人教版高中数学必修五同课异构课件23等差数列的前n项和第2课时等差数列习题课情境互动课型

第2课时等差数列习题课高斯（CarlFriedrichGauss,1777-1855）德国数学家、物理学家、天文学家.1777年4月30日生于不伦瑞克，1855年2月23日卒于格丁根.高斯是近代数学的奠基者之一.与阿基米德、牛顿号称“三大数学大师”,并享有“数学王子”的美誉!他幼年时就表现出超人的数学天赋.上一节课我们已经学习了高斯关于1+2+…+100=?的算法，本节课我们将继续研究等差数列的有关性质及其应用！1.能够利用等差数列的前n项和公式解决有关等差数列的实际问题.（重点）2.能够利用函数与数列的前n项和公式解决有关等差数列的实际问题.（难点）1.等差数列定义：an-an-1=d（d为常数）（n≥2）.3.等差数列的通项变形公式：an=am+（n-m）d.2.等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d.探究1:等差数列的性质4.数列{an}为等差数列，则通项公式an=pn+q(p,q是常数),反之亦然.如果，，成等差数列，那么..26abAaAb由三个数，，组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，叫做与等差中的项5..aAbAabN7性质在等差数列中,为公差，若且，那么.:,,,.mnnpqadmnpqmnpqaaaa8推论在等差数列中，与首末两项距离相等的两项和等于首末两项的和，即.12132.:nnnaaaaaa数列前n项.和129.: nnnSaaaa性质：若数列前项和为，.则，11(1)(10.2)nnnnnSnaSSnanS或注意：两个公式都表明要求必须已知等差数列的.前项和中的公式三个.111()(11.1:2,,)2,nnnnnnSnaaanndSSndaan12.性质:Sm,S2m-Sm,S3m-S2m也成等差数列.1(1)2nnndnSna结论：等差数列的前项和的图象是相应抛物线上一群孤立的点，它的最值由抛物线的开口决定.联系:an=a1+(n-1)d的图象是相应直线上一群孤立的点，它的最值又是怎样?由d的正负决定已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S5=5,S10=20，求S15.解：因为S5，S10-S5，S15-S10成等差数列，所以2(S10-S5)=S5+S15-S10,即30=5+S15-20，S15=45.【即时练习】一般地，如果一个数列{an}的前n项和为Sn=pn2+qn+r，其中p,q,r为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？分析：因为当n1时，当n=1时，a1=S1=p+q+r，又因为当n=1时，a1=2p-p+q=p+q，所以当且仅当r=0时，a1满足an=2pn-p+q.an=Sn-Sn-1=pn2+qn+r-p(n-1)2-q(n-1)-r=2pn-p+q.探究2:等差数列的前n项和与二次函数的关系2为常数(,).nSAnBnAB数列{an}为等差数列故只有当r=0时该数列才是等差数列，此时首项a1=p+q，公差d=2p(p≠0).等差数列的前n项和公式与二次函数的区别与联系定义域为N*联系Sn图象是一系列孤立的点.区别f(x)定义域为R图象是一条光滑的抛物线.①解析式都是二次式；②Sn的图象是抛物线y=f(x)上的一系列孤立点.(2014·江西高考)在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn取得最大值,则d的取值范围为.【解析】由题意得a80且a90,所以7+7d0且7+8d0,解得-1d-78.答案:(-1,-78)【即时练习】例1　已知等差数列的前项和为，求使得最大的序号的值245,4,3,77.nnnSSn数项写数当时数关图条抛线点们数来2n1n2*1n等差列的前n和公式可以成ddS=n+a-n,所以S可以看成函22ddy=x+a-x(xN)x=n的函值.22另一方面，容易知道S于n的象是一物上的一些.因此，我可以利用分析二次函求：n的值.题数…为n22245由意知，等差列5,4,3,的公差-，777n5所以S=[2×5+(n-1)(-)]2775n-5n=145151125=-(n-)+.142解56：n15于是，n取与最接近的整即7或8，2S取最大值.当数时(1)当a1＞0，d＜0，前n项和有最大值.可由an≥0，且an＋1≤0，求得n的值；当a1＜0，d＞0，前n项和有最小值.可由an≤0，且an＋1≥0，求得n的值.解决等差数列前n项和的最值问题有两种方法：(2)由取最值时n的值.,利用二次函数配方法求得21()22nddSnan【方法技巧】设数列{an}是等差数列，且a2=-6,a8=6,Sn是数列{an}的前n项和，则（）A.S4S5B.S4=S5C.S6S5D.S6=S5B【变式练习】N例求集合且的元素个数，并求这些元素的和27,100.Mmmnnm数个个…为项为项数114n1002由7n100得n=14，77所以正整n共有14,即M中共有14元素，即：7，14，21，，98是以a=7首，以a=98末的等差列.14×(7+98)所以S==735.2解：一个等差数列的前12项的和为354,前12项中,偶数项和与奇数项和之比为32:27,求公差d.解：由题意知，S奇+S偶=354,S偶:S奇=32:27.列方程组解得：S奇=162，S偶=192，S偶-S奇=6d=30，所以d=5.【变式练习】1.在等差数列{an}中,已知S15=90,那么a8等于（）A.3B.4C.6D.122.等差数列{an}的前m项的和为30，前2m项的和为100，则它的前3m项的和为（）A.130B.170C.210D.260CC3.设{an}是递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（）A.1B.2C.4D.6B4.(2015·重庆高考改编)已知等差数列满足a3=2,前3项和S3=.求的通项公式.【解析】设的公差为d,则由已知条件得a1+2d=2,3a1+d=,化简得a1+2d=2,a1+d=,解得a1=1,d=,故的通项公式an=1+=.【分析】直接利用公式求解数列的通项公式即可.5.（2015·安徽高考）已知数列{}na中，11a，112nnaa（2n），则数列{}na的前9项和等于.【解析】∵2n时，12111,22nnaaaa且∴1naa是以为首项，12为公差的等差数列∴9981919182722S答案：271.等差数列的前n项和与二次函数的关系；2.利用Sn求an；3.等差数列基本量的计算；4.等差数列的性质.5.等差数列的有关公式通项公式数列{an}是等差数列，公差为d，an=a1+_________.求和公式数列{an}是等差数列，公差为d，前n项和为Sn，则Sn＝______________________.等差中项公式若三个数a，A，b成等差数列，则中项A=_____.(n－1)dna1＋nn－12d＝na1＋an2a＋b2要做一番伟大的事业，总得在青年时代开始。——歌德