高中数学立体几何向量法归纳

向量方法部分[e-mail]学海无涯空间向量空间向量的运算空间向量基本定理空间向量的坐标运算加减和数乘运算共线向量共面向量空间向量的数量积知识结构夹角和距离平行和垂直[e-mail]学海无涯1、空间直角坐标系以单位正方体的顶点O为原点，分别以射线OA，OC，的方向为正方向，以线段OA，OC，的长为单位长，建立三条数轴：x轴,y轴,z轴,这时我们建立了一个空间直角坐标系CBADOABCxyzODODOC'D'B'A'COAByzxO为坐标原点，x轴,y轴,z轴叫坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面一、基本概念[e-mail]学海无涯xo右手直角坐标系yz空间直角坐标系—Oxyz横轴纵轴竖轴[e-mail]学海无涯2、空间直角坐标系中点的坐标有序实数组（x,y,z）叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M（x,y,z）其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖坐标点M（X，Y，Z）[e-mail]学海无涯如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面α,称这个向量垂直于平面α,记作n⊥α,这时向量n叫做平面α的法向量.4、平面的法向量nα//若,则称是直线的方向向量alal3、直线的方向向量[e-mail]学海无涯1、假设平面法向量的坐标为n=(x,y,z).2、根据n·a=0且n·b=0可列出方程组11122200xxyyzzxxyyzz3、取某一个变量为常数(当然取得越简单越好),便得到平面法向量n的坐标.anb5、平面法向量的求法设a=(x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,则n⊥α.换句话说,若n·a=0且n·b=0,则n⊥α.可按如下步骤求出平面的法向量的坐标[e-mail]学海无涯例、已知A(2,1,1),B(-2,7,0),C(6,4,-1).求平面ABC的法向量(4,6,1),(4,3,2)ABAC4604320xyzxyz解：平面ABC的法向量为:(3,4,12)n得43zxzy得12z令(3,4,12)ABCn平面的法向量(,,)nxyz[e-mail]学海无涯例、在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz（如图），则O（1，1，0），A1（0，0，2），D1（0，2，2），设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z),由=（-1，-1，2），=（-1，1，2）得1OA1OD2020xyzxyz20xzy解得取z=1得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1)[e-mail]学海无涯5、两法向量所成的角与二面角的关系l1n2nl1n2n设n1、n2分别是二面角两个半平面α、β的法向量，由几何知识可知，二面角α-L-β的大小与法向量n1、n2夹角相等或互补，于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角[e-mail]学海无涯二、基本公式：1、两点间的距离公式（线段的长度）222212121ABABxxyyzz2、向量的长度公式（向量的模）2222aaxyz[e-mail]学海无涯121212abxxyyzz3、向量的坐标运算公式111222(,,)(,,)axyzbxyz若那么121212(,,)abxxyyzz111(,,)axyz[e-mail]学海无涯121212||,,()abxxyyzzR111222||xyzabxyz4、两个向量平行的条件5、两个向量垂直的条件1212120abxxyyzz或[e-mail]学海无涯123123123333xxxxyyyyzzzz7、重心坐标公式6、中点坐标公式121212222xxxyyyzzz[e-mail]学海无涯9、直线与平面所成角公式||sin||||PMnPMn(PMlMn为的法向量)8、直线与直线所成角公式||cos||||ABCDABCD10、平面与平面所成角公式1212cos||||nnnn(为二面角两个半平面的法向量）[e-mail]学海无涯11、点到平面的距离公式||||PMndn（PM为平面的斜线,为平面的法向量）n12、异面直线的距离公式||||ABndn（A,B为异面直线上两点,为公垂线的方向向量）[e-mail]学海无涯利用向量求角直线与直线所成的角直线与平面所成的角平面与平面所成的角（二面角）利用向量求距离点到直线的距离点到平面的距离直线到平面的距离平行到平面的距离直线到直线的距离三、基本应用[e-mail]学海无涯利用向量证平行利用向量证垂直直线与直线垂直直线与平面垂直平面与平面垂直直线与直线平行直线与平面平行平面与平面平行[e-mail]学海无涯设直线,lm的方向向量分别为,ab，平面l∥ma∥bab；线面平行∥u∥vuv.线线平行l∥au0au；面面平行,的法向量分别为,uv，则四、基本方法1、平行问题[e-mail]学海无涯,的法向量分别为,uv，则设直线,lm的方向向量分别为,ab，平面线线垂直线面垂直⊥u⊥v.0vul⊥ma⊥b0ab；l⊥a∥uau；面面垂直２、垂直问题[e-mail]学海无涯设直线,lm的方向向量分别为,ab，平面,①两直线l,m所成的角为(02≤≤),cosabab；②直线l与平面所成的角为(02≤≤),sinauau；③平面与平面所成的角为(0≤≤),uvuvcos.的法向量分别为,uv，则３、角度问题[e-mail]学海无涯４、距离问题（１）点到点的距离、点到平面的距离、直线到直线的距离直接用公式求解。（２）点到直线的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离转化为点到平面的距离求解。[e-mail]学海无涯例：090,RtABCBCAABC中，现将沿着111ABCABC平面的法向量平移到位置，已知1111111，取、的中点、，BCCACCABACDF11BDAF求与所成的角的余弦值.CA1AB1B1C1D1F题型一：线线角五、典型例题[e-mail]学海无涯A1AB1BC1C1D1Fxyz所以：题型一：线线角A1AB1B1C1D1F(1,0,0),(0,1,0),AB解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，不妨设则11CCCxyzC11111(,0,1),(,,1)222FD)1,21,21(,)1,0,21(11DBFA1111||3010||||AFBDAFBD11cos,AFBD||所以与所成角的余弦值为[e-mail]学海无涯'''''',''例.在三棱柱中，底面是正三角形，底面，求证：ABCABCAAABCACABBCAB.2,,(3,0,0),(0,1,0),(0,1,0).'(3,0,),'(0,1,),'(0,1,).解.建立如图空间坐标系不妨设底面边长为高为hABCAhBhChA'B'CBC'A),2,0('),,1,3('),,1,3('hBChCAhAB2220''31,2.''020.''ABAChhABBChBCAB题型二：线线垂直[e-mail]学海无涯ABDCA1B1D1C1例.在正方体AC1中，E为DD1的中点，求证：DB1//面A1C1EEF题型四：线面平行)1,0,0(),2,2,0(),2,0,2(.2,11ECAADxyzD则设证明：如图建立坐标系xyz1111(2,2,0),(2,0,1),(1,1,1).ACAEDB则的法向量设平面),,,(11zyxnCEA00111nEAnCA02022zxyx即)2,1,1(n解得,,021111nBDnBD.//111ECADB平面[e-mail]学海无涯:''''','.例在正方体中.E,F分别是的中点.求证：平面ABCDABCDCCBDAFBDEFEXYZ,,''DADCDDxyzA证明:如图取分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2.A(2,0,0),B(2,2,0),(2,0,2)E(0,2,1),F(1,1,0)'(1,1,2),(2,2,0),(0,2,1)'(1,1,2)(2,2,0)0'(1,1,2)(0,2,1)0',',.'AFDBDEAFDBAFDEAFDBAFDEDBDEDAFBDE又平面题型五：线面垂直或先求平面BDE的法向量再证明'[e-mail]学海无涯题型六：面面角ABCDS090,,11,,2例、已知，是一直角梯形，平面求面与面所成的二面角的余弦值。ABCDABCSAABCDSAABBCADSCDSBA解：建立直角坐系A-xyz如所示,),0,21,0(DA(0,0,0),C(-1,1,0),(0,0,1)S)1,21,0(),0,21,1(DSDC),0,21,0(1DAnSBA的法向量易知，面2(,,),SCDnxyz的法向量22,,nCDnSD由得：设平面0202zyyx)1,2,1(2n解得：,36||||,cos212121nnnnnn63即所求二面角的余弦值是。[e-mail]学海无涯11111111111111:,,(1,0,0),(1,1,0),(0,0,1),(0,0,1)(1,0,1),(1,0,1)||.||||.||.||111111证明如图分别以、、三边所在的直线为轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则则AA即直线AC，则A平面同理可证：A平面平面ADADCDDxyzABCDDBCDBCDBDCBDBCBDBD11.平面CBDXYZ1CABCD1D1B1A例：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：面A1BD∥面CB1D1题型七：面面平行或先求两平面的法向量再证明12,,nn12,[e-mail]学海无涯例、在正方体AC1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：面AED⊥面A1FD1ABCDA1B1C1D1EFXYZ题型八：面面垂直11:(0,0,0),(2,0,0),(2,2,1),(0,0,2),(0,1,0)(0,2,1),(2,0,0)(0,1,2)0,0,111111证明如图直角坐标系.设正方体的棱长为2,则则AEDFAEDFDFAEDFDFDF平面平面平面DAEDFDADADAAEDAFDAED或证明两平面的法向量垂直[e-mail]学海无涯ABC1A1C1BNMzxy练习111111111111902(1)(2)cos,(3