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JIHGFEDCBAB1C1D1A11.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=22,则下列结论中错误..的个数是()(1)AC⊥BE.(2)若P为AA1上的一点,则P到平面BEF的距离为22.(3)三棱锥A-BEF的体积为定值.(4)在空间与DD1,AC,B1C1都相交的直线有无数条.(5)过CC1的中点与直线AC1所成角为40并且与平面BEF所成角为50的直线有2条.A.0B.1C.2D.32.如图,正方体的棱长为1,线段上有两个动点,且22EF,则下列结论中错误..的是()A.B.∥平面C.三棱锥的体积为定值D.△AEF与△BEF的面积相等3.关于图中的正方体1111DCBAABCD,下列说法正确的有:___________________.①P点在线段BD上运动,棱锥11DABP体积不变;②P点在线段BD上运动,二面角ADBP11不变;③一个平面截此正方体,如果截面是三角形,则必为锐角三角形;④一个平面截此正方体,如果截面是四边形,则必为平行四边形;⑤平面截正方体得到一个六边形(如图所示),则截面在平面11DAB与平面1BDC间平行移动时此六边形周长先增大,后减小。4、如图,正方体1111ABCDABCD的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段1CC上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是___________(写出所有正确命题的编号).①当102CQ时,S为四边形;②当12CQ时,S不为等腰梯形;③当34CQ时,S与11CD的交点R满足113CR;1111DCBAABCD11DBFE,BEACEFABCDBEFA④当314CQ时,S为六边形;⑤当1CQ时,S的面积为62.①⑤1.(本小题满分13分)如图所示,在三棱锥A—BCD中,侧面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜边,且AD=,BD=CD=1,另一个侧面ABC是正三角形.(1)当正视图方向与向量的方向相同时,画出三棱锥A—BCD的三视图;(要求标出尺寸)(2)求二面角B—AC—D的余弦值;(3)在线段AC上是否存在一点E,使ED与平面BCD成30°角?若存在,确定点E的位置;若不存在,说明理由.解(1)三棱锥A—BCD的三视图如右图所示:……3分(2)解设平面ABC的法向量为n1=(x,y,z),则由n1⊥→BC知:n1·→BC=-x+y=0,同理由n1⊥→AC知:n1·→AC=-x-z=0,可取n1=(1,1,-1),同理,可求得平面ACD的一个法向量为n1=(1,0,-1).∴cos〈n1,n2〉=|n1||n2|n1·n2=21+0+1=36.即二面角B—AC—D的余弦值为36.……5分2.(本小题满分12分)如图所示,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,PACD,PA=1,PD=2,E为PD上一点,PE=2ED.(Ⅰ)求证:PA平面ABCD;(Ⅱ)求二面角D-AC-E的余弦值;(Ⅲ)在侧棱PC上是否存在一点F,使得BF//平面AEC?若存在,指出F点的位置,并证明;若不存在,说明理由.解:(Ⅰ)PA=PD=1,PD=2,PA2+AD2=PD2,即:PAAD---2分又PACD,AD,CD相交于点D,PA平面ABCD-------4分(Ⅱ)过E作EG//PA交AD于G,从而EG平面ABCD,且AG=2GD,EG=13PA=13,------5分连接BD交AC于O,过G作GH//OD,交AC于H,连接EH.GHAC,EHAC,EHG为二面角D—AC―E的平面角.-----6分tanEHG=EGGH=22.二面角D—AC―E的平面角的余弦值为-------8分(Ⅲ)以AB,AD,PA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,361,0),P(0,0,1),E(0,23,13),=(1,1,0),=(0,23,13)---9分设平面AEC的法向量=(x,y,z),则,即:,令y=1,则=(-1,1,-2)-------10分假设侧棱PC上存在一点F,且=,(01),使得:BF//平面AEC,则=0.又因为:=+=(0,1,0)+(-,-,)=(-,1-,),=+1--2=0,=12,所以存在PC的中点F,使得BF//平面AEC.---12分3.(本小题共14分)如图边长为4的正方形ABCD所在平面与正PAD所在平面互相垂直,MQ、分别为,PCAD的中点.(1)求证://PA平面MBD;(2)求:二面角PBDA的余弦值;(3)试问:在线段AB上是否存在一点,N使得平面PCN平面?PQB若存在,试指出点N的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.(1)证明:连接AC交BD于点O,连接,MO由正方形ABCD知O为AC的中点,M为PC的中点,//MOPA,MO平面,MBDPA平面,//MBDPA平面MBD(2)二面角PBDA的余弦值为77(3)解,存在点,N当N为AB中点时,平面PQB平面PNC四边形ABCD是正方形,Q为AD的中点,.BQNC由(1)知,PQ平面,,,ABCDNCABCDPQNC平面又,BQPQQNCPQB平面,NCPCNPCNPQB平面平面平面4.(12分)点O是边长为4的正方形ABCD的中心,点E,F分别是AD,BC的中点.沿对角线AC把正方形ABCD折成直二面角BACD.(1)求EOF的大小;(2)求二面角EOFA的余弦值.解法一:(1)如图,过点E作EG⊥AC,垂足为G,过点F作FH⊥AC,垂足为H,则2EGFH,ACAEn00AEnACn020zyyxnCFCPBFnBFBCCFBFn22GH.因为二面角D-AC-B为直二面角,22222cos90EFGHEGFHEGFH222(22)(2)(2)012.又在EOF中,2OEOF,22222222(23)1cos22222OEOFEFEOFOEOF.120EOF.…..6分(2)过点G作GM垂直于FO的延长线于点M,连EM.∵二面角D-AC-B为直二面角,∴平面DAC⊥平面BAC,交线为AC,又∵EG⊥AC,∴EG⊥平面BAC.∵GM⊥OF,由三垂线定理,得EM⊥OF.∴EMG就是二面角EOFA的平面角.…..9分在RtEGM中,90EGM,2EG,112GMOE,∴tan2EGEMGGM,33EMGCOS所以,二面角EOFA的余弦值为33。…..12分解法二:(1)建立如图所示的直角坐标系O-xyz,则(1,1,2)OE,(0,2,0)OF.1cos,2||||OEOFOEOFOEOF.120EOF.…..6分(2)设平面OEF的法向量为1(1,,)nyz.由110,0,nOEnOF得120,20,yzy解得20,2yz.所以,12(1,0,)2n.…..9分又因为平面AOF的法向量为2(0,0,1)n,…..10分xyzABCDEFOGHMABCDEFOMHGOFABECD1212123cos,3||||nnnnnn.…..11分且根据方向判断,二面角EOFA的大小为余弦为33.…..12分(此题改编自《选修2-1》P118,12)5、平面内两正方形ABCD与ABEF,点,MN分别在对角线,ACFB上,且::AMMCFNNB,沿AB折起,使得90DAF,若:2:3AMMC,在线段AB上是否存在一点G,使平面MGN//平面CBE?若存在,试确定点G的位置.6.(15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,DAB为直角,AB‖CD,AD=CD=2AB,E、F分别为PC、CD的中点.(Ⅰ)试证:CD平面BEF;(Ⅱ)设PA=k·AB,且二面角E-BD-C的平面角大于30,求k的取值范围.解:(Ⅰ)如图,以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为:轴建立空间直角坐标系,设AB=a,则易知点A,B,C,D,F的坐标分别为A(0,0,0),B(a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a,0),F(a,2a,0).从而DC=(2a,0,0),BF=(0,2a,0),DC·BF=0,故DCBF.设PA=b,则P(0,0,b),而E为PC中点.故E2,,baa.从而BE=2,,0ba.DC·BE=0,故DCBE.由此得CD面BEF.(Ⅱ)设E在xOy平面上的投影为G,过G作GHBD垂足为H,由三垂线定理知EHBD.从而EHG为二面角E-BD-C的平面角.由PA=k·AB得P(0,0,ka),E2,,kaaa,G(a,a,0).设H(x,y,0),则GH=(x-a,y-a,0),BD=(-a,2a,0),由GH·BD=0得=a(x-a)+2a(y-a)=0,即x-2y=-a①又因BH=(x,a,y,0),且BH与BD的方向相同,故aax=ay2,即2x+y=2a②由①②解得x=53a,y=54a,从而GH=0,51,52aa,|GH|=55a.tanEHG=GHEC=aKa552=k25.由k>0知,EHC是锐角,由EHC>,30得tanEHG>tan,30即k25>.33故k的取值范围为k>15152
本文标题:立体几何动点问题
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