2019届高考数学一轮复习第十章复数算法推理与证明PPT课件新人教版

第十章复数、算法、推理与证明•第1讲数系的扩充和复数的引入◆高考导航·顺风启程◆最新考纲常见题型1.理解复数的基本概念．2.理解复数相等的充要条件．3.了解复数的代数表示法及其几何意义.4.会进行复数代数形式的四则运算．5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.是高考必考内容，以选择题，填空题型形式出现，难度很小，占5分[知识梳理]1．复数的有关概念内容意义备注复数的概念形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数，其中实部为a，虚部为b若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数复数相等a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)共轭复数a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数复数的模设OZ→对应的复数为z＝a＋bi，则向量OZ→的长度叫做复数z＝a＋bi的模|z|＝|a＋bi|＝a2＋b22．复数的几何意义复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即(1)复数z＝a＋bi――→一一――→对应复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)――→一一――→对应平面向量OZ→.3．复数代数形式的四则运算(1)运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则运算名称符号表示语言叙述加减法z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i把实部、虚部分别相加减．乘法z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i按照多项式乘法进行，并把i2换成－1.除法z1z2＝a＋bic＋di＝a＋bic－dic＋dic－di＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋di≠0)把分子、分母分别乘以分母的共轭复数，然后分子、分母分别进行乘法运算.(2)复数加法的运算律设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律：①交换律：z1＋z2＝z2＋z1；②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).[知识感悟]复数代数运算中常用的几个结论在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．(1)(1±i)2＝±2i；1＋i1－i＝i；1－i1＋i＝－i；(2)－b＋ai＝i(a＋bi)；(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.[知识自测]1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．()(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.()(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．()(4)原点是实轴与虚轴的交点．()(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√(5)√2．(2018·黄山一模)设i是虚数单位，若z＝cosθ＋isinθ，且其对应的点位于复平面内的第二象限，则θ位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析]∵z＝cosθ＋isinθ对应的点的坐标为(cosθ，sinθ)，且点(cosθ，sinθ)位于第二象限，∴cosθ0，sinθ0，∴θ为第二象限角，故选B.[答案]B3．若复数z＝2－i，则z＋10z＝________.[解析]∵z＝2－i，∴z＋10z＝(2＋i)＋102－i＝(2＋i)＋102＋i2－i2＋i＝6＋3i.[答案]6＋3i题型一复数的有关概念(基础拿分题、自主练透)例1(1)(2018·河南六市联考)如果复数2－bi1＋2i(其中i为虚数单位，b为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b等于()A．－6B.23C．－23D．2[解析]由2－bi1＋2i＝2－bi1－2i5＝2－2b－b＋4i5，由2－2b＝b＋4，得b＝－23.[答案]C(2)(2017·天津)已知a∈R，i为虚数单位，若a－i2＋i为实数，则a的值为________．[解析]a－i2＋i＝a－i2－i2＋i2－i＝2a－1－a＋2i5＝2a－15－a＋25i为实数，则a＋25＝0，a＝－2.[答案]－2(3)(2017·课标Ⅰ)设有下面四个命题p1：若复数z满足1z∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝z2；p4：若复数z∈R，则z∈R.其中真命题为()A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4[解析]令z＝a＋bi(a，b∈R)，则由1z＝1a＋bi＝a－bia2＋b2∈R得b＝0，所以z∈R，故p1正确；当z＝i时，因为z2＝i2＝－1∈R，而z＝i∉R知，故p2不正确；当z1＝z2＝i时，满足z1·z2＝－1∈R，但z1≠z2，知p3不正确；对于p4，因为实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故p4正确，故选B.[答案]B方法感悟解决复数概念问题的方法及注意事项1．复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．2．解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．【针对补偿】1．若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[解析]由m2＋m＋1＝3，m2＋m－4＝－2，解得m＝－2或1，所以“m＝1”是“z1＝z2”的充分不必要条件．[答案]A2．(2017·浙江)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________.[解析]由题意可得a2－b2＋2abi＝3＋4i，则a2－b2＝3ab＝2，解得a2＝4b2＝1，则a2＋b2＝5，ab＝2.[答案]5；23．(2018·河南六市一联)已知i为虚数单位，a∈R，若2－ia＋i为纯虚数，则复数z＝2a＋2i的模等于()A.2B.11C.3D.6[解析]由题意得，2－ia＋i＝ti(t≠0)，∴2－i＝－t＋tai，∴－t＝2，ta＝－1，解得t＝－2，a＝12，∴z＝2a＋2i＝1＋2i，|z|＝3，故选C.[答案]C题型二复数的几何意义(重点保分题，共同探讨)例2(1)(2017·北京)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1)B．(－∞，－1)C．(1，＋∞)D．(－1，＋∞)[解析]z＝(1－i)(a＋i)＝(a＋1)＋(1－a)i，因为对应的点在第二象限，所以a＋101－a0，解得a－1，故选B.[答案]B(2)△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，若复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点为△ABC的()A．内心B．垂心C．重心D．外心[解析]由几何意义知，复数z对应的点到△ABC三个顶点距离都相等，z对应的点是△ABC的外心．[答案]D(3)已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，若OC→＝λOA→＋μOB→，(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．[解析]由条件得OC→＝(3，－4)，OA→＝(－1,2)，OB→＝(1，－1)，根据OC→＝λOA→＋μOB→得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴－λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得λ＝－1，μ＝2.∴λ＋μ＝1.[答案]1方法感悟复数的几何意义及应用(1)复数z、复平面上的点Z及向量OZ→相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔OZ→.(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．【针对补偿】4．(2018·河北“五校联盟”质检)在复平面内与复数z＝2i1＋i所对应的点关于实轴对称的点为A，则A对应的复数为()A．1＋iB．1－iC．－1－iD．－1＋i[解析]因为z＝2i1＋i＝2i1－i1＋i1－i＝i(1－i)＝1＋i，所以A点坐标为(1，－1)，其对应的复数为1－i.[答案]B5．(2016·北京卷)设a∈R，若复数(1＋i)(a＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝________.[解析](1＋i)(a＋i)＝a－1＋(a＋1)i，由题意得a＋1＝0，a＝－1.[答案]－1题型三复数的代数运算(高频考点题、多角突破)考向一复数的乘法运算1．(2016·四川)设i为虚数单位，则复数(1＋i)2等于()A．0B．2C．2iD．2＋2i[解析](1＋i)2＝12＋i2＋2i＝1－1＋2i＝2i.[答案]B2．若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a等于()A．－1B．0C．1D．2[解析]因为a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝4a＋(a2－4)i＝－4i，得4a＝0且a2－4＝－4，解得a＝0，故选B.[答案]B考向二复数的除法运算3．(2017·山东)已知a∈R，i是虚数单位，若z＝a＋3i，z·z＝4，则a等于()A．1或－1B.7或－7C．－3D.3[解析]由z＝a＋3i，z·z＝4得a2＋3＝4，所以a＝±1，故选A.[答案]A4．(2017·课标Ⅲ)设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|等于()A.12B.22C.2D．2[解析]由题意可得：z＝2i1＋i，由复数求模的法则：z1z2＝|z1||z1|可得：|z|＝|2i||1＋i|＝22＝2.故选C.[答案]C5.1＋i1－i6＋2＋3i3－2i＝________.[解析]原式＝1＋i226＋2＋3i3＋2i32＋22＝i6＋6＋2i＋3i－65＝－1＋i.[答案]－1＋i考向三复数的综合运算6．(2018·江西鹰潭二模)“z＝1sinθ＋cosθ·i－12(其中i是虚数单位)是纯虚数．”是“θ＝π6＋2kπ”的________条件．()A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要[解析]z＝1sinθ＋cosθ·i－12＝sinθ－12－icosθ(其中i是虚数单位)是纯虚数．则sinθ－12＝0，cosθ≠0，解得：θ＝2kπ＋π6或θ＝2kπ＋π＋π6(k∈Z)．∴z＝1sinθ＋cosθ·i－12(其中i是虚数单位)是纯虚数．是“θ＝π6＋2kπ”的必要不充分条件．故选：B.[答案]B7．已知复数z＝3＋i1－3i2，z是z的共轭复数，则z·z＝_________.[解析]∵z＝3＋i1－3i2＝3＋i－2－23i＝3＋i－21＋3i＝3＋i1－3i－21＋3i1－3i＝23－2i－8＝－34＋14i，故z＝－34－14i，∴z·z＝－34＋14i－34－14i＝316＋116＝14.[答案]14方法感悟复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．(3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合相关定义解答．(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．