2012高中数学专项等差数列复习--包含所有知识点和典型习题

2012年数列专项复习资料（包含所有知识点和习题）--------等差数列一、数列知识点及公式学习数列的做基本知识点：1、数列：按照一定顺序排列着的一列数叫做数列。2、数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项。3、有穷数列：项数有限的数列．4、无穷数列：项数无限的数列．5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．7、常数列：各项相等的数列．8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．9、数列的通项公式：表示数列na的第n项与序号n之间的关系的公式．10、数列的递推公式：表示任一项na与它的前一项1na（或前几项）间的关系的公式．11、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．12、由三个数a，，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为a与b的等差中项．若2acb，则称b为a与c的等差中项．13、若等差数列na的首项是1a，公差是d，则11naand．1．数列的通项、数列项的项数，递推公式与递推数列，数列的通项与数列的前n项和公式的关系：11,(1),(2)nnnSnaSSn（必要时请分类讨论）．2．等差数列{}na中：（1）等差数列公差的取值与等差数列的单调性．（d大于零，增数列，当首项是负数时n项和有最小值；d小于零，减数列，当首项是正数时n项和有最大值）（2）1(1)naand()manmd；pqmnpqmnaaaa．11naadnnmaadnm（3）1(1){}nkma、{}nka也成等差数列．（只是公差变了，自己推到）（4）两等差数列对应项和（差）组成的新数列仍成等差数列．（5）1211,,mkkkmaaaaaa仍成等差数列．（6）1()2nnnaaS（推荐记这个），1(1)2nnnSnad，（7）证明某数列是等差数列时，按照两条思路走：一是按定义，即an-an-1=d（常数）.二是按照中项。其中第一条思路比较常用。但如果不行，必须走第二条思路。（8）“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和；（9）有限等差数列中，奇数项和与偶数项和的存在必然联系，由数列的总项数是偶数还是奇数决定．若总项数为偶数，则“偶数项和”－“奇数项和”＝总项数的一半与其公差的积；若总项数为奇数，则“奇数项和”－“偶数项和”＝此数列的中项．（10）两数的等差中项惟一存在．在遇到三数或四数成等差数列时，常考虑选用“中项关系”转化求解．(11)等差数列的前n项和的性质：①若项数为*2nn，则21nnnSnaa，且SSnd偶奇，1nnSaSa奇偶．②若项数为*21nn，则2121nnSna，且nSSa奇偶，1SnSn奇偶（其中nSna奇，1nSna偶）3．等比数列{}na中：等比数列小知识：1、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比。2、在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比中项．若2Gab，则称G为a与b的等比中项。3、若等比数列na的首项是1a，公比是q，则11nnaaq。4、通项公式的变形：①nmnmaaq；②11nnaaq；③11nnaqa；④nmnmaqa．5、若na是等比数列，且mnpq（m、n、p、*q），则mnpqaaaa；若na是等比数列，且2npq（n、p、*q），则2npqaaa．6、等比数列na的前n项和的公式：11111111nnnnaqSaqaaqqqq．7、等比数列的前n项和的性质：①若项数为*2nn，则SqS偶奇．②nnmnmSSqS．③nS，2nnSS，32nnSS成等比数列．（1）等比数列的符号特征（全正或全负或一正一负），等比数列的首项、公比与等比数列的单调性．（2）11nnaaqnmmaq；pqmnpqmnbbbb．（3）{||}na、1(1){}nkma、{}nka成等比数列；{}{}nnab、成等比数列{}nnab成等比数列．（4）两等比数列对应项积（商）组成的新数列仍成等比数列．（5）1211,,mkkkmaaaaaa成等比数列．（6）111111(1)(1)(1)(1)(1)1111nnnnnaqnaqSaaaaqaqqqqqqqq．特别：123221()()nnnnnnnababaabababb．（7）mnmnmnnmSSqSSqS．（8）“首大于1”的正值递减等比数列中，前n项积的最大值是所有大于或等于1的项的积；“首小于1”的正值递增等比数列中，前n项积的最小值是所有小于或等于1的项的积；（9）有限等比数列中，奇数项和与偶数项和的存在必然联系，由数列的总项数是偶数还是奇数决定．若总项数为偶数，则“偶数项和”＝“奇数项和”与“公比”的积；若总项数为奇数，则“奇数项和”＝“首项”加上“公比”与“偶数项和”积的和．（10）并非任何两数总有等比中项．仅当实数,ab同号时，实数,ab存在等比中项．对同号两实数,ab的等比中项不仅存在，而且有一对Gab．也就是说，两实数要么没有等比中项（非同号时），如果有，必有一对（同号时）．在遇到三数或四数成等差数列时，常优先考虑选用“中项关系”转化求解．（11）判定数列是否是等比数列的方法主要有：定义法、中项法、通项法、和式法（也就是说数列是等比数列的充要条件主要有这四种形式）．4．等差数列与等比数列的联系（1）如果数列{}na成等差数列，那么数列{}naA（naA总有意义）必成等比数列．（2）如果数列{}na成等比数列，那么数列{log||}(0,1)anaaa必成等差数列．（3）如果数列{}na既成等差数列又成等比数列，那么数列{}na是非零常数数列；但数列{}na是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件．（4）如果两等差数列有公共项，那么由他们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数．如果一个等差数列与一个等比数列有公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般的方法”进行研讨，且以其等比数列的项为主，探求等比数列中那些项是他们的公共项，并构成新的数列．注意：（1）公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究nmab．但也有少数问题中研究nnab，这时既要求项相同，也要求项数相同．（2）三（四）个数成等差（比）的中项转化和通项转化法．5．数列求和的常用方法：（1）公式法：①等差数列求和公式（三种形式），②等比数列求和公式（三种形式），③1123(1)2nnn，22221123(1)(21)6nnnn，2135(21)nn，2135(21)(1)nn．（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和．（3）倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n和公式的推导方法）．（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法，将其和转化为“一个新的的等比数列的和”求解（注意：一般错位相减后，其中“新等比数列的项数是原数列的项数减一的差”！）（这也是等比数列前n和公式的推导方法之一）．（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和．常用裂项形式有：①111(1)1nnnn，②1111()()nnkknnk，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时分类讨论．（6）通项转换法。经验只谈：公式要求理解并记住，你并结合习题加以巩固。公式都是死的，只有多做题，才能把公式用活。二，数列典型习题1.等差数列习题中项的应用：1.na是等差数列，若3611942aaaa，则76aa（）A.9B.12C.15D.182.在等差数列na中，1952aa，405S，则10a为（）A.27B.28C.29D.303.等差数列的第5项等于10，前三项的和等于3，那么（）A.它的首项是－2，公差是3B.它的首项是2，公差是-3C.它的首项是－3，公差是2D.它的首项是3，公差是-24.在等差数列{an}中，已知前15项之和S15=60，那么a8=（）（A）3（B）4（C）5（D）65.在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=250，则a2+a8的值等于（）A50B100C150D2006.等差数列{an}中，a1+a4+a7=36，a2+a5+a8=33，则a3+a6+a9的值为（）A21B24C27D30最值问题1.在等差数列na中，3,141da，则n=时，nS有最小值，最小值是_____．2．数列{an}的通项公式为an＝2n－49，当该数列的前n项和Sn达到最小时，n等于()A．24B．25C．26D．273已知数列{an}为等差数列，若a11a10－1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使得Sn0的最大值n为()A．11B．19C．20D．214．{an}是等差数列，10110,0SS，则使0na的最小的n值是（）A．5B．6C．7D．85数列{na}是等差数列，47a，则7s_________6.如果等差数列中，，那么（A）14（B）21（C）28（D）357、已知na是公差为d的等差数列，它的前n项和为nS,4224SS,1nnnaba．（1）求公差d的值；（2）若152a，求数列nb中的最大项和最小项的值；公差的求法1.已知等差数列的首项为251，第10项是第一个比1大的项，则该等差数列公差d的取值范围是（）A.758dB.253dC.253758dD.253758d2.等差数列的第5项等于10，前三项的和等于3，那么（）A.它的首项是－2，公差是3B.它的首项是2，公差是-3C.它的首项是－3，公差是2D.它的首项是3，公差是-23等差数列na中,,33,952aa则na的公差为______________4．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是（）A．5B．4C．3D．25已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S33－S22＝1，则数列{an}的公差是()A.12B．1C．2D．3通项的求法：1.在等差数列na中，1952aa，405S，则10a为（）A.27B.28C.29D.302.等差数列的第5项等于10，前三项的和等于3，那么（）新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆na34512aaa127...aaa新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆新疆源头学子小屋特级教师王新敞