综合训练

海量资源尽在星星文库：综合训练(第5章平面向量)1.下列命题不正确的是A.若a≠λb,则a、b不共线（λ∈R）B.b=3a（a≠0）,则a、b共线C.若a+b+c=0,则a+b=－cD.若m=3a+4b,n=23a+2b,则m∥n【解析】若a≠0,b=0,则a≠λb,但a与b共线.【答案】A2.下列关系式正确的是A.AB+BA=0B.a·b是一个向量C.AB－AC=BCD.0·AB=0【解析】∵AB=－BA，∴AB+BA=0.又a·b、0·AB都为实数,所以B、D错误.又AB－；AC=CB，∴C错误.【答案】A3.若|a|=2，|b|=21,a·b=21，则a与b的夹角A.30°B.45°C.60°D.120°【解析】设a、b夹角为θ，则由a·b=|a|·|b|cosθ得：21=2·21cosθ∴cosθ=21，又0°≤θ≤180°，∴θ＝60°【答案】C4.已知点A（x,5）关于点（1，y）的对称点是B（－2，－3），则点（x,y）到原点的距离是A.13B.15C.4D.17【解析】由中点坐标公式知；14,235122yxyx海量资源尽在星星文库：再由两点间距离公式得:1722yx.【答案】D5.若a=（0,1）,b=（1,1）,且（a+λb）⊥a，则λ的值是A.－1B.0C.1D.2【解析】a+λb=（0,1）+λ（1,1）=（λ,1+λ）又（a+λb）⊥a,∴λ×0+（1+λ）×1=0∴λ=－1【答案】A6.在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则AF－DBA.FDB.FEC.DED.BE【解析】AF－DB=21AC－21AB=21（AC－AB）=21BC=BE.【答案】D7.若AB=3e,CD=－5e且｜AD｜=｜BC｜,则四边形ABCD是A.平行四边形B.等腰梯形C.菱形D.不等腰的梯形【解析】由已知得：CD=－35AB,故AB与CD平行且方向相反，且｜CD｜＞｜AB｜,再由｜AD｜=｜BC｜,可知ABCD是等腰梯形.【答案】B8.已知△ABC，a=5,b=8,C=60°，则BC·CA=___________.【解析】BC·CA=|BC||CA|cos（π－C）=abcos120°=5×8×（－21）=－20【答案】－209.已知|a|=3,|b|=4,a·b=－2,则|a+b|=___________.【解析】|a+b|2=（a+b）2=a2+2a·b+b2=9+2×（－2）+16=21∴|a+b|=21海量资源尽在星星文库：【答案】2110.已知a=（3,0）,b=（k,5）,且a、b的夹角为43,则k的值为___________.【解析】a·b=3k,｜a｜=3,｜b｜=252k,cosθ=cos43=－22.由cosθ=||||baba得－22=25332kk,∴252k=－2k,∴5,225022kkkk.【答案】－511.已知a+b=2i－8j,a－b=－8i+16j,那么a·b=___________（其中i,j为两个互相垂直的单位向量）.【解析】由已知可得a=－3i+4j,b=5i－12j,∵i2=j2=1,i·j=0,∴a·b=（－3i+4j）·（5i－12j）=－15i2+56i·j－48j2=－15－48=－63.【答案】－6312.设点A（3,－4）,B（1,2）,P是直线AB上的一点,且|PA|=2|PB|,则点P坐标是___________.【解析】由|PA|=2|PB|得:PA=±2PB∴PA=±2PB,∴λ=PBAP=±2当λ=2时0212243521213yx当λ=－2时821)2(24121)2(13yx海量资源尽在星星文库：∴P点坐标为（35,0）或（－1,8）【答案】（35,0）或（－1,8）13.将抛物线y=x2+6x+11的图象经过向量a平移得到y=x2，则a=___________.【解析】y=x2+6x+11=（x+3）2+2∴y－2=（x+3）2令23''yyxx得：y′=x′2，∴a=（3,－2）【答案】（3,－2）14.在△ABC中，b=3,c=3,B=30°，则a=___________.【解法一】由余弦定理得b2=a2+c2－2accosB得a2－33a+6=0解得a=3或a=23【解法二】由CcBbsinsin得sinC=23∴C=60°或C=120°由正弦定理得：a=3或a=23【答案】3或2315.设O为原点,OA=（3,1）,OB=（－1,2）,OC⊥OB,BC∥OA,试求满足OD+OA=OC的OD的坐标.【解】设OD=（x,y）,则OC=OD+OA=（x+3,y+1）BC=OC－OB=（x+4,y－1）由OC⊥OB,得－（x+3）+2（y+1）=0即x－2y+1=0①由BC∥OA,得3（y－1）－（x+4）=0即x－3y+7=0②由①②联立,解得x=11,y=6即OD坐标为（11,6）.海量资源尽在星星文库：、b、c是△ABC的三边，且满足2lg（a2+b2－c2）=lg2+2lga+2lgb,求证：∠C=4.【解】∵2lg（a2+b2－c2）=lg2+2lga+2lgb∴（a2+b2－c2）2=2a2b2∴21)2(2222abcba,∴222222abcba又a2+b2－c2＞0,a＞0,b＞0,∴222222abcba,∴cosC=222222abcba,∴∠C=4.17.将二次函数y=px2+qx+r的图象按向量a=（3,－4）平移后,得到的图象的解析式为y=2x2－3x+1,试求p、q、r的值.【解】将二次函数y=px2+qx+r的图象按向量a=（3,－4）平移后得到的图象的解析式为:y+4=p（x－3）2+q（x－3）+r,即y=px2+（q－6p）x+9p－3q+r－4,它就是y=2x2－3x+1.∴1439362rqppqp,解之得1492rqp18.设i,j是平面直角坐标系中x轴和y轴方向上的单位向量,AB=4i－2j,AC=7i+4j,AD=3i+6j,求四边形ABCD的面积.【解】∵AC=AB+AD,∴四边形ABCD是平行四边形（或用AB=AC－AD=DC证明ABCD是平行四边形），又∵AB·AD=2（2i－j）·3（i+2j）=6（2i2+3i·j－2j2）=0,∴AB⊥AD,即ABCD是矩形.海量资源尽在星星文库：∴SABCD=｜AB｜｜AD｜=22226324=30.19.设两个向量a、b不共线,（1）若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3（a－b）,求证A、B、D三点共线；（2）若|a|=2,|b|=3,a、b的夹角为60°,求使向量ka+b与a+kb垂直的实数k.（1）【证明】AD=AB+BC+CD=a+b+2a+8b+3（a－b）=6（a+b）=6AB∴AD与AB共线,又AD与AB有公共点A，∴A、B、D三点共线.（2）【解】ka+b与a+kb垂直,即（ka+b）·（a+kb）=0ka2+（k2+1）a·b+kb2=0ka2+（k2+1）|a||b|cos60°+kb2=03k2+13k+3=0,解得k=613313.