灰色关联分析法与TOPSIS评价法

灰色关联度评价法一、灰色关联分析(GRA)方法灰色关联分析是一种多因素统计分析方法,它是以各因素的样本数据为依据用灰色联度来描述因素间关系的强弱、大小和次序的.如果样本数据列反映出两因素变化的态势(方向、大小、速度等)基本一致,则它们之间的关联度较大；反之关联度较小.与其他传统的多因素分析方法相比,灰色关联分析对数据要求较低且计算量小,便于广泛应用.GRA分析的核心是计算关联度,下面通过一个例子来说明计算关联度的思路和方法.下表是某地区2000-2005年国内生产总值的统计资料.现在提出这样的问题：该地区产业中,哪一产业的变化与该地区国内生产总值(GDP)的变化态势更一致？也就是哪一产业与GDP的关联度最大呢？年份国内生产总值第一产业第二产业第三产业200019883868397632001206140884680820022335422960953200327504821258101020043356511157712682005380656118931352表某地区国内生产总值统计资料(百万元)一个自然的想法就是分别将三次产业产值的时间序列与GDP的时间序列进行比较,为了能够比较,先对各序列进行无量纲化,这里采用均值化法.各序列的均值分别为：2716,461.5,1228.83,1025.67,上表中每列数据除以其均值可得均值化序列(如表所示)年份tGDPx0(t)一产业x1(t)二产业x2(t)三产业x3(t)20000.73200.83640.68280.744020010.75880.88190.68850.787820020.85970.91440.78120.929120031.01251.04441.02370.984720041.23561.10731.28331.236320051.40131.21561.54051.3182两序列变化的态势是表现在其对应点的间距上.如果各对应点间距均较小,则两序列变化态势的一致性强,否则,一致性弱.分别计算各产业产值与GDP在对应期的间距(绝对差值),结果见表所示.年份t20000.10440.04920.011920010.12310.07040.028920020.05470.07850.069420030.03190.01120.027820040.12840.04770.000620050.18570.13920.083201()t01()()xtxt02()t02()()xtxt03()t03()()xtxt接下来应该是三个绝对值序列分别求平均再进行比较,就可以解决问题了.但仔细观察表中的数据会发现绝对差值数据序列的数据间存在着较大的数量级差异(最大为0.1857,最小的为0.0006,相差300多倍),不能直接进行综合,还需要对其进行一次规范化.设和分别表示表中绝对值的最大数和最小数，则(max)(min)0()it00(min)()(max)it0()(min)01(max)(max)it因而由于在一般情况下,可能为零(即某个为零)故将上式改进为(min)0()it00(min)/(max)()()/(max)iitt0(min)/(max)()/(max)it显然越大,说明两序列(xi和x0)的变化态势一致性弱,反之,一致性强,因此可考虑将取倒反向,为了规范化后数据在[0,1]内,可考虑0()(max)it0()(max)it在0和1之间取值.上式可变形为00(min)(max)()(6.1)()(max)iitt1,2,3;2000,,2005it称为序列xi和序列x0在第t期的灰色关联系数(或简称为关联系数).0()it(max)由(6.1)式可以看出,取值的大小可以控制对数据转化的影响,取较小的值,可以提高关联系数间差异的显著性,因而称为分辨系数.利用(6.1)对表6-3中绝对差值进行规范化,取结果见表6-4,以计算为例：01(2000)0()it0.4,同样可计算出表6-4中其余关联系数.010.00060.40.1857(2000)0.41910.10440.40.1857(min)0.0006,(max)0.1857年份t20000.41910.60670.868720010.37960.51780.725720020.58080.49030.521320030.70550.87610.733820040.36960.61411.00020050.28810.35100.475801()t02()t03()t表6-4最后分别对各产业与GDP的关联系数序列求算术平均可得011(0.41910.37960.58080.705560.36960.2881)0.4571r021(0.60670.51780.49030.876160.61410.3510)0.5760r031(0.86870.72570.52130.733861.0000.4758)0.7209rr0i称为序列x0和xi(i=1,2,3)的灰色关联度.由于因而第三产业产值与GDP的关联度最大,其次是第二产业、第一产业.030201,rrr可以看出,灰色关联分析需要经过以下几个步骤：1.确定分析序列(1,2,,),iXin0X在对研究问题定性分析的基础上,确定一个因变量因素和多个自变量因素.设因变量数据构成参考序列,各自变量数据构成比较序列n+1个数据序列成成如下矩阵：((1),(2),,()),0,1,2,,TiiiiXxxxNin其中01010101(1)(1)(1)(1)(2)(2)(2)(,,,)(6.2)()()()nnnnNnxxxxxxXXXxNxNxNN为变量序列的长度.一般情况下,原始变量序列具有不同的量纲或数量级,为了保证分析结果的可靠性,需要对变量序列进行无量纲化.无量纲化后各因素序列形成如下矩阵：2.对变量序列进行无量纲化01010101(1)(1)(1)(1)(2)(2)(2)(,,,)(6.3)()()()nnnnNnxxxxxxXXXxNxNxN计算(6.3)中第一列(参考序列)与其余各列(比较序列)对应期的绝对差值,形成如下绝对差值矩阵：3.求差序列、最大差和最小差其中010200102001020(1)(1)(1)(2)(2)(2)()()()nnnNnNNN00()()()(6.6)iikxkxk0,1,,;1,2,,inkN绝对差值阵中最大数和最小数即为最大差和最小差：对绝对差值阵中数据作如下变换：011max()(max)(6.7)iinkNk00(min)(max)()(6.9)()(max)iikk011min()(min)(6.8)iinkNk4.计算关联系数得到关联系数矩阵：010200102001020(1)(1)(1)(2)(2)(2)(6.10)()()()nnnNnNNN式中分辨系数在(0,1)内取值,一般情况下依据(6.10)中数据情况多在0.1至0.5取值,越小越能提高关联系数间的差异.关联系数是不超过1的正数,越小,越大,它反映第i个比较序列Xi与参考序列X0在第k个期关联程度.0()ik0()ik0()ik比较序列Xi与参考序列X0的关联程度是通过N个关联系数(即(6.10)中第i列)来反映的,求平均就可得到Xi与X0的关联度5.计算关联度0011()(6.11)NiikrkN6.依关联度排序对各比较序列与参考序列的关联度从大到小排序，关联度越大，说明比较序列与参考序列变化的态势越一致．灰色关联度综合评价法利用灰色关联分析进行综合评价的步骤是：1．根据评价目的确定评价指标体系，收集评价数据。2．确定参考数据列参考数据列应该是一个理想的比较标准，可以以各指标的最优值（或最劣值）构成参考数据列，也可根据评价目的选择其它参照值．记作mxxxX0000,,2,)1(3．对指标数据进行无量纲化无量纲化后的数据序列形成如下矩阵：mxmxmxxxxxxxXXXnnnn10101010222111,,,4．逐个计算每个被评价对象指标序列（比较序列）与参考序列对应元素的绝对差值即（,为被评价对象的个数）．5．确定与)()(0kxkximk,,1ni,,1n)()(minmin011kxkximkni)()(maxmax011kxkximkni6．计算关联系数由（12－5）式，分别计算每个比较序列与参考序列对应元素的关联系数．0000minmin()()maxmax()()()125)()()maxmax()()iiikikiiiikxkxkxkxkkxkxkxkxk（mk,,10.5式中为分辨系数，在（0，1）内取值，若越小，关联系数间差异越大，区分能力越强。通常取7．计算关联序对各评价对象（比较序列）分别计算其个指标与参考序列对应元素的关联系数的均值，以反映各评价对象与参考序列的关联关系，并称其为关联序，记为：00{()}(){()}()xkkxkkii如果为最优值数据列，越大，越好；如果为最劣值数据列，越大，越不好。011()miikrkm8．如果各指标在综合评价中所起的作用不同，可对关联系数求加权平均值即9．依据各观察对象的关联序，得出综合评价结果．011(),mikikkrWkmmW（k=1,）式中为各指标权重。2.灰色关联分析的应用举例例1：利用灰色关联分析对6位教师工作状况进行综合评价1．评价指标包括：专业素质、外语水平、教学工作量、科研成果、论文、著作与出勤．2．对原始数据经处理后得到以下数值，见下表编号专业外语教学量科研论文著作出勤1898752927875738397966474688843658669838689576483．确定参考数据列：4．计算，见下表0{}{9,9,9,9,8,9,9}x)()(0kxkxi编号专业外语教学量科研论文著作出勤1101237022124161302032524311146351330061610422515．求最值6．依据（12－5）式，取计算，得011minmin()()min(0,1,0,1,0,0)0nmiikxkxk011maxmax()()max(7,6,5,6,6,5)7nmiikxkxk111111100.5700.57(1)0.778(2)1.00010.5700.57(3)0.778(4)0.636(5)0.467(6)0.333(7)，＝，＝，＝，＝＝1.000，0.5＝同理得出其它各值，见下表编号10.7781.0000.7780.6360.4670.3331.00020.6360.7780.6360.4670.6360.3680.77831.0000.6361.0000.5380.5380.4120.63640.5380.7780.7780.7780.4120.3680.53850.7780.5380.5381.0000.7780.3680.77860.7781.0000.4670.6360.5380.4120.778(1)i(2)i(3)i(4)i(5)i(6)i(7)i7．分别计算每个人各指标关联系数的均值（关联序）：8．如果不考虑各指标权重（认为各指标同等重要