高中数学人教A版必修4311同步试题含详解高中数学练习试题

1高中数学(人教A版)必修4同步试题1．cos17°等于()A．cos20°cos3°－sin20°sin3°B．cos20°cos3°＋sin20°sin3°C．sin20°sin3°－sin20°cos3°D．cos20°sin20°＋sin3°cos3°解析cos17°＝cos(20°－3°)＝cos20°cos3°＋sin20°sin3°.答案B2．cos(α＋30°)cosα＋sin(α＋30°)sinα等于()A.12B.32C.22D．－12解析原式＝cos(α＋30°－α)＝cos30°＝32.答案B3．已知cosα＝55，则cosα－π4的值为()A.31010B．－1010C.255D.31010或－1010解析∵cosα＝55，∴sinα＝±1－cos2α＝±255.∴cosα－π4＝cosαcosπ4＋sinαsinπ4＝55·22＋22·±255＝31010，－1010，有两解，应选D.答案D4．cos295°sin70°－sin115°cos110°的值为()A.22B．－22C.32D．－32解析原式＝cos(360°－65°)sin(90°－20°)－sin(180°－65°)cos(90°＋20°)2＝cos65°cos20°＋sin65°sin20°＝cos(65°－20°)＝cos45°＝22.答案A5．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则cos(A－B)的值是()A.35B.45C.2425D.725解析在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴斜边AB＝5.sinA＝BCAB＝45，cosA＝ACAB＝35，sinB＝ACAB＝35，cosB＝BCAB＝45，∴cos(A－B)＝cosAcosB＋sinAsinB＝35×45＋45×35＝2425.答案C6．已知平面向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)(α，β∈R)，当α＝5π12，β＝π4时，a·b＝________.解析a·b＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)＝cos5π12－π4＝cosπ6＝32.答案327．若cosαcosβ＝1，则cos(α－β)的值为________．解析由cosαcosβ＝1，知cosα＝cosβ＝－1，或cosα＝cosβ＝1.∴sinα＝sinβ＝0.∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝1.答案18．已知sinα＝－23，α∈π，32π，cosβ＝34，β∈3π2，2π.求cos(β－α)的值．解由sinα＝－23，α∈π，32π，得cosα＝－1－sin2α＝－1－－232＝－53.3又由cosβ＝34，β∈32π，2π，得sinβ＝－1－cos2β＝－1－342＝－74，∴cos(β－α)＝cosβcosα＋sinβsinα＝34×－53＋－74×－23＝27－3512.9．若sinα＋sinβ＝22，求cosα＋cosβ的最大值．解由sinα＋sinβ＝22，得sin2α＋sin2β＋2sinαsinβ＝12.①令u＝cosα＋cosβ，则平方，得cos2α＋cos2β＋2cosαcosβ＝u2.②①＋②得u2＋12＝2＋2cos(α－β)∴u2＝32＋2cos(α－β)．∵cos(α－β)最大值为1，∴u2最大值为72.故u的最大值为142，即cosα＋cosβ的最大值为142.10．已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A0,0φπ)，x∈R的最大值是1，其图像经过点Mπ3，12.(1)求f(x)的解析式；(2)已知α，β∈0，π2，且f(α)＝35，f(β)＝1213，求f(α－β)的值．解(1)依题意有A＝1，则f(x)＝sin(x＋φ)，将点Mπ3，12代入，得sinπ3＋φ＝12，而0φπ，∴π3＋φ＝56π，∴φ＝π2.故f(x)＝sinx＋π2＝cosx.(2)依题意有cosα＝35，cosβ＝1213，而α，β∈0，π2，4∴sinα＝1－352＝45，sinβ＝1－12132＝513.∴f(α－β)＝cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝35×1213＋45×513＝5665.教师备课资源1.下列式子中正确的个数为()①cos(α－β)＝cosα－cosβ②cos(α－β)＝cosα＋cosβ③cos(α－β)＝cosαcosβ④cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ⑤cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβA．0个B．1个C．2个D．3个答案B2．cos45°cos15°＋sin45°sin15°的值为()A.22B.32C．－12D．－32解析原式＝cos(45°－15°)＝cos30°＝32.答案B3．cosα＋sinα不等于()A.2cosα－π4B.2cosπ4－αC．cosα－π4D.2cosα＋7π4解析2cosα－π4＝2cosαcosπ4＋sinαsinπ4＝222cosα＋22sinα＝cosα＋sinα.2cosα＋7π4＝2cos2π－α＋7π4＝2cosπ4－α＝2cosα－π45＝cosα＋sinα.cosα－π4＝cosαcosπ4＋sinαsinπ4＝22(cosα＋sinα)≠cosα＋sinα.答案C4．已知cos(α－β)＝13，求(sinα＋sinβ)2＋(cosα＋cosβ)2的值．解原式＝sin2α＋sin2β＋2sinαsinβ＋cos2α＋cos2β＋2cosαcosβ＝2＋2cos(α－β)＝2＋2×13＝83.5．已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，求cos(α－β)的值．解由sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，得sinα＋sinβ＝－sinγ①cosα＋cosβ＝－cosγ②①2＋②2，得(sinα＋sinβ)2＋(cosα＋cosβ)2＝sin2γ＋cos2γ＝1.整理，得(sin2α＋cos2α)＋(sin2β＋cos2β)＋2(sinαsinβ＋cosαcosβ)＝1，∴1＋1＋2cos(α－β)＝1.∴cos(α－β)＝－12.