心考点三 第9课时 解三角形

第9课时解三角形1．(2012年广东)在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，则AC＝()2BA．43B．23C.3D.32解析：由正弦定理，得BCsinA＝ACsinB⇔32sin60°＝ACsin45°⇔AC＝23.2．(2012年上海)在△ABC中，若sin2A＋sin2Bsin2C，则)△ABC的形状是(A．锐角三角形C．钝角三角形B．直角三角形D．不能确定故选C.解析：由sin2A＋sin2Bsin2C，可知a2＋b2c2，在△ABC中，cosC＝a2＋b2－c22ab0，∴C为钝角，则△ABC为钝角三角形．C，即sinA＝.由ab，3．(2010年广东)已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sinC＝___.解析：由A＋C＝2B及A＋B＋C＝180°知，B＝60°.由正弦定理，知311sinA＝3sin60°12知AB＝60°，则A＝30°，C＝180°－A－B＝180°－30°－60°＝90°，sinC＝sin90°＝1.三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现．这类题型难度比较低，侧重考查正、余弦定理与其他知识(如三角函数、平面向量等)的综合应用，以及两个定理的实际应用等．试题一般为中低档题，客观题、解答题均有可能出现．正弦、余弦定理的应用例1：(2012年天津)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知8b＝5c，C＝2B，则cosC＝()A.725B．－725C．±725D.2425答案：A解析：∵C＝2B，∴sinC＝sin2B＝2sinBcosB，根据正弦定理，有csinC＝bsinB，∴cb＝sinCsinB＝85.∴cosB＝sinC2sinB＝12×85＝45.又cosC＝cos(2B)＝2cos2B－1，∴cosC＝2cos2B－1＝2×1625－1＝725.－，则b＝______.【配对练习】1．(2012年北京)在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB＝解析：在△ABC中，利用余弦定理，得cosB＝化简，得8c－7b＋4＝0，与b＋c＝7联立，可解得414c＝3，b＝4.a2＋c2－b22ac⇒－14＝4＋c＋bc－b4c＝4＋7c－b4c，2．(2012年四川)如图1，正方形ABCD的边长为1，延长)BA至点E，使AE＝1，连接EC，ED，则sin∠CED＝(A.31010B.1010C.510D.515图1答案：B解析：EB＝EA＋AB＝2，EC＝EB2＋BC2＝4＋1＝5，∠EDC＝∠EDA＋∠ADC＝π4＋π2＝3π4，由正弦定理，得sin∠CEDsin∠EDC＝DCCE＝15＝55，所以sin∠CED＝55·sin∠EDC＝55·sin3π4＝1010.解三角形与平面向量的整合例2：(2012年江苏)在△ABC中，已知AB→·AC→＝3BA→·BC→.(1)求证：tanB＝3tanA；(2)若cosC＝55，求A的值．，∴sinB·cosA＝3sinA·cosB.由正弦定理，得(1)证明：∵AB→·AC→＝3BA→·BC→，ACsinB＝BCsinA∴AB·AC·cosA＝3BA·BC·cosB，即AC·cosA＝3BC·cosB.又∵0A＋Bπ，∴cosA0，cosB0.∴sinBcosB＝3·sinAcosA，即tanB＝3tanA.(2)解：∵cosC＝55，0Cπ，∴sinC＝1－552＝255.∴tanC＝2.∴tan[π－(A＋B)]＝2，即tan(A＋B)＝－2.∴tanA＋tanB1－tanA·tanB＝－2.由(1)，得4tanA1－3tan2A＝－2，解得tanA＝1或tanA＝－13.∵cosA0，∴tanA＝1.∴A＝π4.由(1)，得4tanA1－3tan2A＝－2，解得tanA＝1或tanA＝－13.∵cosA0，∴tanA＝1.∴A＝π4.【思维点拨】(1)先将AB→·AC→＝3BA→·BC→表示成数量积，再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明．(2)由cosC＝55，可求tanC，由三角形三角关系，得到tan[π－(A＋B)]，从而根据两角和的正切公式和(1)的结论即可求得A的值．【配对练习】图D153．(2012年湖南)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，AB→·BC→＝1，则BC＝()A.3B.7C．22D.23A解析：由图D15知AB→·BC→＝|AB→||BC→|cos(π－B)＝2×|BC→|×(－cosB)＝1.∴cosB＝1－2BC.又由余弦定理，知cosB＝AB2＋BC2－AC22AB·BC，解得BC＝3.解三角形与三角变换的整合例3：(2012年全国)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos(A－C)＋cosB＝1，a＝2c，求C.解：∵A＋B＋C＝π,∴B＝π－(A＋C)，由正弦定理及a＝2c，可得sinA＝2sinC，∴cos(A－C)＋cosB＝cos(A－C)＋cos[π－(A＋C)]＝cos(A－C)－cos(A＋C)＝cosAcosC＋sinAsinC－cosAcosC＋sinAsinC＝2sinAsinC.【思维点拨】本试题主要考查了解三角形的运用，给出两个公式，一个是边的关系，一个角的关系，而求解的为角，因此要找到角的关系式为好．试题整体上比较稳定，思路也比较容易想，先将三角函数关系式化简后，得到角A，C的关系，然后结合a＝2c，得到两角的二元一次方程组，自然很容易得到角C的值．由cos(A－C)＋cosB＝1与sinA＝2sinC，可得2sinAsinC＝1⇒4sin2C＝1，而C为三角形的内角且a＝2cc，故0Cπ2，∴sinC＝12，故C＝π6.【配对练习】4．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA＝35，cosB＝513，b＝3，则c＝________.145解析：因为cosA＝35，cosB＝513，所以sinA＝45，sinB＝1213，sinC＝sin(A＋B)＝45×513＋1213×35＝5665，根据正弦定理bsinB＝csinC，得31213＝c5665，解得c＝145.1．能够使用以下公式或定理解决三角形问题．(1)三角形内角和定理A＋B＋C＝π.(2)正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R.(3)余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC或cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.(3)余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC或cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.(4)三角形面积公式S△ABC＝12bcsinA＝12acsinB＝12absinC.2．会解四种基本类型斜三角形问题．(1)已知两角和任一边，求其余两边和一角．(2)已知两边及一边的对角，求其余两角和一边．(3)已知两边及其夹角，求第三边和其余两角．(4)已知三边，求三角．3．特别提醒：解四种基本类型斜三角形问题时，已知两边及一边的对角，求其余两角和一边时，可能无解或一解或两解，其他三种情形答案都唯一，不要死记结论，有矛盾则舍，没有矛盾则留，找矛盾要依据“三角形内角和为180°”或“大边对大角”．