流体力学第9章

1流体力学暖通教研室二00二年十一月主讲：周传辉2第九章一元气体动力学基础§9－1理想气体一元恒定流动的运动方程§9－2音速、滞止参数、马赫数§9－3气体一元恒定流动的连续性方程§9－4等温管路中的流动§9－5绝热管路中的流动3§9－1理想气体一元恒定流动的运动方程从微元流束中沿轴线s任取ds一段，应用理想流体欧拉运动微分方程，单位质量力s方向分力以S表示，由牛顿第二定律得：dtdssvtvdtdvSPSsss1对于恒定一元流动0;;tvdsdvsvdSdPSPsss对气体而言,它的容重一般都很小,因此当质量力仅为重力时,往往可以忽略质量力去掉角标，可以写成：01dsdvvdsdp即：0vdvdp整理得：0)2(2vddp欧拉运动微分方程4§9－1理想气体一元恒定流动的运动方程一、气体一元定容流动constvp22constgvp22在元流中任取两个断面，有：22222211vpvp二、气体一元等温流动cRTpconstvpc2ln2再把c＝RT代入，有2ln2ln2ln2222112vpRTvpRTconstvpRTRTc0)2(2vddp0)2(2vddp5§9－1理想气体一元恒定流动的运动方程三、气体一元绝热流动等熵流动就是理想气体的绝热流动满足:cpkk为绝热指数kkkcPcP111)(因此：pkkpckkdpPcdpkkkk1111111代入欧拉运动微分方程，得：)(212aconstvpkk对任意两个断面：212122222111vpkkvpkk0)2(2vddp6§9－1理想气体一元恒定流动的运动方程把（a）式作一个变化constvppk2112pk11单位质量气体所具有的内能u。证明：从热力学第一定律可知，对于理想气体，有：TCuv又由：RpT以及vpvpCCkCCR代入上式可得pkpCCCCCCpCCCCCpCTCuvvvpvvvpvvpvv11)(constvpu22该式表明：在等熵流动中，沿流任意断面上，单位质量气体的内能、压能、动能之和为一常数。7§9－1理想气体一元恒定流动的运动方程在热力学中，pui为焓，用焓表示的全能方程为：constvi22把焓与定压比热的关系代入，得：2222222211222211vTCvTCvivipp在热力学中绝热指数取决于气体的分子结构，一般计算时可以用：空气，k＝1.4，干饱和蒸气，k＝1.135，过热蒸气，k＝1.33。constvpnn212对任意两个断面：212122222111vpnnvpnnn为多变指数，包含:等温（n＝1）、绝热（n＝k）和定容（n＝±∞）的过程。(h=u+pv)对于多变过程：8§9－1理想气体一元恒定流动的运动方程212122222111vpnnvpnn多变过程212122222111vpkkvpkk等熵流动22222211vpvp定容流动2ln2ln222211vpRTvpRT等温流动9§9－2音速、滞止参数、马赫数一、音速（SpeedofSound）音速：微小扰动在流体中的传播速度。也就是声音在流体中的传播速度。流体中的某个地方受到外力的作用使其压力发生变化，我们称为压力扰动，压力扰动会产生压力波，向四周传播，这个压力波的传播速度，对不同的流体是不同的，即流体的性质不同，密度、压缩性等不同，传播速度也就不同。比如：在15℃，1atm下的音速氢气：1294m/s空气：340m/sCO2：266m/s水：1490m/s钢：5060m/s冰：3200m/s推导音速的计算式：取一段带有活塞的等截面直圆管，里面充满静止的可压缩气体，活塞在外力的作用下，产生一个微小的速度dv向右移动，这样就产生一个微小扰动的平面压缩波向介质内部传播。声速动画10§9－2音速、滞止参数、马赫数在波峰的前面是没有被扰动的流体（即静止状态），波峰后面是被扰动的流体，它的压强、密度都要发生变化，由于被压缩,因此变为：p＋dp，ρ＋dρ。把坐标系固定在波峰上，取一个包含波峰的控制体，并且这个控制体的两个侧面无限接近，使控制体的体积趋于0。气体的压缩波的厚度，在大气压下约为10-6m的量级，所以这样取控制体是合理的。设管道截面积为A，对控制体写出连续性方程，展开略去二阶小量。得；cdvdAddvcAc))((对控制体列动量方程，由于控制体的体积趋近于0，质量力为0，且可忽略切应力的作用，考虑质量流量守恒，有：cdvdpcdvccAAdpppA])[()(dvdvcc-dvcp+dppp+dpp11§9－2音速、滞止参数、马赫数同连续性方程联立，消掉dv，得音速方程为：ddpcddpc2这就是微小扰动的平面波－音速计算公式，同样适用于球面波。也适用于液体。弹性模量和压缩系数的关系：ddpE1代入上式，得：EccE21由于声音的传播速度很快，在传播过程中来不及与外界进行热量交换，而且切应力的作用可以忽略，即无能量损失，所以可以认为这个传播过程是等熵绝热过程pkkpkcddpdkcdpcpkkkkk111kRTpkddp代入音速的微分式，得：kRTpkddpc12§9－2音速、滞止参数、马赫数二、滞止参数（StagnationProperties）滞止即为停止，因此，滞止参数是在气流的某截面处，设想其速度无摩擦绝热地降为0时，这个截面上的各种参数我们称为滞止参数，一般用下标0表示。常用的有：滞止压强、密度、温度、焓、音速。221121012020200viivRTkkRTkkvpkkpkk00kRTC称为滞止音速。2112220vkCkC在实际工程上，为了分析和计算流动问题方便起见，常使用滞止参数这个概念，而且由于它比较容易测量，所以滞止参数得到广泛的应用。用温度计测气流的温度，有没有误差，如果有是偏大还是偏小？13在滞止状态下气流的动能全部转变为热能，可以用滞止焓表示之，它表示单位质量的气流所具有的总能量，称为总焓。有：上式表明，滞止温度要比气流的温度T高出，对于Cp=1005J/（kg·K）的空气，则高出022TcVTp00TchppcV22201020VTTT例如速度为100m/s的空气流，滞止温度超过气流的温度约5K，也即约5℃。可见，将一个带小玻璃球的普通水银温度计或热电偶温度计放在气流中来测量气流的温度，读出的温度比气流的温度T要高。但小玻璃球上驻点处的温度虽达到滞止温度，但其上的其他各点的温度升高要小一些，所以普通水银温度计上读出的平均温度比滞止温度稍低一些。因此用任何静止温度计都不能直接测得气流的真实温度了，只有用与气流同样速度运动的温度计才能直接测得。14§9－2音速、滞止参数、马赫数结论：在有摩擦的绝热气流中，各断面的滞止温度、滞止焓、滞止音速值不变，表示总能量不变，但因为摩阻消耗掉的一部分能量转化为热能，使滞止压强P0沿程降低。在有摩擦的等温气流中，由于气流与外界不断交换热量，使滞止温度T0沿程变化。a.等熵流动中，各断面滞止参数不变，其中T0、i0、c0反映了包括热能在内的气流全部能量。b.等熵流动中，若流速沿程增大，则气流温度、焓、音速沿程降低。c.同一气流中当地音速c永远小于滞止音速。气流中最大音速是滞止音速。15§9－2音速、滞止参数、马赫数三、马赫数（Machnumber）气流截面上的当地速度与当地音速之比是马赫数。马赫数反映的是气体流动过程中的压缩性能，马赫数越大、压缩性越大。马赫数是气体动力学中一个很重要得无因次性能参数，它反映的是惯性力与弹性力的相对比值，是确定气体流动状态的准数。M1,vc，超音速M=1,v=c，音速（跨音速）M1,vc，亚音速由21120vRTkkRTkk作一变形可得：22220211211211MkcvkkRTvkTT利用绝热过程方程式以及气体状态方程可以得到：2122100112110012100)211()()211()()211()(MkTTccMkTTMkTTppkkkkkkcvM16微弱扰动波在超声速气流中的传播是有界的，界限就是马赫锥（超音速飞机、子弹等）17§9－2音速、滞止参数、马赫数四、气流按不可压缩处理的极限可压和不可压两种情况下的滞止压强，当相对误差小于1%时，M等于多少？可压缩：12100)211()(kkkkMkTTpp不可压缩：22'0vpp把第一式按二项式定理展开，取前三项，有420821MkMkpp又因为kpvMkpvcvM222代入上式，得：4222220Mvvpp二项式展开:32!3)2)(1(!2)1(1)1(xmmmxmmmxxm18§9－2音速、滞止参数、马赫数如果令为绝对误差，则0'00ppp42220Mvp称为相对误差，则当相对误差小于1％时，有：2.001.042MM即：当M0.2时，可以保证相对误差小于1％，工程上一般认为M≤0.2时可以忽略气体的压缩性。2/20vp作业：9-12；9-1719§9－3气体一元恒定流动的连续性方程一、连续性微分方程(EquationofContinuity)可压缩流的连续性方程：ρvA＝常数对管流任意两断面：222111AvAv如果我们对连续性方程取微分：AdvvAdvdAvAd)(得：0AdAdvdv同0vdvdp联立，消去ρ，再用cvMddpc,2整理，得：vdvMAdA)1(2vdvdp20§9－3气体一元恒定流动的连续性方程二、气流速度与断面的关系（1）亚音速时：dv与dA成反比，速度随断面的增大而减小；随断面的减小而增大。同不可压缩流动的一样。（2）超音速时：dv与dA成正比，速度随断面的增大而增大；随断面的减小而减小。同不可压缩流动的不一样。为什么超音速流动的运动规律同亚音速的不同呢？从可压缩流体在两种流动中的膨胀程度与速度变化之间的关系来说明由0vdvdpddpc2cvM代入可得：vdvMd2表明速度增加，密度减小。vdvMAdA)1(221§9－3气体一元恒定流动的连续性方程当M1时，M2远远小于1，即密度的变化远远小于速度的变化，速度增加的快，密度减小的慢，气体的膨胀程度不显著。因此ρv的乘积随v的增大而增加。若速度增加，则ρv增加，由连续性方程可知ρ1v1A1＝ρ2v2A2，A1A2.当M1时，M2远远大于1，即密度的变化远远大于速度的变化，速度增加的较慢，密度减小的很快，气体的膨胀程度非常显著。说明密度的相对变化的特征，在亚音速与超音速流动中的存在根本差别。因此ρv的乘积随v的增大而减小。若速度增加，则ρv减小，由连续性方程可知ρ1v1A1＝ρ2v2A2，A1A2，即超音速气流中速度随断面的增大而增大。当M＝1时，气流的速度等于当地音速，这时的气体处于临界状态。气体达到临界状态的断面，称为临界断面。临界断面的参数称为临界参数，用下脚标“k”表示包括：vk,ck,pk,Tk,ρk.临界断面的M＝1，密度的相对变化与速度的相对变化相等，断面不需要变化。vdvMd222§9－3气体一元恒定流动的运动方程流向面积(A)流速(v)压力(p)密度(ρ)单位面积质量流量(ρv)亚音速流M1增大减小增大增大减小减小增大减小减小增大超音速流M1增大增大减小减小减小减小减小增大增大增大23§9－4