2012届高三数学一轮复习数列练习题3

第6章第3节一、选择题1．(文)(2010·宁波市模拟)等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为()A．4B．6C．8D．10[答案]C[解析]由题意知，85q＝170，∴q＝2，∴85＋170＝1×2n－12－1，∴n＝8.(理)一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为()A．6B．8C．10D．12[答案]B[解析]设项数为2n，则由已知得a2＋a4＋a6＋…＋a2na1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝q＝2，又a1＝1，得an＝2n－1，其中间两项和为an＋an＋1＝2n－1＋2n＝24，可解得n＝4，故得项数2n＝8，应选B.2．(2010·浙江金华十校)已知公差不为0的等差数列{an}满足a1，a3，a4成等比数列，Sn为{an}的前n项和，则S3－S2S5－S3的值为()A．2B．3C.15D．不存在[答案]A[解析]由条件a32＝a1a4，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，∴a1d＋4d2＝0，∵d≠0，∴a1＝－4d，∴S3－S2S5－S3＝a3a4＋a5＝－2d－d＝2.3．(2010·浙江)设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则S5S2＝()A．11B．5C．－8D．－11[答案]D[解析]∵{an}为等比数列，且8a2＋a5＝0，∴8a2＋a2·q3＝0，∵a2≠0，∴q3＝－8，∴q＝－2，S5S2＝－1－q－1－q＝1－q51－q2＝1－－1－－＝33－3＝－11，故选D.4．(2010·江西)等比数列{an}中a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…·(x－a8)，则f′(0)＝()A．26B．29C．212D．215[答案]C[解析]令g(x)＝(x－a1)(x－a2)……(x－a8)，则f(x)＝xg(x)f′(x)＝g(x)＋g′(x)x，故f′(0)＝g(0)＝a1a2……a8＝(a1a8)4＝212.5．(文)(2010·广东省高考调研)公差不为零的等差数列{an}中，a2、a3、a6成等比数列，则其公比q为()A．1B．2C．3D．4[答案]C[解析]∵等差数列{an}中a2、a3、a6成等比数列，∴a2a6＝a32，即(a1＋d)(a1＋5d)＝(a1＋2d)2⇒d(d＋2a1)＝0，∵公差不为零，∴d＝－2a1，∴所求公比q＝a3a2＝a1＋2da1＋d＝－3a1－a1＝3.(理)(2010·安徽巢湖市质检)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S5、S4、S6成等差数列，则数列{an}的公比q的值为()A．－2或1B．－1或2C．－2D．1[答案]C[解析]∵等比数列{an}的前n项和为Sn,2S4＝S5＋S6，∴q≠1，a1≠0，∴－1－q＝－1－q＋－1－q，∴2q4＝q5＋q6，∴q2＋q－2＝0，∴q＝－2.6．(文)在等比数列{an}中，若a3a5a7a9a11＝243，则a92a11的值为()A．9B．1C．2D．3[答案]D[解析]∵等比数列{an}中，a3a5a7a9a11＝a75＝243，∴a7＝3，∴a92a11＝a7·q4＝a72a7＝a7＝3.故选D.(理)若公比为c的等比数列{an}的首项a1＝1且满足an＝an－1＋an－22(n＝3,4，…)．则c的值为()A．1B．－12C．－1或12D．1或－12[答案]D[解析]∵{an}是公比为c的等比数列，a1＝1，∴an＝cn－1，又an＝an－1＋an－22(n≥3，n∈N)，∴2cn－1＝cn－2＋cn－3，即2c2＝c＋1，∴c＝1或－12.7．(2010·聊城市模拟)已知an＝13n，把数列{an}的各项排列成如下的三角形状：a1a2a3a4a5a6a7a8a9……………………记A(m，n)表示第m行的第n个数，则A(11,12)＝()A.1367B.1368C.13111D.13112[答案]D[解析]由图形知，各行数字的个数构成首项为1，公差为2的等差数列，∴前10项数字个数的和为10×1＋10×92×2＝100，故A(11,12)为{an}的第112项，∴A(11,12)＝a112＝13112.8．(文)(2010·延边州质检)等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝154，S9＝18，在等比数列{bn}中，b3＝a3，b5＝a5，则b7的值为()A.23B.43C．2D．3[答案]B[解析]由条件知，5a1＋5×42d＝159a1＋9×82d＝18，∴a1＝4d＝－12，∴b3＝a3＝3，b5＝a5＝2，∴b7＝b52b3＝43.(理)(2010·四川广元市质检)已知x、y0，且x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则＋cd的最小值是()A．0B．1C．2D．4[答案]D[解析]由条件知x＋y＝a＋b，xy＝cd，∵x0，y0，∴＋cd＝＋xy＝yx＋xy＋2≥4，等号在x＝y时成立．9．若一个三角形的三个内角成等差数列，对应的三边成等比数列，则此三角形必是()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形[答案]B[解析]∵三内角A、B、C成等差，且对应边依次为a、b、c，则B＝60°，A＋C＝120°，b2＝ac，由正弦定理sin2B＝sinA·sinC，∴34＝sinA·sin(120°－A)＝sinA32cosA＋12sinA＝34sin2A＋14(1－cos2A)＝34sin2A－14cos2A＋14＝12sin(2A－30°)＋14，∴sin(2A－30°)＝1，∴2A－30°＝90°＋k·360°，∴A＝60°＋k·180°，∵k∈Z，∴k＝0，∴A＝B＝C＝60°，故选B.10．(文)(2010·北京延庆县模考)某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是()A．4B．5C．6D．7[答案]D[解析]由程序框图可知，S＝1＋2＋22＋…＋2k＝2k＋1－1，由S100得，2k＋1101，∵26＝64,27＝128，∴k＋1＝7，∴k＝6，结合语句k＝k＋1在S＝S＋2k后面知，当k＝6时，S＝127，k的值再增加1后输出k值为7[点评]这是最容易出错的地方，解这类题时，既要考虑等比数列求和，在k取何值时，恰满足S≥100，又要顾及S与k的赋值语句的先后顺序．(理)(2010·延边州质检)若下面的程序框图输出的S是126，则①应为()A．n≤5?B．n≤6?C．n≤7?D．n≤8?[答案]B[解析]∵S＝21＋22＋23＋24＋25＋26＝－2－1＝126，∴由程序框图知，要输出S＝126，应填的条件为n≤6.二、填空题11．(文)(2010·浙江金华)如果一个n位的非零整数a1a2…an的各个数位上的数字a1，a2，…，an或适当调整次序后能组成一个等比数列，则称这个非零整数a1a2…an为n位“等比数”．如124,913,333等都是三位“等比数”．那么三位“等比数”共有________个．(用数字作答)[答案]27[解析]适当调整次序后能组成一个三位“等比数”的非零整数可分为以下几类：(1)111,222，…，999；(2)124,248,139.其中第(1)类“等比数”有9个；第(2)类“等比数”有3×6＝18个；因此，满足条件的三位“等比数”共有27个．(理)(2010·四川双流县检测)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N*)的取值范围是________．[答案][8，323)[解析]∵a5＝a2q3，∴14＝2×q3，∴q＝12，∴a1＝a2q＝4，∴an＝4×12n－1＝23－n，∴akak＋1＝12k－3·12k－2＝122k－5，∴a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝122×1－5＋122×2－5＋…＋122n－5＝32×14＋142＋…＋14n＝32×141－14n1－14＝3231－14n∈[8，323)．12．(2010·福建福州三中)已知数列{an}的各项均是正数，其前n项和Sn满足(p－1)Sn＝p2－an，其中p为正常数，且p≠1，则数列{an}的通项公式为________．[答案]an＝p2－n[解析]由题设知(p－1)a1＝p2－a1，解得a1＝p.因为－＝p2－an－＋1＝p2－an＋1，两式作差得(p－1)(Sn＋1－Sn)＝an－an＋1.所以(p－1)an＋1＝an－an＋1，即an＋1＝1pan，∴数列{an}是首项为p，公比为1p的等比数列．∴an＝p·1pn－1＝p2－n.13．(2010·山东省潍坊市质检)已知等差数列{an}的公差d≠0，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是________．[答案]3[解析]由题知a52＝a1·a17，即a52＝(a5－4d)·(a5＋12d)，∴8a5d－48d2＝0，∵d≠0，∴a5＝6d，∴公比q＝a5a1＝a5a5－4d＝6d6d－4d＝3.14．(文)已知a、b、c成等比数列，如果a、x、b和b、y、c都成等差数列，则ax＋cy＝________.[答案]2[解析]由条件知x＝a＋b2，y＝b＋c2，c＝bq，a＝bq，∴ax＋cy＝2aa＋b＋2cb＋c＝2bqbq＋b＋2bqb＋bq＝21＋q＋2q1＋q＝2.(理)(2010·上海松汇区模拟)已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝an2，当an为偶数时3an＋1，当an为奇数时，若a4＝7，则m所有可能的取值为________.[答案]56和9[解析]由a4＝7可知a3＝14，由a3＝14得a2＝28时，由a2＝28得a1＝56或a1＝9.三、解答题15．(文)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝3·2n－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝(n－1)an，求数列{bn}的前n项和Tn.[解析](1)当n＝1时，a1＝3当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3·2n－2－3·2n－1＋2＝3·2n－1，所以an＝3·2n－1.(2)bn＝3(n－1)·2n－1Tn＝3·(2＋2·22＋3·23＋4·24＋…＋(n－1)·2n－1)利用错位相减法求得Tn＝3(n－2)·2n＋6.(理)设{an}为等比数列，且满足：Sn＝2n＋a.(1)求{an}的通项公式，并求最小的自然数n，使an2010；(2)数列{bn}的通项公式为bn＝－nan，求数列{bn}的前n项和Tn.[解析](1)n＝1时，a1＝2＋an≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1∵{an}为等比数列，∴a1＝2＋a＝21－1＝1，∴a＝－1∴{an}的通项公式为an＝2n－1，∵an＝2n－12010，又211＝2048，故最小自然数n为12.(2)bn＝－nan＝－n2n－1Tn＝－(1×1＋2×12＋3×122＋…＋n×12n－1)①12Tn＝－[1×12＋2×122＋…＋(n－1)×12n－1＋n×12n]②②－①得，－12Tn＝1＋12＋122＋…＋12n－1－n·12n∴Tn＝n＋22n－1－416．(文)(2010·金华十校)已知数列{an}前n项和Sn＝2n2－3n，数列{bn}是各项为正的等比数列，满足a1＝－b1，b3(a2－a1)＝b1.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)记cn＝an·bn，求cn的最大值．[解析](1)∵an＝S1n＝1Sn－Sn－1n≥2，∴an＝－1n＝14n－5n≥2，即an＝4n－5(n∈N*)由已知b1＝1，b1q2(a2－a1)＝b1，∴q2＝14∵bn0，∴q＝12，∴bn＝12n－1(2)cn＝(4n－5)12n－1由cn≥cn－1cn≥cn＋1得n＝3，即c3最大，最