高二数学人教A必修5练习34基本不等式abab2Word版含解析

课时训练19基本不等式:√一、对基本不等式的理解及简单应用1.若a,b∈R,且ab0,则下列不等式中,恒成立的是()A.a+b≥2√B.√C.≥2D.a2+b22ab答案:C解析:因为ab0,所以0,0,即≥2√=2,所以选C.2.设0ab,则下列不等式中正确的是()A.ab√B.a√bC.a√bD.√ab答案:B解析:0ab⇒a2abb2⇒a√b,0ab⇒2aa+b2b⇒ab,又√,所以a√b.3.①x+≥2;②||≥2;③≥2;④xy;⑤√.其中正确的是(写出序号即可).答案:②解析:当x0时,x+≥2;当x0时,x+≤-2,①不正确;∵x与同号,∴||=|x|+≥2,②正确;当x,y异号时,③不正确;当x=y时,=xy,④不正确;当x=1,y=-1时,⑤不正确.故填②.二、利用基本不等式求最值4.(2015河南郑州高二期末,8)已知a0,b0,且2是2a与b的等差中项,则的最小值为()A.B.C.2D.4答案:B解析:∵2是2a与b的等差中项,∴2a+b=4.又∵a0,b0,∴2ab≤()()=4,当且仅当2a=b=2,即a=1,b=2时取等号.∴.故选B.5.(2015福建厦门高二期末,8)已知a0,b0,若不等式恒成立,则m的最大值等于()A.7B.8C.9D.10答案:C解析:∵a0,b0,不等式恒成立,∴m≤[()].∵(2a+b)()=5+≥5+2×2√=9,当且仅当a=b时取等号.∴m的最大值等于9.故选C.6.设x0,则y=3-3x-的最值为.答案:大3-2√解析:∵x0,∴3x+≥2√.∴-()≤-2√.∴y=3-3x-≤3-2√.∴y有最大值3-2√,当且仅当3x=时,即当x=√时等号成立.7.(2015河北邯郸三校联考,15)设x,y满足x+4y=40且x0,y0,则lgx+lgy的最大值是.答案:2解析:因为x,y满足x+4y=40且x0,y0,所以lgx+lgy=lg(xy)=lg(x·4y)-lg4≤lg()-lg4=lg400-lg4=2.当且仅当x=4y,即x=20,y=5时,等号成立.8.设常数a0,若9x+≥a+1对一切正实数x成立,则a的取值范围为.答案:[)解析:∵x0,a0,∴9x+≥6a,当且仅当9x=,即x=时取等号.从而由原不等式对x0恒成立得6a≥a+1,∴a≥.三、利用基本不等式解决实际问题9.(2015江西吉安联考,20)新余到吉安相距120km,汽车从新余匀速行驶到吉安,速度不超过120km/h,已知汽车每小时的运输成本(单位:元)由可变部分和固定部分两部分组成:可变部分与速度v(km/h)的平方成正比,比例系数为b,固定部分为a元.(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(km/h)的函数;并求出当a=50,b=时,汽车应以多大速度行驶,才能使得全程运输成本最小;(2)随着汽车的折旧,运输成本会发生一些变化,那么当a=,b=,此时汽车的速度应调整为多大,才会使得运输成本最小.解:(1)由题意知,汽车从新余匀速到吉安所用时间为,全程成本为y=(bv2+a)·=120(),v∈(0,120].当a=50,b=时,y=120()≥240·√=120(当且仅当v=100时取等号).所以汽车应以100km/h的速度行驶,能使得全程运输成本最小.(2)当a=,b=时,y=120(),由双勾函数的单调性可知v=120时,y有最小值.所以汽车应以120km/h的速度行驶,才能使得全程运输成本最小.(建议用时:30分钟)1.已知0x1,则x(3-3x)取最大值时x的值为()A.B.C.D.答案:A解析:∵0x1,∴1-x0,则x(3-3x)=3[x(1-x)]≤3×(-),当且仅当x=1-x,即x=时取等号.2.下列结论正确的是()A.当x0且x≠1时,lgx+≥2B.当x0时,√√≥2C.当x≥2时,x+的最小值为2D.0x≤2时,x-无最大值答案:B解析:选项A,当x∈(0,1)时,lgx0,不满足基本不等式恒为正数的要求;选项B中满足“一正、二定、三相等”的条件,是正确选项;选项C,当x0时,x+≥2,等号成立的条件为x=1,当x≥2时,x+(利用函数单调性处理);对于D,设f(x)=x-,则f'(x)=1+0,函数为增函数,因而最大值为.3.若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是()A.B.C.5D.6答案:C解析:∵x+3y=5xy,∴=1.∴3x+4y=(3x+4y)()+2√=5.当且仅当,即x=2y时等号成立.4.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(ab),其全程的平均时速为v,则()A.av√B.v=√C.√vD.v=答案:A解析:v=√√.因为-a=----=0,所以a,即va.故选A.5.已知函数y=x-4+(x-1),当x=a时,y取得最小值b,则a+b=()A.-3B.2C.3D.8答案:C解析:y=x-4+=x+1+-5,因为x-1,所以x+10,0.所以由均值不等式得y=x+1+-5≥2√-5=1,当且仅当x+1=,即(x+1)2=9,所以x+1=3,x=2时取等号,所以a=2,b=1,a+b=3,选C.6.函数y=loga(x-1)+1(a0,且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在一次函数y=mx+n的图象上,其中m,n0,则的最小值为.答案:8解析:由题意,得点A(2,1),则1=2m+n,又m,n0,所以=4+≥4+2√=8.当且仅当,即m=,n=时取等号,则的最小值为8.7.已知x0,则的最大值为.答案:解析:因为,又x0时,x+≥2√=4,当且仅当x=,即x=2时取等号,所以0,即的最大值为.8.建造一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,则水池的最低总造价为元.答案:1760解析:设池底的长和宽分别为a,b,则2ab=8,ab=4,总造价y=(2a+2b)×2×80+120ab=320(a+b)+480≥320×2√+480=1760(当且仅当a=b=2m时取等号).9.设a,b,c都是正数,求证:.证明:∵a,b,c都是正数,∴()√.同理可证()().三式相加得,当且仅当a=b=c时取等号.10.(如图)某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室,温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1m宽的通道,沿前侧内墙保留3m宽的空地,当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大种植面积是多少?解:设矩形的一边长为xm,则另一边长为m,因此种植蔬菜的区域宽为(x-4)m,长为(-)m.由{--得4x400,所以其面积S=(x-4)·(-)=808-()≤808-2√=808-160=648(m2).当且仅当2x=,即x=40∈(4,400)时等号成立.因此当矩形温室的两边长为40m,20m时蔬菜的种植面积最大,最大种植面积是648m2.