2012年文数高考试题答案及解析山东高中数学练习试题

-1-2012年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学解析版第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)若复数z满足(2)117i(izi为虚数单位)，则z为(A)3+5i(B)3－5i(C)－3+5i(D)－3－5i解析：iiiiiiz535)1114(7225)2)(711(2711.答案选A。另解：设),(Rbabiaz，则iiabbaibia711)2(2)2)((根据复数相等可知72,112abba，解得5,3ba，于是iz53。(2)已知全集{0,1,2,3,4}U，集合{1,2,3}A，{2,4}B，则()UABð为(A){1,2,4}(B){2,3,4}(C){0,2,4}(D){0,2,3,4}解析：}4,2,0{)(},4,0{BACACUU。答案选C。(3)函数21()4ln(1)fxxx的定义域为(A)[2,0)(0,2](B)(1,0)(0,2](C)[2,2](D)(1,2]解析：要使函数)(xf有意义只需040)1ln(2xx，即220,1xxx，解得21x，且0x.答案应选B。(4)在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是(A)众数(B)平均数(C)中位数(D)标准差解析：设A样本数据的数据为ix，根据题意可知B样本数据的数据为2ix，则依据统计知识可知A，B两样本中的众数、平均数和中位数都相差2，唯有方差相同，即标准差相同。答案应选D。(5)设命题p：函数sin2yx的最小正周期为2；命题q：函数的图象关于直线2x对称.则下列判断正确的是-2-(A)p为真(B)q为假(C)pq为假(D)pq为真解析：命题p和命题q都是假命题，依据“或”“且”“非”复合命题的真假性真假性判断可知pq为假命题。故答案应选C。(6)设变量,xy满足约束条件22,24,41,xyxyxy则目标函数3zxy的取值范围是(A)3[,6]2(B)3[,1]2(C)[1,6](D)3[6,]2解析：作出可行域，直线03yx，将直线平移至点)0,2(处有最大值，点)3,21(处有最小值，即623z.答案应选A。(7)执行右面的程序框图，如果输入a＝4，那么输出的n的值为(A)2(B)3(C)4(D)5解析：312,140,00qpn；716,541,11qpn；15114,2145,22qpn，qpn,3。答案应选B。(8)函数2sin(09)63xyx的最大值与最小值之和为(A)23(B)0(C)－1(D)13解析：由90x可知67363x，可知]1,23[)36sin(x，则2sin[3,2]63xy，则最大值与最小值之和为23，答案应选A。(9)圆22(2)4xy与圆22(2)(1)9xy的位置关系为(A)内切(B)相交(C)外切(D)相离解析：两圆心之间的距离为17)10(2222d，两圆的半径分别为3,221rr，则drr112521rr，故两圆相交.答案应选B。22yx14yx42yxO-3-(10)函数cos622xxxy的图象大致为解析：函数xxxxf226cos)(，)(226cos)(xfxxfxx为奇函数，当0x，且0x时)(xf；当0x，且0x时)(xf；当x，xx22，0)(xf；当，xx22，0)(xf.答案应选D。(11)已知双曲线1C：22221(0,0)xyabab的离心率为2.若抛物线22:2(0)Cxpyp的焦点到双曲线1C的渐近线的距离为2，则抛物线2C的方程为(A)2833xy(B)21633xy(C)(D)216xy解析：由双曲线1C：22221(0,0)xyabab的离心率为2可知abac3,2，则双曲线的渐近线方程为xxaby3，抛物线22:2(0)Cxpyp的焦点)2,0(pF，则8,24dpd，抛物线2C的方程为216xy，答案应选D。(12)设函数1()fxx，2()gxxbx.若的图象与的图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)AxyBxy，则下列判断正确的是(A)12120,0xxyy(B)12120,0xxyy(C)12120,0xxyy(D)12120,0xxyy解析：设32()1Fxxbx，则方程()0Fx与()()fxgx同解，故其有且仅有两个不同零点12,xx.由()0Fx得0x或.这样，必须且只须(0)0F或2()03Fb，因为，故必有2()03Fb由此得3322b.不妨设12xx，则32223xb.所以231()()(2)Fxxxx，比较系数得3141x，故31122x.3121202xx，由此知-4-12121212110xxyyxxxx，故答案应选B.另解：令)()(xgxf可得bxx21。设bxyxy,12不妨设21xx，结合图形可知，21xx，即210xx，此时021xx，112211yxxy，即021yy。答案应选B。第Ⅱ卷(共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.(13)如图，正方体1111ABCDABCD的棱长为1，E为线段1BC上的一点，则三棱锥1ADED的体积为＿＿＿＿＿.答案：16解析：61112113111ADDEDEDAVV.(14)右图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是［20.5，26.5］，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5].已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为＿＿＿＿.答案：9解析：根据题意可知低于22.5℃的城市的频率为22.012.010.0，不低于25.5℃的城市的频率为18.0，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为91122.018.0.另解：最左边两个矩形面积之和为0.10×1+0.12×1＝0.22，总城市数为11÷0.22＝50，最右面矩形面积为0.18×1＝0.18，50×0.18＝9.(15)若函数()(0,1)xfxaaa在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m，且函数()(14)gxmx在[0,)上是增函数，则a＝＿＿＿＿.答案：14解析：当1a时，有214,aam，此时12,2am，此时()gxx为减函数，不合题意.若01a，则124,aam，故11,416am，检验知符合题意.另解：由函数()(14)gxmx在[0,)上是增函数可知41,041mm；bxyyx21xx-5-当1a时()xfxa在［－1，2］上的最大值为2a4，解得2a，最小值为211am不符合题意，舍去；当10a时，()xfxa在［－1，2］上的最大值为41a，解得41a，此时最小值为411612am，符合题意，故a＝41.(16)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2，1)时，OP的坐标为＿＿＿＿.答案：(2sin2,1cos2)解析：根据题意可知圆滚动了2单位个弧长，点P旋转了2弧度，此时点P的坐标为)2cos1,2sin2(,2cos1)22sin(1,2sin2)22cos(2OPyxPP.另解：根据题意可知滚动制圆心为（2,1）时的圆的参数方程为sin1cos2yx，且223,2PCD，则点P的坐标为2cos1)223sin(12sin2)223cos(2yx，即)2cos1,2sin2(OP.三、解答题：本大题共6小题，共74分.(17)(本小题满分12分)在△ABC中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc，已知sin(tantan)tantanBACAC.(Ⅰ)求证：,,abc成等比数列；(Ⅱ)若1,2ac，求△ABC的面积S.解：(I)由已知得：sin(sincoscossin)sinsinBACACAC，sinsin()sinsinBACAC，则2sinsinsinBAC，再由正弦定理可得：2bac，所以,,abc成等比数列.(II)若1,2ac，则22bac，∴2223cos24acbBac，CD-6-27sin1cos4CC，∴△ABC的面积1177sin122244SacB.(18)(本小题满分12分)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；(Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.解：(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为.(II)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，所以概率为.(19)(本小题满分12分)如图，几何体EABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，,CBCDECBD.(Ⅰ)求证：BEDE；(Ⅱ)若∠120BCD，M为线段AE的中点，求证：∥平面.证明：(I)设BD中点为O，连接OC，OE，则由BCCD知COBD，又已知CEBD，所以平面OCE.所以BDOE，即OE是BD的垂直平分线，所以BEDE.(II)取AB中点N，连接,MNDN，∵M是AE的中点，∴MN∥BE，∵△ABD是等边三角形，∴DNAB.由∠BCD＝120°知，∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°+30°＝90°，即BCAB，所以ND∥BC，所以平面MND∥平面BEC，又DM平面MND，故DM∥平面BEC.另证：延长BCAD,相交于点F，连接EF。因为CB=CD,090ABC.因为△ABD为正三角形，所以0090,60ABCBAD,则030AFB，-7-所以AFAB21,又ADAB,所以D是线段AF的中点，连接DM，又由点M是线段AE的中点知EFDM//，而DM平面BEC,EF平面BEC,故DM∥平面BEC.(20)(本小题满分12分)已知等差数列{}na的前5项和为105，且2052aa.(Ⅰ)求数列{}na的通项公式；(Ⅱ)对任意*mN，将数列{}na中不大于27m的项的个数记为mb.求数列{}mb的前m项和mS.解：(I)由已知得：111510105,92(4),adadad