北师大版高中数学必修5-第二章《解三角形》教学设计

高中数学北师大版必修5第二章解三角形（教学设计）周至县第三中学数学组马周科1北师大版高中数学必修5第二章《解三角形》教学设计第一课时§2.1.1正弦定理周至县第三中学马周科教学分析设计一、教学目标1、知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。2、过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。3、情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。二、教学重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。三、教学方法：探析归纳，讲练结合教学过程一、学习目标展示（同教学目标，由教师讲解）二、预习成果展示：（学生回答，教师点评）（一）、由第一组同学展示回答以下问题：（学生代表回答问题，教师应给点评和矫正）直角三角形中锐角三角函数的定义：在RTABC中，如图1，则sinA=,cosA=任意角三角函数的定义：sinα=，cosα=。yP（x，y）（图1）（图2）OxABCabcα高中数学北师大版必修5第二章解三角形（教学设计）周至县第三中学数学组马周科2在初中我们就会解一些三角形的。如以下问题:在ΔABC中，∠A=45ͦ，∠B=60ͦ,BC=2,求AC边的长。如图（3），作AB边上的高CD，则由CD=BC，AC=CD。于是AC==。CA45ͦD60ͦB(图3)（二）、由第二组同学展示回答以下问题：（学生代表回答问题，教师应给点评但不矫正，留给课堂解决）1)在课本中是如何利用直角三角形提出“正弦定理”的问题的？2)在课本中又是如何证明“正弦定理”的？3)你是怎样理解“正弦定理”的？4)“正弦定理”有什么作用？三、新课初探：[问题引入]（教师讲解，引导学生思考）在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图（4），在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sinaAc，sinbBc，又sin1cCc,A则sinsinsinabccABCbc从而在直角三角形ABC中，sinsinsinabcABCCaB(图4)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？高中数学北师大版必修5第二章解三角形（教学设计）周至县第三中学数学组马周科3（学生经过短暂思考后，教师点题）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sinsinabABsincC【探索研究】问题：如何证明正弦定理？（学生按学习小组进行讨论，教师巡查找出学生讨论中的一到两种与课本不同的证法进行展示，然后点评，约10分钟）以下两种证明仅供参考。（证法一）：可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=sinsinaBbA,则sinsinabAB，C同理可得sinsincbCB，ba从而sinsinabABsincCAcB当ABC是钝角三角形时，类似可以证明请同学们补充。(图1．1-3)（证法二）：过点A作jAC，C由向量的加法可得ABACCB则()jABjACCBAB∴jABjACjCBj00cos900cos90jABAjCBC∴sinsincAaC，即sinsinacAC同理，过点C作jBC，可得sinsinbcBC从而sinsinabABsincC类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）【理解定理】：（教师讲述，学生思考）理解：（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使sinakA，sinbkB，sinckC；（2）sinsinabABsincC等价于sinsinabAB，sinsincbCB，sinaAsincC基本作用：高中数学北师大版必修5第二章解三角形（教学设计）周至县第三中学数学组马周科4①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sinsinbAaB；②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinsinaABb。归纳：一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。（以下的例题和练习共5个题目学生按学习小组进行讨论，教师巡查指导。然后请5名学生上台展示，教师点评小结。其中例题要给出详细解答过程，评述及解答要领）四、[例题探析]例1．在ABC中，已知30A，45B，4acm，解三角形。解：根据三角形内角和定理，0180()CAB1054530-180）（；根据正弦定理，2430sin45sin4sinAasinBb；根据正弦定理，）（26230sin105sin4sinAasinCc例2．在ABC中，已知6acm，23bcm，45A，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm）。解：根据正弦定理，21645sin23sinsinBaAb因为00＜B＜0180，所以30B，或150B⑴当30B时，1053045-180BA-180C）（）（，13345sin105sin6sinAasinCc⑵当150B时，180195BA，故无解舍去。因此，)13(3,10530BcC，。评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。五.课堂练习：课本本节练习1和练习2。[补充练习]已知ABC中，3:2:1sinC:sinB:sinA，求::abc（答案：1：2：3）六.课时小结：（教师引导学生归纳进行总结。同时学生做好课堂评价）（1）定理的表示形式：sinsinabABsincC0sinsinsinabckkABC；或sinakA，sinbkB，sinckC(0)k高中数学北师大版必修5第二章解三角形（教学设计）周至县第三中学数学组马周科5（2）正弦定理的应用范围：①已知两角和任一边，求其它两边及一角；②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。七、课后作业：课本习题2-1A组3、4八、课后反思：北师大版高中数学必修5第二章《解三角形》第一课时§2.1.1正弦定理教学反思周至县第三中学马周科2011年9月，陕西教育学院、陕西教育科学研究研究所的教学专家来我校进行新课程及高校课堂视导，我作为我校数学教师代表上了一节课。这节课我选择了高中数学北师大版必修5第二章《解三角形》第一棵时“正弦定理”，基于我校“联勤互助-高效课堂”的教学模式设计了导学案和教学设计。导学案提前下发，让学生先进行预习；上课时，先进行教学目标展示，指出本节课的学习目标；然后引导学生进行预习成果展示，通过提问方式检查学生预习情况；再通过教师根据学生情况进行适当引导和讲解，进行分组探析新课；分组探析例题；分组进行课堂练习；最后引导学生小结本节内容；安排课后训练等环节，组织学生学习活动。课后，省教科所专家马亚军老师高屋建瓴，给予了非常详尽评价和指导，本组同志也提出了宝贵的意见。使我很受启发，为此对这节课进行反思。一、教学观念上反思本课中，立足于我校目前正在探索中的“联勤互助-高校课堂”教学模式，通过学生自学(完成教师集体编写的导学案中的预习)，初步认识理解“正弦定理”，找出自己的疑惑，同时完成一些简单的问题；课堂上，教师立足于所创设的情境，通过学生小组探索、合作交流展示，亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程，学生成为正弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受了创造的苦和乐，使知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等三维目标均得到落实；之后，通过课堂练习、课堂检测、自我评价、课后训练作业等，帮助学生对课堂学习进行总结归纳提升，以达到本节的学习目标。教学中，应重视学生的研究和了解，编写更适合学生实际的导学案和教学设计，真正做到“我的课堂-我做主”，让学生亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程。二、关注既往知识衔接问题这节课是在学生初中学习了三角形的有关知识，三角函数在直角三角形中的定义，高高中数学北师大版必修5第二章解三角形（教学设计）周至县第三中学数学组马周科6中阶段学习了任意角的三角函数的定义、平面向量等相关知识的基础上为进一步学习解三角形而设计的。本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。对于正弦定理，教科书首先让学生回忆任意三角形中有“大边对大角，小边对小角的边角关系”，引导学生思考是否能得到这个边、角关系准确量化表示的问题。由于涉及边角之间的数量关系，就比较自然地引出三角函数。在直角三角形中，边之间的比就是锐角的三角函数。研究特殊的直角三角形中的正弦，就很容易得到直角三角形中的正弦定理。这样，从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。在学生学习过程中，引导学生复习回顾这些知识，创设数学情境，必须对学生的身心特点、知识水平、教学内容、教学目标等因素进行综合考虑，对可用的情境进行比较，选择具有较好的教育功能的情境。三、教学中反思1、从应用需要出发，创设认知冲突型数学情境，是创设情境的常用方法之一。“正弦定理”具有广泛的应用价值，故本课中从应用需要出发创设了教学中所使用的数学情境。实践说明，这种将教材中的例题、习题作为素材改造加工成情境，是创设情境的一条有效途径。只要教师能对教材进行深入、细致、全面的研究，便不难发现教材中有不少可用的素材。在本节中，可采用了三角函数在直角三角形中的定义、直角三角形中的正弦定理、任意三角形中已知两角用一边如何表示另一边、三角形的外接圆等方法创设情境，但在一节课不宜采用多方法进行情景创设。本节课中就有这样的问题，应引以为戒。2、以学生作为提出问题的主体，如何引导学生提出问题是教学成败的关键，教学实践表明，学生能否提出数学问题，不仅受其数学基础、生活经历、学习方式等自身因素的影响，还受其所处的环境、教师对提问的态度等外在因素的制约。因此，教师不仅要注重创设适宜的数学情境，而且要真正转变对学生提问的态度，提高引导水平，一方面要鼓励学生大胆地提出问题，另一方面要妥善处理学生提出的问题，同时给学生提出的问题不要太抽象要具体明确宜小不宜大。要引导学生对所提的问题进行分析、整理，筛选出有价值的问题，注意启发学生揭示问题的数学实质，将提问绰向深入。四、对学生学习与预习方法的反思预习是学生学习的第一环节，充分利用有限资源让学生初步达成目标，然后通过课堂上教师梳理、展示预习成果、小组合作探究、自我小结与评价、对立训练提升，才能真正达到教学高效。在这一节中就是因为没有正确组织学生充分预习，从而致使后面的环节无法进行高中数学北师大版必修5第二章解三角形（教学设计）周至县第三中学数学组马周科7所致。因此，重视预习环节、设计科学合理的预习案、教给学生预习的方法、组织学生及学习小组进行预习，才能生成本课题的重点难点并初步达成目标。教师可灵活采用课外预习、课堂前半部分预习等方法要求学生预习，要求学生集中归纳出疑点或新发现的问题，便于上课时进行小组间交流。明确预习任务并落实到位。在设计编写导学案时，要明确各小组预习的目标、重难点以及具体的思考题，题目要有一定的深度但又不能太难，答案内容不能太复杂，要便于书写，各小组要在课前在黑板上进行展示。导学案制定好了发给学生后，就是怎样落实的