复数的知识点总结与题型归纳

1/8复数的知识点总结与题型归纳一、知识要点1．复数的有关概念我们把集合C＝{}a＋bi|a，b∈R中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．全体复数所成的集合C叫做复数集．复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．对于复数z＝a＋bi，以后不作特殊说明都有a，b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部．说明：(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.(2)复数的虚部是实数b而非bi.(3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．2．复数相等在复数集C＝{}a＋bi|a，b∈R中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.3．复数的分类对于复数a＋bi，当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，叫做虚数；当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．这样，复数z＝a＋bi可以分类如下：复数z实数(b＝0)，虚数(b≠0)(当a＝0时为纯虚数).说明：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系2/84．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)―――――――→一一对应复平面内的点Z(a，b)(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)――――→一一对应平面向量OZ――→.5．复数的模(1)定义：向量OZ的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模．(2)记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|.(3)公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝a2＋b2(r≥0，r∈R)．说明：实轴、虚轴上的点与复数的对应关系实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．6．复数的加、减法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.7．复数加法运算律设z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．8．复数加、减法的几何意义设复数z1，z2对应的向量为OZ1――→，OZ2――→，则复数z1＋z2是以OZ1――→，OZ2――→为邻边的平行四边形的对角线OZ――→所对应的复数，z1－z2是连接向量OZ1――→与OZ2――→的终点并指向OZ1――→的向量所对应的复数．它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处理，另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．9．复数代数形式的乘法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad3/8＋bc)i.10．复数乘法的运算律对任意复数z1，z2，z3∈C，有交换律z1·z2＝z2·z1结合律(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z311.共轭复数已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则(1)z1，z2互为共轭复数的充要条件是a＝c且b＝－d.(2)z1，z2互为共轭虚数的充要条件是a＝c且b＝－d≠0.12．复数代数形式的除法法则：(a＋bi)÷(c＋di)＝a＋bic＋di＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋di≠0)．说明：在进行复数除法时，分子、分母同乘以分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．二、题型总结题型一：复数的概念及分类[典例]实数x分别取什么值时，复数z＝x2－x－6x＋3＋(x2－2x－15)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？[解](1)当x满足x2－2x－15＝0，x＋3≠0，即x＝5时，z是实数．(2)当x满足x2－2x－15≠0，x＋3≠0，即x≠－3且x≠5时，z是虚数．(3)当x满足x2－x－6x＋3＝0，x2－2x－15≠0，x＋3≠0，即x＝－2或x＝3时，z是纯虚数．复数分类的关键(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z＝a＋4/8bi(a，b∈R)时应先转化形式.(2)注意分清复数分类中的条件设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则①z为实数⇔b＝0，②z为虚数⇔b≠0，③z为纯虚数⇔a＝0，b≠0.④z＝0⇔a＝0，且b＝0题型二、复数相等[典例]已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实数根，则实数m的值为________，方程的实根x为________．[解析]设a是原方程的实根，则a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0，即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0＋0i，所以a2＋a＋3m＝0且2a＋1＝0，所以a＝－12且－122－12＋3m＝0，所以m＝112.题型三：复数与点的对应关系[典例]求实数a分别取何值时，复数z＝a2－a－6a＋3＋(a2－2a－15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件：(1)在复平面的第二象限内．(2)在复平面内的x轴上方．[解](1)点Z在复平面的第二象限内，则a2－a－6a＋3＜0，a2－2a－15＞0，解得a＜－3.(2)点Z在x轴上方，则a2－2a－15＞0，a＋3≠0，即(a＋3)(a－5)＞0，解得a＞5或a＜－3.题型四：复数的模[典例](1)若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝5，则复数z＝()A．1＋2iB．－1－2iC．±1±2iD．1＋2i或－1－2i(2)设复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，且|z1|＜|z2|，则实数a的取值范围是()5/8A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．(－1,1)C．(1，＋∞)D．(0，＋∞)[解析](1)依题意可设复数z＝a＋2ai(a∈R)，由|z|＝5得a2＋4a2＝5，解得a＝±1，故z＝1＋2i或z＝－1－2i.(2)因为|z1|＝a2＋4，|z2|＝4＋1＝5，所以a2＋4＜5，即a2＋4＜5，所以a2＜1，即－1＜a＜1.[答案](1)D(2)B题型五：复数与复平面内向量的关系[典例]向量OZ1――→对应的复数是5－4i，向量OZ2――→对应的复数是－5＋4i，则OZ1――→+OZ2――→对应的复数是()A．－10＋8iB．10－8iC．0D．10＋8i[解析]因为向量OZ1――→对应的复数是5－4i，向量OZ2――→对应的复数是－5＋4i，所以OZ1――→＝(－5,4),OZ2――→＝(5,－4)，所以OZ2――→＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以OZ1――→+OZ2――→对应的复数是0.[答案]C题型六：复数代数形式的加、减运算[典例](1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________.(2)已知z1＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y为实数，若z1－z2＝5－3i，则|z1＋z2|＝________.[解析](1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i＝－2－i.(2)z1－z2＝[(3x－4y)＋(y－2x)i]－[(－2x＋y)＋(x－3y)i]＝[(3x－4y)－(－2x＋y)]＋[(y－2x)－(x－3y)]i＝(5x－5y)＋(－3x＋4y)i＝5－3i，所以5x－5y＝5，－3x＋4y＝－3，解得x＝1，y＝0，6/8所以z1＝3－2i，z2＝－2＋i，则z1＋z2＝1－i，所以|z1＋z2|＝2.[答案](1)－2－i(2)2题型七：复数加减运算的几何意义[典例]如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0,3+2i，-2+4i.求：(1)AO――→表示的复数；(2)对角线CA――→表示的复数；(3)对角线OB――→表示的复数．[解](1)因为AO――→＝－OA――→，所以AO――→表示的复数为－3－2i.(2)因为CA――→＝OA――→－－OC――→，所以对角线CA――→表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)因为对角线OB――→＝OA――→＋OC――→，所以对角线OB――→表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.题型八：复数模的最值问题[典例](1)如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是()A．1B.12C．2D.5(2)若复数z满足|z＋3＋i|≤1，求|z|的最大值和最小值．[解析](1)设复数-i，i，-1-i在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z+i|+|z-i|=2，|Z1Z2|=2，所以点Z的集合为线段Z1Z2.问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|=1.7/8所以|z+i+1|min=1.[答案]A(2)解：如图所示，|OM――→|＝(－3)2＋(－1)2＝2.所以|z|max＝2＋1＝3，|z|min＝2－1＝1.题型九：复数代数形式的乘法运算[典例](1)已知i是虚数单位，若复数(1＋ai)(2＋i)是纯虚数，则实数a等于()A．2B.12C．－12D．－2(2)(江苏高考)复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部是________．[解析](1)(1＋ai)(2＋i)＝2－a＋(1＋2a)i，要使复数为纯虚数，所以有2－a＝0,1＋2a≠0，解得a＝2.(2)(1＋2i)(3－i)＝3－i＋6i－2i2＝5＋5i，所以z的实部是5.题型十：复数代数形式的除法运算[典例](1)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i是虚数单位)，则z为()A．3＋5iB．3－5iC．－3＋5iD．－3－5i(2)设i是虚数单位，复数1＋ai2－i为纯虚数，则实数a为()A．2B．－2C．－12D.12[解析](1)∵z(2－i)＝11＋7i，∴z＝11＋7i2－i＝(11＋7i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝15＋25i5＝3＋5i.8/8(2)1＋ai2－i＝(1＋ai)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝2－a5＋1＋2a5i，由1＋ai2－i是纯虚数，则2－a5＝0，1＋2a5≠0，所以a＝2.[答案](1)A(2)A题型十一：i的乘方的周期性及应用[典例](1)(湖北高考)i为虚数单位，i607的共轭复数为()A．iB．－iC．1D．－1(2)计算i1＋i2＋i3＋…＋i2016＝________.[解析](1)因为i607＝i4×151＋3＝i3＝－i，所以其共轭复数为i，故选A.(2)法一：原式＝i(1－i2016)1－i＝i[1－(i2)1008]1－i＝i(1－1)1－i＝0.法二：∵i1＋i2＋i3＋i4＝0，∴in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)，∴i1＋i2＋i3＋…＋i2016，＝(i1＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2013＋i2014＋i2015＋i2016)＝0.[答案](1)A(2)0说明：虚数单位i的周期性(1)i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N*)(2)in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)