高中数学专题训练(五)——三个二次问题

1高中数学专题训练——三个二次问题（二次函数、不等式、方程）1.解关于x的不等式：(1)x2－(a＋1)x＋a＜0，(2)0222mxx．2设集合A={x|x2＋3k2≥2k(2x－1)}，B={x|x2－(2x－1)k＋k2≥0}，且AB，试求k的取值范围．3．不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1＜0的解集为R，求实数m的取值范围．4．已知二次函数y＝x2＋px＋q，当y＜0时，有－21＜x＜31，解关于x的不等式qx2＋px＋1＞0．25．若不等式012pqxxp的解集为42|xx，求实数p与q的值．6.设fxaxbxca20，若f01，f11，f－11,试证明：对于任意11x，有fx54.7.（经典题型，非常值得训练）设二次函数02acbxaxxf，方程fxx0的两个根xx12,满足axx1021.当1,0xx时，证明1xxfx.8.已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围.(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.39.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=－bx，其中a、b、c满足abc,a+b+c=0,(a,b,c∈R).(1)求证：两函数的图象交于不同的两点A、B；(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围.10.已知实数t满足关系式33loglogayataa(a0且a≠1)(1)令t=ax,求y=f(x)的表达式；(2)若x∈(0,2]时，y有最小值8，求a和x的值.11.如果二次函数y=mx2+(m－3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m的取值范围.12.二次函数f(x)=px2+qx+r中实数p、q、r满足mrmqmp12=0,其中m0,求证：(1)pf(1mm)0;(2)方程f(x)=0在(0，1)内恒有解.413.一个小服装厂生产某种风衣，月销售量x(件)与售价P(元/件)之间的关系为P=160－2x,生产x件的成本R=500+30x元.(1)该厂的月产量多大时，月获得的利润不少于1300元？(2)当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？14.已知a、b、c是实数，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，g(x)＝ax＋b，当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1．(1)证明：|c|≤1；(2)证明：当－1≤x≤1时，|g(x)|≤2；15.设二次函数fxaxbxca20，方程fxx0的两个根xx12,满足0112xxa.且函数fx的图像关于直线xx0对称，证明：xx012.516.已知二次函数)0,,(1)(2aRbabxaxxf，设方程xxf)(的两个实数根为1x和2x.（1）如果4221xx，设函数)(xf的对称轴为0xx，求证：10x；（2）如果21x，212xx，求b的取值范围.17.设0232cba.cbxax)x(f若,00)(f，01)(f,求证：(Ⅰ)a＞0且－2＜ba＜－1；(Ⅱ)方程0)x(f在（0，1）内有两个实根.618.已知二次函数的图象如图所示：（1）试判断及的符号；（2）若|OA|＝|OB|，试证明。19.为何值时，关于的方程的两根：（1）为正数根；（2）为异号根且负根绝对值大于正根；（3）都大于1；（4）一根大于2，一根小于2；（5）两根在0，2之间。720.证明关于的不等式与，当为任意实数时，至少有一个桓成立。21.已知关于的方程两根为，试求的极值。22.若不等式2282001xxmxmx对一切x恒成立，求实数m的范围.23.设不等式ax2+bx+c0的解集是{x|axβ}(0aβ),求不等式cx2+bx+a0的解集.8答案：1.解：(1)原不等式可化为：,0)1)((xax若a＞1时，解为1＜x＜a，若a＞1时，解为a＜x＜1，若a=1时，解为(2)△=162m．①当时或即440162mmm，△＞0．方程0222mxx有二实数根：.416,4162221mmxmmx∴原不等式的解集为.416416|22mmxmmxx或①当m=±4时，△=0，两根为.421mxx若,4m则其根为－1，∴原不等式的解集为1,|xRxx且．若,4m则其根为1，∴原不等式的解集为1,|xRxx且．②当－4＜4m时，方程无实数根．∴原不等式的解集为R．2．解：}0)]1()][13([|{kxkxxA，比较,1,13的大小kk因为),1(2)1()13(kkk(1)当k＞1时，3k－1＞k＋1，A={x|x≥3k－1或x1k}.(2)当k=1时，xR.(3)当k＜1时，3k－1＜k＋1，A=131|kxkxx或.B中的不等式不能分解因式，故考虑判断式kkkk4)(4422，(1)当k=0时，Rx,0.(2)当k＞0时，△＜0，xR.(3)当k＜0时，kkxkkx或,0.故：当0k时，由B=R，显然有AB，当k＜0时，为使AB，需要kkkkkk113k1，于是k1时，BA.综上所述，k的取值范围是：.010kk或93..解：(１)当m2－2m－3＝0，即m＝3或m＝－1时，①若m＝3，原不等式解集为R②若m＝－1，原不等式化为4x－1＜0∴原不等式解集为｛x｜x＜41＝，不合题设条件.(２)若m2－2m－3≠0，依题意有0)32(4)3(032222mmmmm即35131mm∴－51＜m＜3综上，当－51＜m≤3时，不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1＜0的解集为R.4..解：由已知得x1＝－21，x2＝31是方程x2＋px＋q=0的根，∴－p=－21＋31q=－21×31∴p＝61，q＝－61，∴不等式qx2＋px＋1＞0即－61x2＋61x＋1＞0∴x2－x－6＜0，∴－2＜x＜3.即不等式qx2＋px＋1＞0的解集为｛x｜－2＜x＜3｝.5.．解：由不等式012pqxxp的解集为42|xx，得2和4是方程012pqxxp的两个实数根，且01p．(如图).04242012pppqP解得.223,22qP6.解：∵cfcbafcbaf0,1,1,∴0)),1()1((21),0211(21fcffbfffa,∴222102121xfxxfxxfxf.∴当01x时，yxo2410222222222221101221(1)22221551().244xxxxfxfffxxxxxxxxxxxxxx当10x时，222102121xfxxfxxfxf2222221(1)2222xxxxxxxxxx221551().244xxx7.证明：由题意可知))(()(21xxxxaxxf.axxx1021,∴0))((21xxxxa,∴当xx01,时，xxf)(.又)1)(())(()(211211axaxxxxxxxxxaxxf,,011,0221axaxaxxx且∴1)(xxf,综上可知，所给问题获证.8.解：(1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得65,21,21056)2(,024)1(,02)1(,012)0(mmRmmmfmffmf∴2165m.(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组10,0,0)1(,0)0(mff11.01,2121,21,21mmmmm或(这里0－m1是因为对称轴x=－m应在区间(0，1)内通过)9.(1)证明：由bxycbxaxy2消去y得ax2+2bx+c=0Δ=4b2－4ac=4(－a－c)2－4ac=4(a2+ac+c2)=4［(a+43)22cc2］∵a+b+c=0,abc,∴a0,c0∴43c20,∴Δ0,即两函数的图象交于不同的两点.(2)解：设方程ax2+bx+c=0的两根为x1和x2,则x1+x2=－ab2,x1x2=ac.|A1B1|2=(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2]43)21[(4]1)[(44)(4444)2(2222222acacacaaccaaacbacab∵abc,a+b+c=0,a0,c0∴a－a－cc,解得ac∈(－2,－21)∵]1)[(4)(2acacacf的对称轴方程是21ac.ac∈(－2,－21)时，为减函数∴|A1B1|2∈(3,12),故|A1B1|∈(32,3).10..解：(1）由loga33logayatt得logat－3=logty－3logta由t=ax知x=logat，代入上式得x－3=xxya3log,∴logay=x2－3x+3，即y=a332xx(x≠0).(2)令u=x2－3x+3=(x－23)2+43(x≠0),则y=au①若0＜a＜1,要使y=au有最小值8，则u=(x－23)2+43在(0，2]上应有最大值，但u在(0，2]上不存在最大值.12②若a1,要使y=au有最小值8，则u=(x－23)2+43,x∈(0,2]应有最小值∴当x=23时，umin=43,ymin=43a由43a=8得a=16.∴所求a=16,x=23.11.解：∵f(0)=10(1)当m＜0时，二次函数图象与x轴有两个交点且分别在y轴两侧，符合题意.(2）当m0时，则030mm解得0＜m≤1综上所述，m的取值范围是{m|m≤1且m≠0}.12.证明：(1)])1()1([)1(2rmmqmmppmmpf])2()1()1()2([]2)1([]1)1([22222mmmmmmpmpmpmpmmrmqmpmpm)2()1(122mmpm,由于f(x)是二次函数，故p≠0,又m0,所以，pf(1mm)＜0.(2)由题意，得f(0)=r,f(1)=p+q+r①当p＜0时，由(1）知f(1mm)＜0若r0,则f(0)0,又f(1mm)＜0,所以f(x)=0在(0，1mm)内有解;若r≤0,则f(1)=p+q+r=p+(m+1)=(－mrmp2)+r=mrmp20,又f(1mm)＜0,所以f(x)=0在(1mm,1)内有解.②当p＜0时同理可证.13..解：(1）设该厂的月获利为y,依题意得y=(160－2x)x－(500+30x)=－2x2+130x－500由y≥1300知－2x2+130x－500≥1300∴x2－65x+900≤0，∴(x－20)(x－45)≤0，解得20≤x≤45∴当月产量在20~45件之间时，月获利不少于1300元.13(2）由(1）知y=－2x2+130x－500=－2(x－265)2