第二章-年金

第二章年金学习要点年金的标准型年金的一般型学习要求1、必须掌握以下基本概念：标准年金、一般年金、期初年金、期末年金、连续年金、永久年金、递增年金、递减年金、年金现值、年金积累值等；2、理解期初年金、期末年金、连续年金之间的关系以及递增年金、递减年金之间的关系；3、能够求解常见年金的现值和积累值问题、与年金有关的利率或期限等利息问题。第一节年金的标准型何为年金？所谓年金是指一系列按照相等时间间隔支付的款项。“年金”一词的原始意义是限于每年一次的付款，但现已被推广到按任何正规的时间间隔付款。年金在经济生活中较常见。房屋的租金，抵押付款，汽车的分期付款，以及投资款项的利息付款、保险费的缴纳、保险费的领取及养老金、手机和电话的月租费、公用事业费等都是年金的例子。常用概念：年金期、年金额年金的分类年金的分类确定年金或有年金基本年金广义年金连续年金期末付年金期初付年金定期年金永久年金1、确定年金和风险年金：确定年金的支付时间和支付金额事先确定风险年金的支付时间和支付金额不确定2、定期年金和永续年金：定期年金的支付期限是有限期间，有固定的到期日。付息债券的息票永续年金的支付期限是无限的，没有到期日。股息3、期初付年金和期末付年金：期初付年金的支付是在每个周期的期初。月初发工资和养老金期末付年金的支付是在每个周期的期末。月末发工资和养老金4、即期年金和延期年金：即期年金是指当期开始支付，延期年金是指一定时期后开始支付5、等额年金和变额年金：等额年金的每期支付额相等，变额年金的每次支付额不全相等年金的标准型（等额年金）：间隔周期相等的等额资金流。（1）每期的收付额相等（2）收付的间隔时期相等（3）付款的频率和计息的频率相同。年金的一般型：年金的各种变化形式为年金的一般型。标准年金的现值与终值标准年金：定期、定额、每期支付一次、每次支付一个单位金额的基本年金。年金现金流是许多复杂现金流的基础，是利率计算的最直接的一种应用。年金的计算问题主要包括年金的现值和终值计算两大类2.1.1期末付年金111…111(付款额)0123…n-2n-1n（时间）图（2-1）n期延付年金的付款情况图2.1年金的标准型年金的现金流在第一个付款期末首次发生，随后依次分期进行1na=1ns+i(2-6)例2-1计算年利率为2.5%的条件下，每年年末投资3000元，投资20年的现值及积累值。例2-2某人希望通过等额的年度存款在10年后攒够100000元，在年度实质利率8%的情况下，问每年末需存入多少钱，才能达到其要求。例2-3某人在银行存入10000元，计划分4年等额支取完，每年末支取一次，银行的年度实质利率为7%。计算该人每次可支取的金额。2.1.2期初付年金111111付款额0123n-2n-1n时间图（2-3）初付年金付款情况图1本金dddd…dd利息流0123…n-2n-1n时间本金支出1图（2-4）投资1产生的以贴现的方式支付利息的现金流图1=dna+vn(2-7A)na=1nvd(2-8A)1+dns=(1+i)n(2-7B)ns=(1)1nid(2-9A)na=1+v+v2+…+vn-1=1nvd(2-8B)ns=(1+i)+(1+i)2+…+(1+i)n=(1)1nid(2-9B)ns=na(1+i)n(2-10A)na=nsvn(2-10B)1na=1ns+d(2-11)例2-5在例2-1的条件下，若将投资支付改为发生在每年年初，其它条件不变，计算投资20年末的现值及积累值。回顾：例2-1计算年利率为2.5%的条件下，每年年末投资3000元，投资20年的现值及积累值。例2-6在例2-2中，若存款改为每年年初进行，其它条件不变，计算每年需存入的款项。例2-2某人希望通过等额的年度存款在10年后攒够100000元，在年度实质利率8%的情况下，问每年末需存入多少钱，才能达到其要求。2.1.3任意时刻年金1、年金在支付期限开始前任意时点上的值2、年金在支付期限内任意时点上的值3、年金在支付期限结束后任意时点上的值假定：计算的日期离开每次付款日期为整数个时期。延期年金2.1.3任意时刻年金11……11（共n次付款）……nanansns图（2-6）年金在四个特殊时间点上的价值图111110123456789105a5a5s5s图（2-7）年金时间图V(1)=5a；V(2)=5a；V(6)=5s；V(7)=5s。1.在首期付款前某时刻（m）上的年金现值A期末付定期年金：1）将现值往前贴现，2）计算总的现值，再减去前m个时期的现值B期初付定期年金：1）将现值往前贴现，2）计算总的现值，再减去前m个时期的现值当m为非整数时，上述结论同样成立2.在支付期内任意时点上的年金现值计算原则：将年金分成两个期限较短的年金，年金在任意时点上的值就等于前一个年金的终值加上后一个年金的现值。一般而言，一项经过m次付款（m﹤n）的n个时期年金，其当前值为：3.在最后一期付款后某时刻的年金积累值计算原则：先计算年金的终值，再按复利往后累计，计算出累计值即可。1）期末付年金：2）期初付年金：例2-7某人从1980年1月1日起开始向希望工程捐款，每年捐款支付3000元，到2005年1月1日为止从未间断。该人还表示，他的捐款将持续到2019年1月1日为止。假设年实质利率为6%，分别求该人的全部捐款在下列各时刻的价值：（1）1960年1月1日；（2）1979年1月1日；（3）1980年1月1日；（4）2000年1月1日；（5）2019年1月1日；（6）2020年1月1日；（7）2060年1月1日。答案：2.1.4永续年金aa解释：某人投资1/i购买永续年金，投资利率为i，每年年末可以获得数额为1的利息，在n年年末已获得的利息在0时刻的现值为，该人想收回投资，则收回的投资额为n时刻起的永续年金现值，然后再折现到0时刻，即为例题A留下一笔100000元的遗产，这笔遗产头十年的利息付给受益人B，第2个10年的利息付给受益人C，此后的均付给慈善事业D，若此项财产的年实际利率为7%，所有年金的领取都在期末发生，试确定B、C、D在此项财产中各得多少份额？B所占的份额为：C所占的份额为：D所占的份额为：例2-8有甲、乙、丙三人共同为某学校设立总额100万元的奖学基金。该基金以永续年金的方式每年支付一次用作该校部分学生的奖学金，第一次支付在基金设立一年后。甲、乙、丙经协商，决定由甲为前8年的支付出资，乙为接下来的10年的支付出资，余下的款项由丙出。假设基金可以以年实质利率8%计息。分别计算甲、乙、丙三人的出资额。2.1.5非标准期的年金问题nka例2-9某人借款500000元用于购买住房，并计划每年年末还款50000元，直到还完，贷款利率为年度实质利率6%。分别以上文讨论过的三种还款方式，计算借款人还款的整数次数n以及最后的还款零头。例2-10某人拟每年年末在银行存款1000元，以便在某年年末积累到10000元，设年利率为3%，按照类似于非标准期年金现值问题中的的三种还款方式，计算规则的存款次数和零头存款额。例2-11若在上例中，利率改为6%，重新计算规则的存款计数和零头存款额，看看会发生什么变化。2.1.6年金的未知利率问题1．级数展开法：f(i)=nia=f(0)+f′(0)i+''(0)2!fi2+…=n-(1)2!nni+(1)(2)3!nnni2-…(2-18)k=na≈n-(1)2!nnii≈2(n-k)/[n(n+1)]1na=22111(1)212nniin(2-19)1k=1na≈11(1)2nini≈2(n-k)/[k(n+1)](2-20)2．插值法例2-12某人存入某基金10000元，这笔存款恰好可以被分别在半年后和一年后的6000元取款取空，求该基金的利率。3．迭代法Newton-Raphson方法例2-13在利率为i时，某人存入银行10000元，然后每年年末从银行支取1000元，共支取12年，恰好支取完毕，计算i值。例2-14推导如下的求解未知利率问题nia=k的初值公式i0=21()knk-(2-22A)并应用该公式求解上例。解：(v+v2+…+vn)/n=nan=k/n12nnv+++L=12nv+，注意到代数平均总大于其几何平均，所以有k/n12nv+，我们将上式右边稍微放大，然后令其近似相等，即有k/n≈vn/2，也即1()ni-+≈(k/n)2再由i=1(1)nik，所以有i0=21()knk-将该式用于上例中，有i0=3.0556%已经比较接近真实解。类似地，可以推导求解未知利率问题nis=k的初值公式i0=21()knk-(2-22B)第二节年金的一般型2.2.1变利率年金（1）利率依时期而变假设n期年金的各付款期上的利率分别为i1、i2、…、in，如果利率依时期而变，则所有付款的年金现值为：na=11(1)i+1112(1)(1)ii+…+11112(1)(1)(1)niii=111(1)tnstsi(2-23)ns=1+(1+in)+(1+in)(1+in-1)+…+(1+in)…(1+i2)=1110(1)tnnstsi(其中令in+1=0)(2-24)（2）利率依付款时点而变假设n期年金的各付款期上的利率分别为i1、i2、…、in，如果利率依时期而变，则na=11(1)i+22(1)i+…+(1)nni=1(1)nttti(2-25)ns=1+(1+in-1)+(1+in-2)2+…+(1+i2)n-2+(1+i1)n-1=1(1)nnttti(2-26)例2-15某人每年年初存入银行3000元钱，共存款8年，前4年的年利率为5%，后4年银行调低利率，将年利率降至4%，假设利率依时期而变，计算第8年末时的存款积累值。例2-16若上例中，假设利率依付款而变，即5%的年利率针对前4次付款，4%的年利率针对后4次付款，计算整个存款在第8年每末的积累值。2-7付款频率与计息频率不同的年金付款频率小于计息频率；付款频率大于计息频率每次付款额相同的等额付款年金例2-17某人计划每年末存入银行10000元，一共10年，第一次存款计划在第1年末。假设银行月度转换的存款利率为6%，求在第10年末全部存款的积累值。例2-18某人贷款100000元，期限为10年，每月末还款一次，每次还款额相等，贷款年实质利率为10%，计算每次还款额。例2-19假设上例中还款均在每月初进行，求相应的每月初的还款额。例2-20假设某人在1999年和2000年中的每个1月1日和7月1日分别在银行存款2000元，2001、2002年、2003年的每个1月1日、4月1日、7月1日和10月1日在银行存款2000元，银行利率为月度转换年名义利率12%，计算这些存款在2003年12月31日的积累值。1．付款频率小于计息频率的情况（1）期末付年金假设每个计息期的实质利率为i，则该年金的现值为：vk+v2k+…+nkkv=1knkkvvv=nkas(2-27)相应的年金积累值为：2(1)(1)1nknkii=(1)1(1)1nkii=nkss(2-28)RRRRRRRRRRRRRRR012…k-1k…2k…n-2k…n-k…n图（2-10B）等价支付图（2）期初付年金SSSSSSSSSSSSSS0…k…2k…n-k…n图（2-11B）等价支付图（3）其他的付款频率小于计息频率的情况例2-21某人将收到一项年金支付，该年金一共有n次支付，每次支付1，每m年支付一次，第一次支付发生在r年末，假设实质利率为i，求该年金的现值。例2-22利用本节讨论的代数分析法，重新求解例2-16。回顾：2-16某人每年年初存入银行3000元钱，共存款8年，前4年的年利率为5%，后4年银行调低利率，将年利率降至4%，假设利率依付款而变，即5%的年利率针对前4次付款，4%的年利率针对后4次付款，计算整个存款在第8年每末的积累值。2