2014北京西城区高三期末数学理试题答案

北京市西城区2013—2014学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2014.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B2．C3．D4．B5．A6．C7．A8．D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．410．125511．2312．2413．1214．(1,1)π注：第10、13、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为π()sin()(0)3gxx的最小正周期为π，所以2||ω，解得2ω．………………3分由6()2f，得63cos22，即2cos22，………………4分所以π22π4k，kZ.因为[π,π]，所以7πππ7π{,,,}8888.………………6分（Ⅱ）解：函数π()()3cos2sin(2)3yfxgxxxππ3cos2sin2coscos2sin33xxx………………8分13sin2cos222xxπsin(2)3x，………………10分由2πππ2π2π232kkx≤≤，………………11分解得5ππππ1212kkx≤≤．………………12分所以函数()()yfxgx的单调增区间为5ππ[ππ]()1212kkkZ,.…………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，得11(889292)[9091(90)]33a，………………2分解得1a.………………3分（Ⅱ）解：设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A，………………4分依题意0,1,2,,9a，共有10种可能.………………5分由（Ⅰ）可知，当1a时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，所以当2,3,4,,9a时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能．…6分所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率84()105PA．………………7分（Ⅲ）解：当2a时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有339种，它们是：(88,90)，(88,91)，(88,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，………………9分则这两名同学成绩之差的绝对值X的所有取值为0,1,2,3,4.………………10分因此2(0)9PX，2(1)9PX，1(2)3PX，1(3)9PX，1(4)9PX.………………11分所以随机变量X的分布列为：X01234P2929131919………………12分所以X的数学期望221115()01234993993EX．……………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD.………………1分因为平面BDEF平面ABCD，且四边形BDEF是矩形，所以ED平面ABCD，………………2分又因为AC平面ABCD，所以EDAC.………………3分因为EDBDD，所以AC平面BDEF.………………4分（Ⅱ）解：设ACBDO，取EF的中点N，连接ON，因为四边形BDEF是矩形，,ON分别为,BDEF的中点，所以//ONED，又因为ED平面ABCD，所以ON平面ABCD，由ACBD，得,,OBOCON两两垂直.所以以O为原点，,,OBOCON所在直线分别为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系.………………5分因为底面ABCD是边长为2的菱形，60BAD，3BF，所以(0,3,0)A，(1,0,0)B，(1,0,0)D，(1,0,3)E，(1,0,3)F，(0,3,0)C，133(,,)222H.………………6分因为AC平面BDEF，所以平面BDEF的法向量(0,23,0)AC.…………7分设直线DH与平面BDEF所成角为，由333(,,)222DH，得33302307222sin|cos,|721232DHACDHACDHAC，所以直线DH与平面BDEF所成角的正弦值为77.………………9FBCEAHDOzNxy分（Ⅲ）解：由（Ⅱ），得133(,,)222BH，(2,0,0)DB.设平面BDH的法向量为111(,,)xyzn，所以0,0,BHDBnn………………10分即1111330,20,xyzx令11z，得(0,3,1)n.………………11分由ED平面ABCD，得平面BCD的法向量为(0,0,3)ED，则00(3)01(3)1cos,232EDEDEDnnn.………………13分由图可知二面角HBDC为锐角，所以二面角HBDC的大小为60.………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为()()exfxxa，xR，所以()(1)exfxxa．………………2分令()0fx，得1xa．………………3分当x变化时，()fx和()fx的变化情况如下：x(,1)a1a(1,)a()fx0()fx↘↗………………5分故()fx的单调减区间为(,1)a；单调增区间为(1,)a．…………6分（Ⅱ）解：结论：函数()gx有且仅有一个零点.………………7分理由如下：由2()()0gxfxax，得方程2exaxx，显然0x为此方程的一个实数解.所以0x是函数()gx的一个零点.………………9分当0x时，方程可化简为exax.设函数()exaFxx，则()e1xaFx，令()0Fx，得xa．当x变化时，()Fx和()Fx的变化情况如下：x(,)aa(,)a()Fx0()Fx↘↗即()Fx的单调增区间为(,)a；单调减区间为(,)a．所以()Fx的最小值min()()1FxFaa.………………11分因为1a，所以min()()10FxFaa，所以对于任意xR，()0Fx，因此方程exax无实数解．所以当0x时，函数()gx不存在零点.综上，函数()gx有且仅有一个零点.………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：抛物线2yx的焦点为1(0,)4.………………1分由题意，得直线AB的方程为1(1)ykx，………………2分令0x，得1yk，即直线AB与y轴相交于点(0,1)k.………………3分因为抛物线W的焦点在直线AB的下方，所以114k，解得34k.………………5分（Ⅱ）解：由题意，设211(,)Bxx，222(,)Cxx，33(,)Dxy，联立方程21(1),,ykxyx消去y，得210xkxk，由韦达定理，得11xk，所以11xk.………………7分同理，得AC的方程为11(1)yxk，211xk.………………8分对函数2yx求导，得2yx，所以抛物线2yx在点B处的切线斜率为12x，所以切线BD的方程为21112()yxxxx，即2112yxxx.………………9分同理，抛物线2yx在点C处的切线CD的方程为2222yxxx.………………10分联立两条切线的方程2112222,2,yxxxyxxx解得12311(2)22xxxkk，3121yxxkk，所以点D的坐标为111((2),)2kkkk.………………11分因此点D在定直线220xy上.………………12分因为点O到直线220xy的距离22|2002|25521d，所以255OD≥，当且仅当点42(,)55D时等号成立．………………13分由3125ykk，得1265k，验证知符合题意.所以当1265k时，OD有最小值255.………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由等比数列{}na的14a=，12q=，得14a=，22a=，31a=，且当3n时，01na.………………1分所以14b=，22b=，31b=，且当3n时，[]0nnba==.………………2分即,6,2,4,17,3.nnnTn≥………………3分（Ⅱ）证明：因为201421()nTnn≤，所以113bT==，120142(2)nnnbTTn≤≤.………………4分因为[]nnba=，所以1[3,4)a，2014[2,3)(2)nan≤≤.………………5分由21aqa，得1q.………………6分因为201220142[2,3)aaq，所以20122223qa≥，所以2012213q，即120122()13q.………………8分（Ⅲ）证明：（充分性）因为1aN*Î，qN*Î，所以11nnaaqN-*=?，所以[]nnnbaa==对一切正整数n都成立.因为12nnSaaa=+++L，12nnTbbb=+++L，所以nnST=.………………9分（必要性）因为对于任意的nN*Î，nnST=，当1n时，由1111,aSbT==，得11ab=；当2n≥时，由1nnnaSS，1nnnbTT，得nnab.所以对一切正整数n都有nnab.由nbZÎ，0na，得对一切正整数n都有naN*Î，………………10分所以公比21aqa为正有理数.………………11分假设qN*Ï，令pqr=，其中,,1prrN*?，且p与r的最大公约数为1.因为1a是一个有限整数，所以必然存在一个整数()kkNÎ，使得1a能被kr整除，而不能被1kr整除.又因为111211kkkkapaaqr，且p与r的最大公约数为1.所以2kaZ+Ï，这与naN*Î（nN*Î）矛盾.所以qN.因此1aN*Î，qN.……………13分更多试题下载：（在文字上按住ctrl即可查看试题）高考模拟题：高考各科模拟试题【下载】历年高考试题：历年高考各科试题【下载】高中试卷频道：高中各年级各科试卷【下载】高考资源库：各年级试题及学习资料【下载】高考资源库：各年级试题及学习资料【下载】