2012高中数学2章整合课时同步练习新人教A版选修21高中数学练习试题

-1-2章整合(考试时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．以x24－y212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为()A.x216＋y212＝1B.x212＋y216＝1C.x216＋y24＝1D.x24＋y216＝1解析：双曲线x24－y212＝－1的焦点坐标为(0，±4)，顶点坐标为(0，±23)，故所求椭圆的焦点在y轴上，a＝4，c＝23，∴b2＝4，所求方程为x24＋y216＝1，故选D.答案：D2．设P是椭圆x2169＋y2144＝1上一点，F1、F2是椭圆的焦点，若|PF1|等于4，则|PF2|等于()A．22B．21C．20D．13解析：由椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝26，又∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝26－4＝22.答案：A3．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为()A.22，0B.52，0C.62，0D．(3，0)解析：将双曲线方程化为标准方程为x2－y212＝1，∴a2＝1，b2＝12，∴c2＝a2＋b2＝32，∴c＝62，故右焦点坐标为62，0.-2-答案：C4．若抛物线x2＝2py的焦点与椭圆x23＋y24＝1的下焦点重合，则p的值为()A．4B．2C．－4D．－2解析：椭圆x23＋y24＝1的下焦点为(0，－1)，∴p2＝－1，即p＝－2.答案：D5．若k∈R，则k3是方程x2k－3－y2k＋3＝1表示双曲线的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：方程x2k－3－y2k＋3＝1表示双曲线的条件是(k－3)(k＋3)0，即k3或k－3.故k3是方程x2k－3－y2k＋3＝1表示双曲线的充分不必要条件．故选A.答案：A6．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1→·MF2→＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A．(0,1)B.0，12C.0，22D.22，1解析：由MF1→·MF2→＝0可知点M在以线段F1F2为直径的圆上，要使点M总在椭圆内部，只需cb，即c2b2，c2a2－c2,2c2a2，故离心率e＝ca22.因为0e1，所以0e22.即椭圆离心率的取值范围是0，22.故选C.答案：C-3-7．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝()A.45B.35C．－35D．－45解析方法一：由y＝2x－4，y2＝4x，得x＝1，y＝－2或x＝4，y＝4.令B(1，－2)，A(4,4)，又F(1,0)，∴由两点间距离公式得|BF|＝2，|AF|＝5，|AB|＝35.∴cos∠AFB＝|BF|2＋|AF|2－|AB|22|BF|·|AF|＝4＋25－452×2×5＝－45.方法二：由方法一得A(4,4)，B(1，－2)，F(1,0)，∴FA→＝(3,4)，FB→＝(0，－2)，∴|FA→|＝32＋42＝5，|FB→|＝2.∴cos∠AFB＝FA→·FB→|FA→|·|FB→|＝3×0＋4×－5×2＝－45.答案：D8．F1、F2是椭圆x29＋y27＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为()A．7B.72C.74D.752解析：|F1F2|＝22，|AF1|＋|AF2|＝6，|AF2|＝6－|AF1|.|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|cos45°＝|AF1|2－4|AF1|＋8(6－|AF1|)2＝|AF1|2－4|AF1|＋8，∴|AF1|＝72.S＝12×72×22×22＝72.答案：B9．已知点M(－3,0)、N(3,0)、B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为()-4-A．x2－y28＝1(x1)B．x2－y28＝1(x－1)C．x2＋y28＝1(x0)D．x2－y210＝1(x1)解析：设圆与直线PM、PN分别相切于E、F，则|PE|＝|PF|，|ME|＝|MB|，|NB|＝|NF|.∴|PM|－|PN|＝|PE|＋|ME|－(|PF|＋|NF|)＝|MB|－|NB|＝4－2＝2|MN|.所以点P的轨迹是以M(－3,0)，N(3,0)为焦点的双曲线的一支，且a＝1，∴c＝3，b2＝8，∴所以双曲线方程是x2－y28＝1(x1)．答案：A10．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为()A.2B.3C．2D．3解析：设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l的方程为l：x＝c或x＝－c，代入x2a2－y2b2＝1得y2＝b2c2a2－1＝b4a2，∴y＝±b2a，故|AB|＝2b2a，依题意2b2a＝4a，∴b2a2＝2，∴c2－a2a2＝e2－1＝2.∴e＝3.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．若双曲线的渐近线方程为y＝±13x，它的一个焦点是(10，0)，则双曲线的标准方程是________．解析：由双曲线的渐近线方程为y＝±13x，知ba＝13，它的一个焦点是(10，0)，知a2＋b2＝10，因此a＝3，b＝1，故双曲线的方程是x29－y2＝1.-5-答案：x29－y2＝112．若过椭圆x216＋y24＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是________．解析：设直线方程为y－1＝k(x－2)，与双曲线方程联立得(1＋4k2)x2＋(－16k2＋8k)x＋16k2－16k－12＝0，设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝16k2－8k1＋4k2＝4，解得k＝－12，所以直线方程为x＋2y－4＝0.答案：x＋2y－4＝013.如图，F1，F2分别为椭圆x2a2＋y2b2＝1的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为3的正三角形，则b2的值是________．解析：∵△POF2是面积为3的正三角形，∴12c2sin60°＝3，∴c2＝4，∴P(1，3)，∴1a2＋3b2＝1，a2＝b2＋4，解之得b2＝23.答案：2314．已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y21＋y22的最小值是________．解析：显然x1，x2≥0，又y21＋y22＝4(x1＋x2)≥8x1x2，当且仅当x1＝x2＝4时取等号，所以最小值为32.答案：32三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知双曲线与椭圆x29＋y225＝1共焦点，它们的离心率之和为145，求双曲线方程．解析：由椭圆方程可得椭圆的焦点为F(0，±4)，离心率e＝45，-6-所以双曲线的焦点为F(0，±4)，离心率为2，从而c＝4，a＝2，b＝23.所以双曲线方程为y24－x212＝1.16．(本小题满分12分)设椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝32.已知点P0，32到这个椭圆上的点的最远距离为7，求这个椭圆的方程．解析：设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，M(x，y)为椭圆上的点，由ca＝32得a＝2b.|PM|2＝x2＋y－322＝－3y＋122＋4b2＋3(－b≤y≤b)，若b12，则当y＝－b时，|PM|2最大，即b＋322＝7，则b＝7－3212，故舍去．若b≥12时，则当y＝－12时，|PM|2最大，即4b2＋3＝7，解得b2＝1.∴所求方程为x24＋y2＝1.17．(本小题满分12分)设λ＞0，点A的坐标为(1,1)，点B在抛物线y＝x2上运动，点Q满足BQ→＝λQA→，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足QM→＝λMP→，求点P的轨迹方程．解析：由QM→＝λMP→知Q、M、P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设P(x，y)，Q(x，y0)，M(x，x2)，则x2－y0＝λ(y－x2)，即y0＝(1＋λ)x2－λy.①再设B(x1，y1)，由BQ→＝λQA→，即(x－x1，y0－y1)＝λ(1－x,1－y0)，解得x1＝＋λx－λ，y1＝＋λy0－λ.②将①式代入②式，消去y0，得x1＝＋λx－λ，y1＝＋λ2x2－λ＋λy－λ.③又点B在抛物线y＝x2上，所以y1＝x21，-7-再将③式代入y1＝x21，得(1＋λ)2x2－λ(1＋λ)y－λ＝[(1＋λ)x－λ]2，(1＋λ)2x2－λ(1＋λ)y－λ＝(1＋λ)2x2－2λ(1＋λ)x＋λ2，2λ(1＋λ)x－λ(1＋λ)y－λ(1＋λ)＝0.因为λ0，两边同除以λ(1＋λ)，得2x－y－1＝0.故所求点P的轨迹方程为y＝2x－1.18．(本小题满分14分)已知椭圆的长轴长为2a，焦点是F1(－3，0)、F2(3，0)，点F1到直线x＝－a23的距离为33，过点F2且倾斜角为锐角的直线l与椭圆交于A、B两点，使得|F2B|＝3|F2A|.(1)求椭圆的方程；(2)求直线l的方程．解析：(1)∵F1到直线x＝－a23的距离为33，∴－3＋a23＝33.∴a2＝4.而c＝3，∴b2＝a2－c2＝1.∵椭圆的焦点在x轴上，∴所求椭圆的方程为x24＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)、B(x2，y2)．∵|F2B|＝3|F2A|，∴3＝x2＋3x11＋3，0＝y2＋3y11＋3，x2＝43－3x1，y2＝－3y1.∵A、B在椭圆x24＋y2＝1上，∴x214＋y21＝1，3－3x124＋－3y12＝1.-8-∴x1＝1033，y1＝233取正值∴l的斜率为233－01033－3＝2.∴l的方程为y＝2(x－3)，即2x－y－6＝0.