勒让德多项式

第6章勒让德多项式本章我们将研究勒让德多项式在解决数学物理方程定解问题中的一些应用。首先应用分离变量法，在球坐标系中对拉普拉斯方程进行分离变量，导出勒让德方程；并讨论这个方程的解法及解的有关性质；指出勒让德方程在区间[-1，1]上的有界解构成了一类正交函数系—勒让德多项式。6．1勒让德方程的导出在前面的章节里，我们利用格林函数研究了拉普拉斯方程0222222=∂∂+∂∂+∂∂zuyuxu的求解问题。本节，在球坐标系下，我们应用分离变量的方法来处理拉普拉斯方程。在球坐标系中，拉普拉斯方程为0sin1sinsin112222222=∂∂+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂θϕϕϕϕururrurrr（6.1.1）式中，0πϕ≤≤，πθ20≤≤。令式（6.1.1）的解为()()),,(,,ϕθϕθYrRru=代入式（6.1.1），整理得[]0sin1sinsin112222222=∂∂+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂∂∂+⎟⎠⎞⎜⎝⎛RYrYrYdrdRrdrdrθϕϕϕϕϕ将变量(),rR),(ϕθY分离，得[]222222sin1sinsin111θϕϕϕϕϕ∂∂+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂∂∂−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛YrYrYdrdRrdrdR上式左端只于r有关，右端只与ϕθ,有关，所以二者都是常数时才能恒等。为了方便后续的讨论，我们把这个常数写成()1+nn的形式（这里的n可以是实数，也可以是复数），于是有()012222=+−+RnndrdRrdrRdr（6.1.2）0)1(sin1sinsin1222=++∂∂+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂∂∂YnnYYθϕϕϕϕϕ（6.1.3）式（6.1.3）的解),(ϕθY与半径r无关，故称之为球面函数，或简称为球函数。式（6.1.2）是欧拉方程，其通解为()()1+−+=nnBrArrR式中，A，B为任意常数。式（6.1.3）中喊有两个自变量ϕθ,，再次应用分离变量的方法，令()()()ϕθϕθΦΘ=,Y，代入（6.1.3）式中，整理得()01sin1sinsin1222=ΘΦ++ΦΘ+Θ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Φnnddddddθϕϕϕϕϕ分离变量ϕθ,，则有()ϕϕϕϕϕθ222sin1sinsin11++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ΦΦ=ΘΘ−nndddddd此式的左端只于θ有关，因此只有二者均为常数时它们才能相等。由于式（6.1.1）在球坐标系下的一切（单值）解都应是关于变量θ的周期函数，周期为2π，因而Θ也是以2π为周期的周期函数。与我们在第5章讨论的一样，这个常数必需等于()L,2,1,02=mm，从而有0222=Θ+Θmddθ{6.1.4}[()]0sin1sinsin122=Φ−++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Φϕϕϕϕϕmnndddd（6.1.5）式（6.1.4）的通解为()θθθmCmCsincos21+=Θ式中，1C，2C为任意常数。对式（6.1.5）进行整理，有()0sin1cot2222=Φ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++Φ+Φϕϕϕϕmnndddd（6.1.6）这个方程称为连带的勒让德方程。为了表达上的方便，我们引入新的变量ϕcos=x。由于πϕ≤≤0，所以11≤≤−x，并记()ϕΦ=y，于是有dxdyxdxdyddxdxdydd21sin−−=−==Φϕϕϕ()()222211dxydxdxdyxddxdxdyxdxdddxdxdydd−+−=−−==Φϕϕϕ将,,yx及y的导数代入式（6.1.6）中，整理得()()0112122222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−++−−yxmnndxdyxdxydx（6.1.7）若()ϕθ,,ru与θ无关，则由式（6.1.4）可知，()θΘ是常数，则0=m。这时，式（6.1.7）简化为()()0121222=++−−ynndxdyxdxydx（6.1.8）式（6.1.8）称为勒让德方程。一部分定解问题的求解，昀后都归纳为勒让德方程的求解。6．2勒让德方程的求解和求贝赛尔方程一样，我们设勒让德方程()()0121222=++−−ynndxdyxdxydx（6.2.1）的解为∑∞==0kkkxay（6.2.2）对上式求导，得出yy′′′,的级数表达式，连同式（6.2.2）一齐代入式（6.2.1），整理得()()()()[]{}0112102=+−++++∑∞=+kkkkxakknnakk由于上式为恒等式，所以x的各次幂的系数必需都是零，所以()()()()[]011212=+−+++++kkakknnakk得()()()()()L,2,1,02112=++−+−−=+kakkknknakk（6.2.3）令,,4,2,0L=k得()02!21anna+−=()()()04!4312annnna++−−=()()()()()06!653142annnnnna+++−−−=M再令,,5,3,1L=k得()()13!321anna+−−=()()()()15!54231annnna++−−−=()()()()()()17!7642531annnnnna+++−−−−=将这些值代入式（6.2.2），则得到了勒让德方程式（6.2.1）的解()()()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++−−++−−+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++−++−=LL531420!54231!321!4312!211xnnnnxnnxaxnnnnxnnay（6.2.4）式中，10,aa为任意常数。若用21,yy分别表示式（6.2.4）中的两个级数，即()()()()L−++−++−=421!4312!211xnnnnxnny（6.2.5）()()()()()()L−++−−++−−=532!54231!321xnnnnxnnxy（6.2.6）显然，级数21,yy都是勒让德方程式（6.2.1）的解，且1y与2y是线性无关的。由达朗贝尔（比值）判别法和式（6.2.6）的收敛区间为1x，因此在1x内，勒让德方程式（6.2.1）的通解为2211yCyCy+=式中，21,yy分别表示级数式（6.2.5）和式（6.2.6）；21CC与为任意常数。6.3勒让德多项式上面我们解出了勒让德方程式（6.2.1）的解，由级数式（6.2.5）和式（6.2.6）可知，当n不是整数时，21yy与都是无穷级数，它们在1x内绝对收敛，在1−+=x时趋向于无穷。在实际工作中，经常遇上n是非负数的情况，因此我们只在n是非负数这个前提下展开讨论。当n是整数时，由式（6.2.5）和式（6.2.6）可知，21yy与中有一个是多项式，另一个是无穷级数。为了便于给出这个多项式的表达式，我们将式（6.2.3）改写为()()()()()21122−≤++−++−=+nkankknkkakk这样，系数L,,42−−nnaa都可以通过昀高次项的系数na来表示，即()()nnannna12212−−−=−()()()()()nnannnnnna3212423214−−⋅−−−−=−()()()()()()()()nnannnnnnnnna523212642543216−−−⋅⋅−−−−−−=−M为了形式上好看，并使所得的多项式在1=x处值为1，我们将任意常数na的值取为()()()()LL,2,1!12531!2!22=−⋅⋅==nnnnnann从而有()()()()()()()!2!12!22!2!2122122−−−−=−−−=−nnnnnnnnannn()()()!4!2!22!424−−−−=−nnnann()()()!6!3!32!626−−−−=−nnnannM一般说来，当02≥−mn时，有()()()()!2!!2!2212mnmnmmnanmmn−−−−=−若n是正偶数，由式（6.2.5）可得()()()()mnnmnmxmnmnmmny2201!2!!2!221−=∑−−−−=若n是正奇数，由式（6.2.6）可得()()()()mnnmnmxmnmnmmny22102!2!!2!221−−=∑−−−−=把这两个多项式统一写成()()()()()mnnmnmnxmnmnmmnxP220!2!!2!221−⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑−−−−=（6.3.1）式中，⎥⎦⎤⎢⎣⎡2n表示不大于2n的昀大整数。式（6.3.1）被称为n次勒让德多项式（亦称为第一类勒让德函数）。特别的，当n=0,1,2,3,4,5时分别有()()()()()()()()()()xxxxPxxxPxxxPxxPxxPxP157063813303581352113211355244332210+−=+−=−=−===它们的图形如图6-1所示。为了应用上的方便，我们将()xPn表示为()()nnnnnxdxdnxP1!212−=(6.3.2)的形式。称式(6.3.2)为勒让德多项式的罗德里格斯（Rodrigues）表达式。该公式的证明如下。证明：用二项式定理把()nx12−展开，有()()()()()()∑∑=−−=−−=−−=−nmmnnmmmnnmnnnxmmnnxmmnnnxn022022!!2!11!!!!211!21上述等式关于x求导n次。凡是指数2n-2m低于n的项经过求n次导后均为零，所以只剩下指数2n-2m≥n的项，即2nm≤，有()()()()()()()()()()()xnmnnmnmmnnmnmnnnnPxmnmnmmnxmnmmnmnmnxdxdn=−−−−=−+−−−−−=−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡=−⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑∑2202202!2!!2!221!!2!21222211!21L综上所述，可得如下结论：当n不是整数时，式(6.2.1)的通解为2211yCyCy+=式中，21,yy分别由级数式（6.2.5）和式（6.2.6）所确定，而且它们在区间11≤≤−x上无界，所以此时勒让德方程式（6.2.1）在区间11≤≤−x无有界的解。当n是整数时，选择一个适当的na，则1y与2y中有一个是勒让德多项式()xPn，另一个仍是无穷级数，记作(),xQn此时勒让德方程式（6.2.1）的通解为()()xQCxPCynn21+=式中，(),xQn称为第二类勒让德函数，它在区间11≤≤−x上仍是无界的。为了以后运算的需要，下面我们不加证明地给出勒让德多项式的递推公式()()()()()()L,2,1012111==+−−+−+nxnPxxPnxPnnnn(6.3.3)()()()()()L,2,10211==−′+′−′−+nxPxPxPxxPnnnn(6.3.4)()()()()()L,2,1011==+=′−′+nxPnxPxxPnnn(6.3.5)()()()()L,2,11==′−′−nxnPxPxPxnnn(6.3.6)()()()()()L,2,11211=+=′−′−+nxPnxPxPnnn(6.3.7)6.4函数展开成勒让德多项式的级数在应用勒让德多项式解决数学物理方程的定解问题时，需要将给定的函数在区间（-1，1）上展开为勒让德多项式的级数。为此。我们首先证明不同阶数的勒让德多项式全体构成一个正交函数系，然后再讨论在区间（-1，1），如何将给定的函数展开为勒让德多项式的级数。现在我们先讨论勒让德多项式在区间（-1，1）上的正交性，即要证明下述结论()()∫+−⎪⎩⎪⎨⎧=+≠=11,222,0nmnnmdxxPxPnm（6.4.1）首先将式（6.2.1）变形为()()0112=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡−ynndxdyxdxd（6.4.2）由于勒让德多项式()xPn，()xPm都是勒让德方程式（6.2.1）的解，所以()xPn，()xPm满足（6.4.2），即()()[]()()0112=++′′−xPnnxPxnn（6.4.3）()()[]()()0112=++′′−xPmmxPxmm（6.4.4）()xPm乘式（6.4.3）减式（6.4.4），然后在区间（-1，1）上作积分，得()()()[]()()()[]()()[]()()∫∫∫−−−=+−++′′−−′′−1111211201111dxxPxPmmnndxXPxxPdxXPxxPmnmnnm利用分部积分，得()()[]()()∫−