第十八章四边形章节复习辅导讲义

第十八章、四边形章节复习辅导讲义一、四边形知识框架：1.四边形的知识结构2.平行四边形的知识结构二、四边形1.定义：有不在同一直线上的四条首尾依次连接的线段构成的封闭图形。2.四边形的表示：四边形一般由依次的四个大写的字母表示，如四边形ABCD等。3.四边形的分类：（1）按照四边形的凹凸性将四边形分为凸四边形和凹四边形。注意：中学阶段学习的四边形都是凸四边形。（2）按照四边形对边的平行性将四边形分为：①一般四边形：任何对边都不平行的四边形。②梯形：只有一组对边平行的四边形；A.梯形分类：a．一般的梯形b．等腰梯形：一组对边平行，另一组对边相等的四边形。c.直角梯形：有一个内角为直角的梯形。（3）平行四边形：两组对边分别平行的四边形。①平行四边形的分类：A.一般的平行四边形B.矩形（长方形）：有一个较为直角的平行四边形。C.菱形：邻边相等的平行四边形。四边形四边形四边形平行四边形平行四边形矩形矩形菱形菱形梯形梯形一角为90°一角为90°一组邻边相等一组邻边相等正方形正方形两组对边平行两组对边平行只有一组对边平行只有一组对边平行一角为直角且一组邻边相等一角为直角且一组邻边相等邻边相等邻边相等一角为90°一角为90°等腰梯形两腰相等平行四边形矩形菱形正方形平行四边形矩形菱形正方形1250°12ABCDBFCAHDEGD.正方形：四条边都相等，四个内角也相等的四边形。4.四边形的内角和与外角和：（1）四边形的内角和为360度（2）四边形的外角和为360度。5.四边形的性质：依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形【基础练习】1.顺次连接一个任意四边形四边的中点，得到一个_______四边形．2．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得四边形是_________．3.如图1，已知：在ABCD中，AB=4cm，AD=7cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF=______cm．4.如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，AC为正方形ABCD的对角线，则∠EAC＝___度．5.四边形ABCD的对角线ACBD，的长分别为mn，，可以证明当ACBD时（如图1），四边形ABCD的面积12Smn，那么当ACBD，所夹的锐角为时（如图2），四边形ABCD的面积S．（用含mn，，的式子表示）6.在如图所示的四边形中，若去掉一个50的角得到一个五边形，则12∠∠度．7.如图，已知AC平分BAD，12，3ABDC，则BC．8.已知四边形ABCD中，90ABC，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是____________．三、平行四边形（一）平行四边形：1.定义：两组对边分别平行的四边形。2.平行四边形的性质：（1）平行四边形的对边相等。（2）平行四边形的两组对边分别平行。（3）平行四边形的对角相等。（4）夹在两条平行线之间的平行线段相等（两组对边分别相等）。（5）平行四边形的两条对角线互相平分。（6）平行四边形的邻角互补。（7）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。（8）平行四边形的对角线的平方和等于四边的平方和。3.平行四边形的判定：（1）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。（3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。（4）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。（6）一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形。4.平行四边形的面积公式：S平行四边形=ah.（其中，a为平行四边形的边，h为a上的高）5.平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形。【基础练习】1.5．如图4，如果平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，那么图中的全等三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对2.平行四边形的周长为28，两邻边的比为4：3，则较短的一条边的长为_______．3.平行四边形的两条对角线把它分成的全等三角形的对数是Ａ．2对Ｂ．4对Ｃ．6对Ｄ．8对4.两条邻边分别是15cm和20cm的平行四边形最大面积是cm2A．75cm2B．150cm2C．200cm2D．300cm25.已知：在□ABCD中，AB=4cm，AD=7cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF=cm．6.已知：如图，E、F在ABCD的对角线BD上，BF＝DE，求证：四边形AECF是平行四边形．FBECAD（二）矩形：1.定义：有一个较为直角的的平行四边形。2.说明：因为矩形是特殊的平行四边形，所以矩形具有平行四边形的所有性质，在判断一个四边形是矩形一般先判断这个四边形是平行四边形。当然，矩形也有自身的判定定理。3.矩形的性质：（1）四边形和平行四边形的所有性质。（2）矩形的四个角都是直角。（3）矩形的对角线相等。（4）矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等、（5）连结矩形四边的中点组成的四边形是菱形。（6）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形；（其中对称中心是两对角线的交点，对称轴有两条，分别是两组对边的中点连线所在的直线。）4.矩形的判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有三个角是直角的四边形是矩形；（4）四个内角都相等的四边形为矩形；（5）对角线互相平分且相等的四边形是矩形（6）对角线互相平分且有一个内角是直角的四边形是矩形（以下是延伸判定）（7）关于任何一组对边中点的连线成轴对称图形的平行四边形是矩形（8）对于平行四边形，若存在一点到两双对顶点的距离的平方和相等，则此平行四边形为矩形.5.矩形的面积公式：S矩形=ab（其中a表示长、b表示宽）【基础练习】1.顺闪连接矩形各边中点所得的四边形是（）A．等腰梯形B．正方形C．菱形D．矩形2.如图2，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB与AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个最大的正方形，他判定方法是_______．4.矩形ABCD中，AB＝2BC，点E在CD上，且AE＝AB，那么∠EBC的度数为A．10°B．15°C．22.5°D．30°5.矩形ABCD中AB＞BC，E是AB的中点，F是CE的中点，且△ABF的面积为10cm2，则四边形AFCD的面积为A．20B．25C．30D．35BFCAHDEG6.如图，将矩形纸ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝3cm，EF＝4cm，则边AD的长是___________cm.7.如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B、∠D，使BC、AD恰好落在AC上．设F、H分别是B、D落在AC上的两点，E、G分别是折痕CE、AG与AB、CD的交点．（１）求证：四边形AECG是平行四边形；（２）若AB＝4cm，BC＝3cm，求线段EF的长．（三）菱形：1.定义：邻边相等的平行四边形。2.说明：因为菱形是特殊的平行四边形，所以菱形具有平行四边形的所有性质，在判断一个四边形是菱形一般先判断这个四边形是平行四边形。当然，菱形也有自身的判定定理。3.菱形的性质：（1）具有四边形和平行四边形的所有性质；（2）对角线互相垂直且平分（3）四条边都相等（4）每条对角线平分一组对角（5）在有一个内角为60°的菱形中，短对角线等于边长，长对角线是短对角线的√3倍。（6）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形（其中，对称中心是对角线的交点；对称轴有两条，分别是两对角线所在的直线）。（7）连结菱形各边的中点组成的图形是矩形。4.菱形的判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）四边相等的四边形是菱形（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形（4）对角线互相垂直且平分的四边形是菱形（以下是菱形的延伸判定）（5）关于两条对角线都成轴对称的四边形是菱形（6）菱形的中点四边形是矩形（7）对角线相等的四边形的中点四边形为菱形5.菱形的面积公式：S菱形=21ab=ch.（a、b为菱形的对角线,c为菱形的边长，h为c边上的高）注意：菱形的面积等于对角线乘积的一半。【基础练习】1.符合下列条件的四边形不一定是菱形的是（）A、四边都相等B、两组邻边分别相等C、对角线互相垂直平分D、两条对角线分别平分一组对角2．如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合）且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是______．3.如图，已知在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且CE=CF．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）过点C作CG∥EA交AF于H，交AD于G，若∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AHG的度数．4.如果菱形的一个角等于另一个角的5倍，周长是8，则菱形的高是，面积是．5.（三）正方形：1.定义：四边都相等，且四个角也相等（都为直角）的四边形。2.说明：由于正方形是四边形、平行四边形、矩形和菱形的特殊情况，因此正方形具有四边形、平行四边形、矩形和菱形的所有性质，当然它也有自身的性质，判断一个四边形是正方形的方法一般先判断它是平行四边形，再判断它是矩形或菱形，最后判断它是正方形；判断一个平行四边形是正方形，一般先判断它是矩形或菱形，最后判断它是正方形。3.正方形的性质：（1）它具有四边形、平行四边形、矩形和菱形的所有性质。（2）四条边都相等（3）四个角都是90°（4）对角线相等（5）对角线互相垂直平分（6）每条对角线平分一组对角（7）连结正方形中点组成的图形是正方形（8）正方形的对角线是边长的√2倍。（9）正方形四既是中心对称图形，又是轴对称图形（其中、对称中心是对角线的交点、对称轴有4条，它们分别是两组对边中点连线所在的直线和两条对角线所在的直线）。4.正方形的判定：（1）四边相等，有三个角是直角的四边形是正方形（2）一组邻边相等的矩形是正方形（3）一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形（4）有一个角是直角的菱形是正方形（5）对角线相等的菱形是正方形（6）对角线互相垂直的矩形是正方形（7）对角线互相垂直平分且相等的平行四边形（8）对角线互相垂直平分且相等的平行四边形的中点四边形是正方形（9）正方形的中点四边形是正方形。（10）矩形四个角平分线所成的四边形是正方形。5.正方形的面积：S正方形=a2=21c2（其中a表示正方形的边长，c表示正方形的对角线长度）【基础练习】1.如图，E、F、G、H分别是正方形ABCD各边的中点，要使中间阴影部分的小正方形的面积为5，则大正方形的边长应该是（）A．25B．35C．5D．52.四个内角都相等的四边形是（）A、矩形B、菱形C、正方形D、平行四边形3.延长正方形ABCD的一边BC至E，使CE＝AC，连结AEFGHEABCD交CD于F，则∠AFC的度数是（）A、112.5°B、120°C、122.5°D、135°4.如图，正方形ABCD的两条对角线AC、BD交于点O，无论△MON绕O点怎样转动，两个图形重叠部分的面积总等于正方形面积的41，那么∠MON的度数为A．60°B．90°C．120°D．150°5.在正方形ABCD所在平面内找一点P，使P点与A、B、C、D中两点都连成一个等腰三角形，那么这样的P点有A．5个B．9个C．12个D．15个6.正方形ABCD中，对角线的长是10cm，点P是AB上任意一点，则点P到AC、BD的距离之和是．7.如图所示，在正方形ABCD中，E为BD上一点，AE的延长线交BC的延长线于F，交CD于H，G为FH中点，求证：EC⊥CG四、梯形1.定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形。2.等腰梯形：一组对边平行，另一组对边相等的四边形。3．直角梯形：有一个较为直角的梯形。4.梯形的面积公式：S梯形=21（a+b）h=Lh.（a、b为梯形的底，h为梯形的高,L为梯形的中位线）。5.梯形的中位线：连结梯形两腰