人教版高中数学必修五同课异构课件34基本不等式第2课时基本不等式的应用情境互动课型

第2课时基本不等式的应用张先生打算建造一个面积为6000平方米的矩形饲养场，进行猪养殖，现在需要进行周边院墙的建设，经过计算，他的儿子说建成正方形的院墙最省，而他认为建成长300米、宽200米的矩形的院墙最省，你认为谁说的对？要解决这个问题，可用基本不等式来解决，这一节我们就学习基本不等式的有关应用.1.利用基本不等式解决简单的最大值、最小值问题.（重点）2.会合理拆项或凑项，会应用基本不等式.（重点）3.会求给定条件的最值问题.分析：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，面积确定，则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.即求（x+y）的最小值.例1(1)用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆是多少？探究点1基本不等式在求最值中的应用解：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.2xyxy因为，210020.xy所以2()40.xy则当且仅当x=y时等号成立，此时x=y=10.因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用篱笆最短，最短篱笆是40m.结论1两个正数积为定值，则和有最小值.当xy的值是常数时，当且仅当x=y时，x+y有最小值2.PP【提升总结】分析：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，周长确定，则2（x+y）=36，篱笆的面积为xym2.即求xy的最大值.例1(2)一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大.最大面积是多少？解析：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则2(x+y)=36,x+y=18，矩形菜园的面积为xym2.18981.22xyxyxy因为，得当且仅当x=y=9时，等号成立.因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81m2.结论2两个正数和为定值，则积有最大值.当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，xy有最大值21.4S【提升总结】注意：①各项皆为正数；②和为定值或积为定值；③注意等号成立的条件.一“正”，二“定”，三“等”.最值定理结论1两个正数积为定值，则和有最小值.结论2两个正数和为定值，则积有最大值.某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)【变式练习】【解析】设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为2160×1042000x＝10800x.∴每平方米的平均综合费用y＝560＋48x＋10800x＝560＋48(x＋225x)．当x＋225x取最小值时，y有最小值．∵x0，∴x＋225x≥2x·225x＝30.当且仅当x＝225x，即x＝15时，上式等号成立．所以当x＝15时，y有最小值2000元．因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少.例2某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为4800m3,深为3m.如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少?分析：水池呈长方体形，高为3m,底面的长与宽没有确定.如果底面的长与宽确定了，水池总造价也就确定了.因此应当考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低.,240000+720(x+y)240000+720×2xy,即z240000+720×21600z297600.().xy=240000+7204800150120(2323)3zxy由容积为4800m3，可得3xy=4800,因此xy=1600.由基本不等式与不等式的性质，可得解：设底面的长为xm，宽为ym,水池总造价为z元，根据题意，有所以，将水池的底面设计成边长为40m的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元.（2014·福建高考）要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（）A.80元B.120元C.160元D.240元【变式练习】C【解析】选C.由容器体积为4，高为1可知，容器的底面积为4．设底面长为x，则宽为4x，总造价为W．由题意，44=(2x1+21)10+420=20(x+)+802024+80=160Wxx，当4=xx，即=2x时取“=”．13f(x)2x1(x0).x例求的最大值为条应负数转为数1x0,所以2x0,0,不符合基本不等式x的件.故把分因化：正析.1.化正型探究点2基本不等式在求最大、最小值中的应用12且-2x=-,即x=-,取等.x2f(x)的最大值-22-1.当仅当时号为1所以f(x)=2x+-1-22-1.x10,所以-2x0,-0.x11所以（-2x)+(-)22.所以2x+-22.xx解：因x为特别提醒：如果所求因式都是负数，通常采用添负号变为正数的处理方法.关注因式是负数解:因为x0,所以-x0.11()()2()()2xxxx当且仅当时,即x=-1时取等号,所以当x=-1时,的值最大,最大值为-2.1xx1xx211[()()]xxxx故x0,当x取什么值时,的值最大?最大值是多少?1xx【变式练习】例4求函数的最小值.1yx(x3)x3积为变积为1与x的不定值，故需形使定值.x析：3分-当仅当时有最为小值，min1x3,所以x-30,0.x-3111所以y=x+=x-3++32(x-3)·+3=2+3=5,x-3x-3x-31且x-3=,即x=4,yy=5.x-:因解32.凑定型(1)构造积为定值，利用基本不等式求最值.(2)构造和为定值，利用基本不等式求最值.150x,yx(13x).3例已知求函数的最大值为x+(1-3x)不是定值，3x+(1-3x)分析：定值.为210x,所以1-3x0.3113x+1-3x1所以y=x(1-3x)=×3x(1-3x)()=.32因解：3123x=1-3x1x6max1yy.12有最大值，当且仅当，即时，合理地拆分转化，构造和为定值或积为定值，并利用基本不等式的条件来求解，是解决此类问题的关键.【提升总结】11100.111111112(1)1211.1，所以，所以为解：因xxxxxxxxx当且仅当11,1xx即0x时，11xx有最小值1.若则为何值时11xx有最小值，最小值为多少？1,xx【即时练习】11所以xy,即22.xy22为1=2x+y2解：因2xy,111所以+22×22=42.xyxy即的最小值为11xy42.11xy例6已知x0,y0,且2x+y=1,求的最小值.3.整体代换型这个解法正确吗？不正确.过程中两次运用了基本不等式中取“=”过渡，而这两次取“=”的条件是不同的，故结果错误.21xy11xy1=2,xy11f(x)xy分析：本题给定约束条件，来求注意到故可以采用对目标函数乘“1”构造使用基本不等式的条件.的最小值,令112x+y2x+y+=+xyxyy2x=3f（x）++3+22,xy解:=正确解答:当且仅当2,yxxy即2yx时取“=”号.2-2,2,221.2-1,而xyxxyy即此时min11()322.xy对于给定条件求最值的问题，常可采用乘“1”变换的方法，创造使用基本不等式的条件.【提升总结】已知且求的最小值190,0,1,.xyxyxy199xy(x+y)(+)=10++xyy解：x9xy10+2.=16.yx9xy=，yx且等成立,19+=1xy当仅当时号x=4,即,y=12时取得最小值16.xy【变式练习】范围是（）D1.（2013·福建高考）若221,则的取值xyxy0,22,0[2,)(,2]A．B．C．D．2.（2015·湖南高考）若实数,ab满足12abab，则ab的最小值为()A.2B.2C.22D.4【解析】选C.12121220022,，＞，＞，ababababababab22ab，（当且仅当2ba时取等号），所以ab的最小值为22.3.（2015·福建高考）若直线1(0,0)xyabab过点（1,1），则ab的最小值等于（）A．2B．3C．4D．5【解析】由已知得111ab，则11=()()ababab2+baab，因为0,0ab，所以+2=2babaabab，故4ab，当=baab，即2ab时取等号．C4.（2015·天津高考）已知0,0,8,abab则当a的值为时，22loglog2ab取得最大值.【解析】222222loglog21loglog2log224ababab221log164,4当2ab时取等号,结合0,0,8,abab可得4,2.ab45.（2015·重庆高考）设,0,5abab,则1++3ab的最大值为________.【解析】由222abab两边同时加上22ab得222()2()abab两边同时开方即得：222()abab（0,0ab且当且仅当ab时取“=”），从而有1++3ab+2(13)2932ab（当且仅当13ab,即73,22ab时，“=”成立）.把握基本不等式成立的三个条件：1.不具备“正值”条件时，需将其转化为正值.2.不具备“定值”条件时，需构造定值条件.（构造：互为相反数、互为倒数）3.不具备“相等”条件时，需进行适当变形或利用函数单调性求值域.预备十二分的力量，才能希望有十分的成功。——张太雷